654,599 999 999 997 41 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere 654,599 999 999 997 41(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
654,599 999 999 997 41(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 654.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 654 : 2 = 327 + 0;
  • 327 : 2 = 163 + 1;
  • 163 : 2 = 81 + 1;
  • 81 : 2 = 40 + 1;
  • 40 : 2 = 20 + 0;
  • 20 : 2 = 10 + 0;
  • 10 : 2 = 5 + 0;
  • 5 : 2 = 2 + 1;
  • 2 : 2 = 1 + 0;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

2. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

654(10) =

10 1000 1110(2)


3. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,599 999 999 997 41.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,599 999 999 997 41 × 2 = 1 + 0,199 999 999 994 82;
  • 2) 0,199 999 999 994 82 × 2 = 0 + 0,399 999 999 989 64;
  • 3) 0,399 999 999 989 64 × 2 = 0 + 0,799 999 999 979 28;
  • 4) 0,799 999 999 979 28 × 2 = 1 + 0,599 999 999 958 56;
  • 5) 0,599 999 999 958 56 × 2 = 1 + 0,199 999 999 917 12;
  • 6) 0,199 999 999 917 12 × 2 = 0 + 0,399 999 999 834 24;
  • 7) 0,399 999 999 834 24 × 2 = 0 + 0,799 999 999 668 48;
  • 8) 0,799 999 999 668 48 × 2 = 1 + 0,599 999 999 336 96;
  • 9) 0,599 999 999 336 96 × 2 = 1 + 0,199 999 998 673 92;
  • 10) 0,199 999 998 673 92 × 2 = 0 + 0,399 999 997 347 84;
  • 11) 0,399 999 997 347 84 × 2 = 0 + 0,799 999 994 695 68;
  • 12) 0,799 999 994 695 68 × 2 = 1 + 0,599 999 989 391 36;
  • 13) 0,599 999 989 391 36 × 2 = 1 + 0,199 999 978 782 72;
  • 14) 0,199 999 978 782 72 × 2 = 0 + 0,399 999 957 565 44;
  • 15) 0,399 999 957 565 44 × 2 = 0 + 0,799 999 915 130 88;
  • 16) 0,799 999 915 130 88 × 2 = 1 + 0,599 999 830 261 76;
  • 17) 0,599 999 830 261 76 × 2 = 1 + 0,199 999 660 523 52;
  • 18) 0,199 999 660 523 52 × 2 = 0 + 0,399 999 321 047 04;
  • 19) 0,399 999 321 047 04 × 2 = 0 + 0,799 998 642 094 08;
  • 20) 0,799 998 642 094 08 × 2 = 1 + 0,599 997 284 188 16;
  • 21) 0,599 997 284 188 16 × 2 = 1 + 0,199 994 568 376 32;
  • 22) 0,199 994 568 376 32 × 2 = 0 + 0,399 989 136 752 64;
  • 23) 0,399 989 136 752 64 × 2 = 0 + 0,799 978 273 505 28;
  • 24) 0,799 978 273 505 28 × 2 = 1 + 0,599 956 547 010 56;
  • 25) 0,599 956 547 010 56 × 2 = 1 + 0,199 913 094 021 12;
  • 26) 0,199 913 094 021 12 × 2 = 0 + 0,399 826 188 042 24;
  • 27) 0,399 826 188 042 24 × 2 = 0 + 0,799 652 376 084 48;
  • 28) 0,799 652 376 084 48 × 2 = 1 + 0,599 304 752 168 96;
  • 29) 0,599 304 752 168 96 × 2 = 1 + 0,198 609 504 337 92;
  • 30) 0,198 609 504 337 92 × 2 = 0 + 0,397 219 008 675 84;
  • 31) 0,397 219 008 675 84 × 2 = 0 + 0,794 438 017 351 68;
  • 32) 0,794 438 017 351 68 × 2 = 1 + 0,588 876 034 703 36;
  • 33) 0,588 876 034 703 36 × 2 = 1 + 0,177 752 069 406 72;
  • 34) 0,177 752 069 406 72 × 2 = 0 + 0,355 504 138 813 44;
  • 35) 0,355 504 138 813 44 × 2 = 0 + 0,711 008 277 626 88;
  • 36) 0,711 008 277 626 88 × 2 = 1 + 0,422 016 555 253 76;
  • 37) 0,422 016 555 253 76 × 2 = 0 + 0,844 033 110 507 52;
  • 38) 0,844 033 110 507 52 × 2 = 1 + 0,688 066 221 015 04;
  • 39) 0,688 066 221 015 04 × 2 = 1 + 0,376 132 442 030 08;
  • 40) 0,376 132 442 030 08 × 2 = 0 + 0,752 264 884 060 16;
  • 41) 0,752 264 884 060 16 × 2 = 1 + 0,504 529 768 120 32;
  • 42) 0,504 529 768 120 32 × 2 = 1 + 0,009 059 536 240 64;
  • 43) 0,009 059 536 240 64 × 2 = 0 + 0,018 119 072 481 28;
  • 44) 0,018 119 072 481 28 × 2 = 0 + 0,036 238 144 962 56;
  • 45) 0,036 238 144 962 56 × 2 = 0 + 0,072 476 289 925 12;
  • 46) 0,072 476 289 925 12 × 2 = 0 + 0,144 952 579 850 24;
  • 47) 0,144 952 579 850 24 × 2 = 0 + 0,289 905 159 700 48;
  • 48) 0,289 905 159 700 48 × 2 = 0 + 0,579 810 319 400 96;
  • 49) 0,579 810 319 400 96 × 2 = 1 + 0,159 620 638 801 92;
  • 50) 0,159 620 638 801 92 × 2 = 0 + 0,319 241 277 603 84;
  • 51) 0,319 241 277 603 84 × 2 = 0 + 0,638 482 555 207 68;
  • 52) 0,638 482 555 207 68 × 2 = 1 + 0,276 965 110 415 36;
  • 53) 0,276 965 110 415 36 × 2 = 0 + 0,553 930 220 830 72;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


4. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,599 999 999 997 41(10) =

0,1001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 0110 1100 0000 1001 0(2)

5. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

654,599 999 999 997 41(10) =

10 1000 1110,1001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 0110 1100 0000 1001 0(2)

6. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 9 poziții la stânga, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


654,599 999 999 997 41(10) =

10 1000 1110,1001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 0110 1100 0000 1001 0(2) =

10 1000 1110,1001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 0110 1100 0000 1001 0(2) × 20 =

1,0100 0111 0100 1100 1100 1100 1100 1100 1100 1100 1100 1011 0110 0000 0100 10(2) × 29


7. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 0 (un număr pozitiv)

Exponent (neajustat): 9

Mantisă (nenormalizată):
1,0100 0111 0100 1100 1100 1100 1100 1100 1100 1100 1100 1011 0110 0000 0100 10


8. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

9 + 2(11-1) - 1 =

(9 + 1 023)(10) =

1 032(10)


9. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 032 : 2 = 516 + 0;
  • 516 : 2 = 258 + 0;
  • 258 : 2 = 129 + 0;
  • 129 : 2 = 64 + 1;
  • 64 : 2 = 32 + 0;
  • 32 : 2 = 16 + 0;
  • 16 : 2 = 8 + 0;
  • 8 : 2 = 4 + 0;
  • 4 : 2 = 2 + 0;
  • 2 : 2 = 1 + 0;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

10. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1032(10) =

100 0000 1000(2)


11. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (dacă măcar unul din acești biți în exces e setat pe 1, se pierde din precizie...).


Mantisă (normalizată) =

1. 0100 0111 0100 1100 1100 1100 1100 1100 1100 1100 1100 1011 0110 00 0001 0010 =

0100 0111 0100 1100 1100 1100 1100 1100 1100 1100 1100 1011 0110


12. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
0 (un număr pozitiv)

Exponent (11 biți) =
100 0000 1000

Mantisă (52 biți) =
0100 0111 0100 1100 1100 1100 1100 1100 1100 1100 1100 1011 0110


Numărul zecimal 654,599 999 999 997 41 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

0 - 100 0000 1000 - 0100 0111 0100 1100 1100 1100 1100 1100 1100 1100 1100 1011 0110

Distribuie

» Scriere 654,599 999 999 996 57 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 05, 2026 [Mai]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Mai - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100