654,599 999 999 999 909 050 528 22 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere 654,599 999 999 999 909 050 528 22(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
654,599 999 999 999 909 050 528 22(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 654.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 654 : 2 = 327 + 0;
  • 327 : 2 = 163 + 1;
  • 163 : 2 = 81 + 1;
  • 81 : 2 = 40 + 1;
  • 40 : 2 = 20 + 0;
  • 20 : 2 = 10 + 0;
  • 10 : 2 = 5 + 0;
  • 5 : 2 = 2 + 1;
  • 2 : 2 = 1 + 0;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

2. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

654(10) =

10 1000 1110(2)


3. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,599 999 999 999 909 050 528 22.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,599 999 999 999 909 050 528 22 × 2 = 1 + 0,199 999 999 999 818 101 056 44;
  • 2) 0,199 999 999 999 818 101 056 44 × 2 = 0 + 0,399 999 999 999 636 202 112 88;
  • 3) 0,399 999 999 999 636 202 112 88 × 2 = 0 + 0,799 999 999 999 272 404 225 76;
  • 4) 0,799 999 999 999 272 404 225 76 × 2 = 1 + 0,599 999 999 998 544 808 451 52;
  • 5) 0,599 999 999 998 544 808 451 52 × 2 = 1 + 0,199 999 999 997 089 616 903 04;
  • 6) 0,199 999 999 997 089 616 903 04 × 2 = 0 + 0,399 999 999 994 179 233 806 08;
  • 7) 0,399 999 999 994 179 233 806 08 × 2 = 0 + 0,799 999 999 988 358 467 612 16;
  • 8) 0,799 999 999 988 358 467 612 16 × 2 = 1 + 0,599 999 999 976 716 935 224 32;
  • 9) 0,599 999 999 976 716 935 224 32 × 2 = 1 + 0,199 999 999 953 433 870 448 64;
  • 10) 0,199 999 999 953 433 870 448 64 × 2 = 0 + 0,399 999 999 906 867 740 897 28;
  • 11) 0,399 999 999 906 867 740 897 28 × 2 = 0 + 0,799 999 999 813 735 481 794 56;
  • 12) 0,799 999 999 813 735 481 794 56 × 2 = 1 + 0,599 999 999 627 470 963 589 12;
  • 13) 0,599 999 999 627 470 963 589 12 × 2 = 1 + 0,199 999 999 254 941 927 178 24;
  • 14) 0,199 999 999 254 941 927 178 24 × 2 = 0 + 0,399 999 998 509 883 854 356 48;
  • 15) 0,399 999 998 509 883 854 356 48 × 2 = 0 + 0,799 999 997 019 767 708 712 96;
  • 16) 0,799 999 997 019 767 708 712 96 × 2 = 1 + 0,599 999 994 039 535 417 425 92;
  • 17) 0,599 999 994 039 535 417 425 92 × 2 = 1 + 0,199 999 988 079 070 834 851 84;
  • 18) 0,199 999 988 079 070 834 851 84 × 2 = 0 + 0,399 999 976 158 141 669 703 68;
  • 19) 0,399 999 976 158 141 669 703 68 × 2 = 0 + 0,799 999 952 316 283 339 407 36;
  • 20) 0,799 999 952 316 283 339 407 36 × 2 = 1 + 0,599 999 904 632 566 678 814 72;
  • 21) 0,599 999 904 632 566 678 814 72 × 2 = 1 + 0,199 999 809 265 133 357 629 44;
  • 22) 0,199 999 809 265 133 357 629 44 × 2 = 0 + 0,399 999 618 530 266 715 258 88;
  • 23) 0,399 999 618 530 266 715 258 88 × 2 = 0 + 0,799 999 237 060 533 430 517 76;
  • 24) 0,799 999 237 060 533 430 517 76 × 2 = 1 + 0,599 998 474 121 066 861 035 52;
  • 25) 0,599 998 474 121 066 861 035 52 × 2 = 1 + 0,199 996 948 242 133 722 071 04;
  • 26) 0,199 996 948 242 133 722 071 04 × 2 = 0 + 0,399 993 896 484 267 444 142 08;
  • 27) 0,399 993 896 484 267 444 142 08 × 2 = 0 + 0,799 987 792 968 534 888 284 16;
  • 28) 0,799 987 792 968 534 888 284 16 × 2 = 1 + 0,599 975 585 937 069 776 568 32;
  • 29) 0,599 975 585 937 069 776 568 32 × 2 = 1 + 0,199 951 171 874 139 553 136 64;
  • 30) 0,199 951 171 874 139 553 136 64 × 2 = 0 + 0,399 902 343 748 279 106 273 28;
  • 31) 0,399 902 343 748 279 106 273 28 × 2 = 0 + 0,799 804 687 496 558 212 546 56;
  • 32) 0,799 804 687 496 558 212 546 56 × 2 = 1 + 0,599 609 374 993 116 425 093 12;
  • 33) 0,599 609 374 993 116 425 093 12 × 2 = 1 + 0,199 218 749 986 232 850 186 24;
  • 34) 0,199 218 749 986 232 850 186 24 × 2 = 0 + 0,398 437 499 972 465 700 372 48;
  • 35) 0,398 437 499 972 465 700 372 48 × 2 = 0 + 0,796 874 999 944 931 400 744 96;
  • 36) 0,796 874 999 944 931 400 744 96 × 2 = 1 + 0,593 749 999 889 862 801 489 92;
  • 37) 0,593 749 999 889 862 801 489 92 × 2 = 1 + 0,187 499 999 779 725 602 979 84;
  • 38) 0,187 499 999 779 725 602 979 84 × 2 = 0 + 0,374 999 999 559 451 205 959 68;
  • 39) 0,374 999 999 559 451 205 959 68 × 2 = 0 + 0,749 999 999 118 902 411 919 36;
  • 40) 0,749 999 999 118 902 411 919 36 × 2 = 1 + 0,499 999 998 237 804 823 838 72;
  • 41) 0,499 999 998 237 804 823 838 72 × 2 = 0 + 0,999 999 996 475 609 647 677 44;
  • 42) 0,999 999 996 475 609 647 677 44 × 2 = 1 + 0,999 999 992 951 219 295 354 88;
  • 43) 0,999 999 992 951 219 295 354 88 × 2 = 1 + 0,999 999 985 902 438 590 709 76;
  • 44) 0,999 999 985 902 438 590 709 76 × 2 = 1 + 0,999 999 971 804 877 181 419 52;
  • 45) 0,999 999 971 804 877 181 419 52 × 2 = 1 + 0,999 999 943 609 754 362 839 04;
  • 46) 0,999 999 943 609 754 362 839 04 × 2 = 1 + 0,999 999 887 219 508 725 678 08;
  • 47) 0,999 999 887 219 508 725 678 08 × 2 = 1 + 0,999 999 774 439 017 451 356 16;
  • 48) 0,999 999 774 439 017 451 356 16 × 2 = 1 + 0,999 999 548 878 034 902 712 32;
  • 49) 0,999 999 548 878 034 902 712 32 × 2 = 1 + 0,999 999 097 756 069 805 424 64;
  • 50) 0,999 999 097 756 069 805 424 64 × 2 = 1 + 0,999 998 195 512 139 610 849 28;
  • 51) 0,999 998 195 512 139 610 849 28 × 2 = 1 + 0,999 996 391 024 279 221 698 56;
  • 52) 0,999 996 391 024 279 221 698 56 × 2 = 1 + 0,999 992 782 048 558 443 397 12;
  • 53) 0,999 992 782 048 558 443 397 12 × 2 = 1 + 0,999 985 564 097 116 886 794 24;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


4. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,599 999 999 999 909 050 528 22(10) =

0,1001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 0111 1111 1111 1(2)

5. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

654,599 999 999 999 909 050 528 22(10) =

10 1000 1110,1001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 0111 1111 1111 1(2)

6. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 9 poziții la stânga, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


654,599 999 999 999 909 050 528 22(10) =

10 1000 1110,1001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 0111 1111 1111 1(2) =

10 1000 1110,1001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 0111 1111 1111 1(2) × 20 =

1,0100 0111 0100 1100 1100 1100 1100 1100 1100 1100 1100 1100 1011 1111 1111 11(2) × 29


7. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 0 (un număr pozitiv)

Exponent (neajustat): 9

Mantisă (nenormalizată):
1,0100 0111 0100 1100 1100 1100 1100 1100 1100 1100 1100 1100 1011 1111 1111 11


8. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

9 + 2(11-1) - 1 =

(9 + 1 023)(10) =

1 032(10)


9. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 032 : 2 = 516 + 0;
  • 516 : 2 = 258 + 0;
  • 258 : 2 = 129 + 0;
  • 129 : 2 = 64 + 1;
  • 64 : 2 = 32 + 0;
  • 32 : 2 = 16 + 0;
  • 16 : 2 = 8 + 0;
  • 8 : 2 = 4 + 0;
  • 4 : 2 = 2 + 0;
  • 2 : 2 = 1 + 0;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

10. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1032(10) =

100 0000 1000(2)


11. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (dacă măcar unul din acești biți în exces e setat pe 1, se pierde din precizie...).


Mantisă (normalizată) =

1. 0100 0111 0100 1100 1100 1100 1100 1100 1100 1100 1100 1100 1011 11 1111 1111 =

0100 0111 0100 1100 1100 1100 1100 1100 1100 1100 1100 1100 1011


12. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
0 (un număr pozitiv)

Exponent (11 biți) =
100 0000 1000

Mantisă (52 biți) =
0100 0111 0100 1100 1100 1100 1100 1100 1100 1100 1100 1100 1011


Numărul zecimal 654,599 999 999 999 909 050 528 22 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

0 - 100 0000 1000 - 0100 0111 0100 1100 1100 1100 1100 1100 1100 1100 1100 1100 1011

Distribuie

» Scriere 654,599 999 999 999 909 050 527 5 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 05, 2026 [Mai]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Mai - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100