654,599 999 999 999 37 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere 654,599 999 999 999 37(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
654,599 999 999 999 37(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 654.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 654 : 2 = 327 + 0;
  • 327 : 2 = 163 + 1;
  • 163 : 2 = 81 + 1;
  • 81 : 2 = 40 + 1;
  • 40 : 2 = 20 + 0;
  • 20 : 2 = 10 + 0;
  • 10 : 2 = 5 + 0;
  • 5 : 2 = 2 + 1;
  • 2 : 2 = 1 + 0;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

2. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

654(10) =

10 1000 1110(2)


3. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,599 999 999 999 37.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,599 999 999 999 37 × 2 = 1 + 0,199 999 999 998 74;
  • 2) 0,199 999 999 998 74 × 2 = 0 + 0,399 999 999 997 48;
  • 3) 0,399 999 999 997 48 × 2 = 0 + 0,799 999 999 994 96;
  • 4) 0,799 999 999 994 96 × 2 = 1 + 0,599 999 999 989 92;
  • 5) 0,599 999 999 989 92 × 2 = 1 + 0,199 999 999 979 84;
  • 6) 0,199 999 999 979 84 × 2 = 0 + 0,399 999 999 959 68;
  • 7) 0,399 999 999 959 68 × 2 = 0 + 0,799 999 999 919 36;
  • 8) 0,799 999 999 919 36 × 2 = 1 + 0,599 999 999 838 72;
  • 9) 0,599 999 999 838 72 × 2 = 1 + 0,199 999 999 677 44;
  • 10) 0,199 999 999 677 44 × 2 = 0 + 0,399 999 999 354 88;
  • 11) 0,399 999 999 354 88 × 2 = 0 + 0,799 999 998 709 76;
  • 12) 0,799 999 998 709 76 × 2 = 1 + 0,599 999 997 419 52;
  • 13) 0,599 999 997 419 52 × 2 = 1 + 0,199 999 994 839 04;
  • 14) 0,199 999 994 839 04 × 2 = 0 + 0,399 999 989 678 08;
  • 15) 0,399 999 989 678 08 × 2 = 0 + 0,799 999 979 356 16;
  • 16) 0,799 999 979 356 16 × 2 = 1 + 0,599 999 958 712 32;
  • 17) 0,599 999 958 712 32 × 2 = 1 + 0,199 999 917 424 64;
  • 18) 0,199 999 917 424 64 × 2 = 0 + 0,399 999 834 849 28;
  • 19) 0,399 999 834 849 28 × 2 = 0 + 0,799 999 669 698 56;
  • 20) 0,799 999 669 698 56 × 2 = 1 + 0,599 999 339 397 12;
  • 21) 0,599 999 339 397 12 × 2 = 1 + 0,199 998 678 794 24;
  • 22) 0,199 998 678 794 24 × 2 = 0 + 0,399 997 357 588 48;
  • 23) 0,399 997 357 588 48 × 2 = 0 + 0,799 994 715 176 96;
  • 24) 0,799 994 715 176 96 × 2 = 1 + 0,599 989 430 353 92;
  • 25) 0,599 989 430 353 92 × 2 = 1 + 0,199 978 860 707 84;
  • 26) 0,199 978 860 707 84 × 2 = 0 + 0,399 957 721 415 68;
  • 27) 0,399 957 721 415 68 × 2 = 0 + 0,799 915 442 831 36;
  • 28) 0,799 915 442 831 36 × 2 = 1 + 0,599 830 885 662 72;
  • 29) 0,599 830 885 662 72 × 2 = 1 + 0,199 661 771 325 44;
  • 30) 0,199 661 771 325 44 × 2 = 0 + 0,399 323 542 650 88;
  • 31) 0,399 323 542 650 88 × 2 = 0 + 0,798 647 085 301 76;
  • 32) 0,798 647 085 301 76 × 2 = 1 + 0,597 294 170 603 52;
  • 33) 0,597 294 170 603 52 × 2 = 1 + 0,194 588 341 207 04;
  • 34) 0,194 588 341 207 04 × 2 = 0 + 0,389 176 682 414 08;
  • 35) 0,389 176 682 414 08 × 2 = 0 + 0,778 353 364 828 16;
  • 36) 0,778 353 364 828 16 × 2 = 1 + 0,556 706 729 656 32;
  • 37) 0,556 706 729 656 32 × 2 = 1 + 0,113 413 459 312 64;
  • 38) 0,113 413 459 312 64 × 2 = 0 + 0,226 826 918 625 28;
  • 39) 0,226 826 918 625 28 × 2 = 0 + 0,453 653 837 250 56;
  • 40) 0,453 653 837 250 56 × 2 = 0 + 0,907 307 674 501 12;
  • 41) 0,907 307 674 501 12 × 2 = 1 + 0,814 615 349 002 24;
  • 42) 0,814 615 349 002 24 × 2 = 1 + 0,629 230 698 004 48;
  • 43) 0,629 230 698 004 48 × 2 = 1 + 0,258 461 396 008 96;
  • 44) 0,258 461 396 008 96 × 2 = 0 + 0,516 922 792 017 92;
  • 45) 0,516 922 792 017 92 × 2 = 1 + 0,033 845 584 035 84;
  • 46) 0,033 845 584 035 84 × 2 = 0 + 0,067 691 168 071 68;
  • 47) 0,067 691 168 071 68 × 2 = 0 + 0,135 382 336 143 36;
  • 48) 0,135 382 336 143 36 × 2 = 0 + 0,270 764 672 286 72;
  • 49) 0,270 764 672 286 72 × 2 = 0 + 0,541 529 344 573 44;
  • 50) 0,541 529 344 573 44 × 2 = 1 + 0,083 058 689 146 88;
  • 51) 0,083 058 689 146 88 × 2 = 0 + 0,166 117 378 293 76;
  • 52) 0,166 117 378 293 76 × 2 = 0 + 0,332 234 756 587 52;
  • 53) 0,332 234 756 587 52 × 2 = 0 + 0,664 469 513 175 04;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


4. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,599 999 999 999 37(10) =

0,1001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 1000 1110 1000 0100 0(2)

5. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

654,599 999 999 999 37(10) =

10 1000 1110,1001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 1000 1110 1000 0100 0(2)

6. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 9 poziții la stânga, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


654,599 999 999 999 37(10) =

10 1000 1110,1001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 1000 1110 1000 0100 0(2) =

10 1000 1110,1001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 1000 1110 1000 0100 0(2) × 20 =

1,0100 0111 0100 1100 1100 1100 1100 1100 1100 1100 1100 1100 0111 0100 0010 00(2) × 29


7. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 0 (un număr pozitiv)

Exponent (neajustat): 9

Mantisă (nenormalizată):
1,0100 0111 0100 1100 1100 1100 1100 1100 1100 1100 1100 1100 0111 0100 0010 00


8. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

9 + 2(11-1) - 1 =

(9 + 1 023)(10) =

1 032(10)


9. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 032 : 2 = 516 + 0;
  • 516 : 2 = 258 + 0;
  • 258 : 2 = 129 + 0;
  • 129 : 2 = 64 + 1;
  • 64 : 2 = 32 + 0;
  • 32 : 2 = 16 + 0;
  • 16 : 2 = 8 + 0;
  • 8 : 2 = 4 + 0;
  • 4 : 2 = 2 + 0;
  • 2 : 2 = 1 + 0;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

10. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1032(10) =

100 0000 1000(2)


11. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (dacă măcar unul din acești biți în exces e setat pe 1, se pierde din precizie...).


Mantisă (normalizată) =

1. 0100 0111 0100 1100 1100 1100 1100 1100 1100 1100 1100 1100 0111 01 0000 1000 =

0100 0111 0100 1100 1100 1100 1100 1100 1100 1100 1100 1100 0111


12. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
0 (un număr pozitiv)

Exponent (11 biți) =
100 0000 1000

Mantisă (52 biți) =
0100 0111 0100 1100 1100 1100 1100 1100 1100 1100 1100 1100 0111


Numărul zecimal 654,599 999 999 999 37 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

0 - 100 0000 1000 - 0100 0111 0100 1100 1100 1100 1100 1100 1100 1100 1100 1100 0111

Distribuie

» Scriere 654,599 999 999 999 11 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 05, 2026 [Mai]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Mai - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100