654,599 999 999 999 909 050 511 3 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere 654,599 999 999 999 909 050 511 3(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
654,599 999 999 999 909 050 511 3(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 654.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 654 : 2 = 327 + 0;
  • 327 : 2 = 163 + 1;
  • 163 : 2 = 81 + 1;
  • 81 : 2 = 40 + 1;
  • 40 : 2 = 20 + 0;
  • 20 : 2 = 10 + 0;
  • 10 : 2 = 5 + 0;
  • 5 : 2 = 2 + 1;
  • 2 : 2 = 1 + 0;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

2. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

654(10) =

10 1000 1110(2)


3. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,599 999 999 999 909 050 511 3.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,599 999 999 999 909 050 511 3 × 2 = 1 + 0,199 999 999 999 818 101 022 6;
  • 2) 0,199 999 999 999 818 101 022 6 × 2 = 0 + 0,399 999 999 999 636 202 045 2;
  • 3) 0,399 999 999 999 636 202 045 2 × 2 = 0 + 0,799 999 999 999 272 404 090 4;
  • 4) 0,799 999 999 999 272 404 090 4 × 2 = 1 + 0,599 999 999 998 544 808 180 8;
  • 5) 0,599 999 999 998 544 808 180 8 × 2 = 1 + 0,199 999 999 997 089 616 361 6;
  • 6) 0,199 999 999 997 089 616 361 6 × 2 = 0 + 0,399 999 999 994 179 232 723 2;
  • 7) 0,399 999 999 994 179 232 723 2 × 2 = 0 + 0,799 999 999 988 358 465 446 4;
  • 8) 0,799 999 999 988 358 465 446 4 × 2 = 1 + 0,599 999 999 976 716 930 892 8;
  • 9) 0,599 999 999 976 716 930 892 8 × 2 = 1 + 0,199 999 999 953 433 861 785 6;
  • 10) 0,199 999 999 953 433 861 785 6 × 2 = 0 + 0,399 999 999 906 867 723 571 2;
  • 11) 0,399 999 999 906 867 723 571 2 × 2 = 0 + 0,799 999 999 813 735 447 142 4;
  • 12) 0,799 999 999 813 735 447 142 4 × 2 = 1 + 0,599 999 999 627 470 894 284 8;
  • 13) 0,599 999 999 627 470 894 284 8 × 2 = 1 + 0,199 999 999 254 941 788 569 6;
  • 14) 0,199 999 999 254 941 788 569 6 × 2 = 0 + 0,399 999 998 509 883 577 139 2;
  • 15) 0,399 999 998 509 883 577 139 2 × 2 = 0 + 0,799 999 997 019 767 154 278 4;
  • 16) 0,799 999 997 019 767 154 278 4 × 2 = 1 + 0,599 999 994 039 534 308 556 8;
  • 17) 0,599 999 994 039 534 308 556 8 × 2 = 1 + 0,199 999 988 079 068 617 113 6;
  • 18) 0,199 999 988 079 068 617 113 6 × 2 = 0 + 0,399 999 976 158 137 234 227 2;
  • 19) 0,399 999 976 158 137 234 227 2 × 2 = 0 + 0,799 999 952 316 274 468 454 4;
  • 20) 0,799 999 952 316 274 468 454 4 × 2 = 1 + 0,599 999 904 632 548 936 908 8;
  • 21) 0,599 999 904 632 548 936 908 8 × 2 = 1 + 0,199 999 809 265 097 873 817 6;
  • 22) 0,199 999 809 265 097 873 817 6 × 2 = 0 + 0,399 999 618 530 195 747 635 2;
  • 23) 0,399 999 618 530 195 747 635 2 × 2 = 0 + 0,799 999 237 060 391 495 270 4;
  • 24) 0,799 999 237 060 391 495 270 4 × 2 = 1 + 0,599 998 474 120 782 990 540 8;
  • 25) 0,599 998 474 120 782 990 540 8 × 2 = 1 + 0,199 996 948 241 565 981 081 6;
  • 26) 0,199 996 948 241 565 981 081 6 × 2 = 0 + 0,399 993 896 483 131 962 163 2;
  • 27) 0,399 993 896 483 131 962 163 2 × 2 = 0 + 0,799 987 792 966 263 924 326 4;
  • 28) 0,799 987 792 966 263 924 326 4 × 2 = 1 + 0,599 975 585 932 527 848 652 8;
  • 29) 0,599 975 585 932 527 848 652 8 × 2 = 1 + 0,199 951 171 865 055 697 305 6;
  • 30) 0,199 951 171 865 055 697 305 6 × 2 = 0 + 0,399 902 343 730 111 394 611 2;
  • 31) 0,399 902 343 730 111 394 611 2 × 2 = 0 + 0,799 804 687 460 222 789 222 4;
  • 32) 0,799 804 687 460 222 789 222 4 × 2 = 1 + 0,599 609 374 920 445 578 444 8;
  • 33) 0,599 609 374 920 445 578 444 8 × 2 = 1 + 0,199 218 749 840 891 156 889 6;
  • 34) 0,199 218 749 840 891 156 889 6 × 2 = 0 + 0,398 437 499 681 782 313 779 2;
  • 35) 0,398 437 499 681 782 313 779 2 × 2 = 0 + 0,796 874 999 363 564 627 558 4;
  • 36) 0,796 874 999 363 564 627 558 4 × 2 = 1 + 0,593 749 998 727 129 255 116 8;
  • 37) 0,593 749 998 727 129 255 116 8 × 2 = 1 + 0,187 499 997 454 258 510 233 6;
  • 38) 0,187 499 997 454 258 510 233 6 × 2 = 0 + 0,374 999 994 908 517 020 467 2;
  • 39) 0,374 999 994 908 517 020 467 2 × 2 = 0 + 0,749 999 989 817 034 040 934 4;
  • 40) 0,749 999 989 817 034 040 934 4 × 2 = 1 + 0,499 999 979 634 068 081 868 8;
  • 41) 0,499 999 979 634 068 081 868 8 × 2 = 0 + 0,999 999 959 268 136 163 737 6;
  • 42) 0,999 999 959 268 136 163 737 6 × 2 = 1 + 0,999 999 918 536 272 327 475 2;
  • 43) 0,999 999 918 536 272 327 475 2 × 2 = 1 + 0,999 999 837 072 544 654 950 4;
  • 44) 0,999 999 837 072 544 654 950 4 × 2 = 1 + 0,999 999 674 145 089 309 900 8;
  • 45) 0,999 999 674 145 089 309 900 8 × 2 = 1 + 0,999 999 348 290 178 619 801 6;
  • 46) 0,999 999 348 290 178 619 801 6 × 2 = 1 + 0,999 998 696 580 357 239 603 2;
  • 47) 0,999 998 696 580 357 239 603 2 × 2 = 1 + 0,999 997 393 160 714 479 206 4;
  • 48) 0,999 997 393 160 714 479 206 4 × 2 = 1 + 0,999 994 786 321 428 958 412 8;
  • 49) 0,999 994 786 321 428 958 412 8 × 2 = 1 + 0,999 989 572 642 857 916 825 6;
  • 50) 0,999 989 572 642 857 916 825 6 × 2 = 1 + 0,999 979 145 285 715 833 651 2;
  • 51) 0,999 979 145 285 715 833 651 2 × 2 = 1 + 0,999 958 290 571 431 667 302 4;
  • 52) 0,999 958 290 571 431 667 302 4 × 2 = 1 + 0,999 916 581 142 863 334 604 8;
  • 53) 0,999 916 581 142 863 334 604 8 × 2 = 1 + 0,999 833 162 285 726 669 209 6;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


4. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,599 999 999 999 909 050 511 3(10) =

0,1001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 0111 1111 1111 1(2)

5. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

654,599 999 999 999 909 050 511 3(10) =

10 1000 1110,1001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 0111 1111 1111 1(2)

6. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 9 poziții la stânga, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


654,599 999 999 999 909 050 511 3(10) =

10 1000 1110,1001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 0111 1111 1111 1(2) =

10 1000 1110,1001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 0111 1111 1111 1(2) × 20 =

1,0100 0111 0100 1100 1100 1100 1100 1100 1100 1100 1100 1100 1011 1111 1111 11(2) × 29


7. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 0 (un număr pozitiv)

Exponent (neajustat): 9

Mantisă (nenormalizată):
1,0100 0111 0100 1100 1100 1100 1100 1100 1100 1100 1100 1100 1011 1111 1111 11


8. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

9 + 2(11-1) - 1 =

(9 + 1 023)(10) =

1 032(10)


9. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 032 : 2 = 516 + 0;
  • 516 : 2 = 258 + 0;
  • 258 : 2 = 129 + 0;
  • 129 : 2 = 64 + 1;
  • 64 : 2 = 32 + 0;
  • 32 : 2 = 16 + 0;
  • 16 : 2 = 8 + 0;
  • 8 : 2 = 4 + 0;
  • 4 : 2 = 2 + 0;
  • 2 : 2 = 1 + 0;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

10. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1032(10) =

100 0000 1000(2)


11. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (dacă măcar unul din acești biți în exces e setat pe 1, se pierde din precizie...).


Mantisă (normalizată) =

1. 0100 0111 0100 1100 1100 1100 1100 1100 1100 1100 1100 1100 1011 11 1111 1111 =

0100 0111 0100 1100 1100 1100 1100 1100 1100 1100 1100 1100 1011


12. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
0 (un număr pozitiv)

Exponent (11 biți) =
100 0000 1000

Mantisă (52 biți) =
0100 0111 0100 1100 1100 1100 1100 1100 1100 1100 1100 1100 1011


Numărul zecimal 654,599 999 999 999 909 050 511 3 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

0 - 100 0000 1000 - 0100 0111 0100 1100 1100 1100 1100 1100 1100 1100 1100 1100 1011

Distribuie

» Scriere 654,599 999 999 999 909 050 504 5 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 05, 2026 [Mai]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Mai - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100