654,599 999 999 999 909 050 528 6 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere 654,599 999 999 999 909 050 528 6(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
654,599 999 999 999 909 050 528 6(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 654.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 654 : 2 = 327 + 0;
  • 327 : 2 = 163 + 1;
  • 163 : 2 = 81 + 1;
  • 81 : 2 = 40 + 1;
  • 40 : 2 = 20 + 0;
  • 20 : 2 = 10 + 0;
  • 10 : 2 = 5 + 0;
  • 5 : 2 = 2 + 1;
  • 2 : 2 = 1 + 0;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

2. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

654(10) =

10 1000 1110(2)


3. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,599 999 999 999 909 050 528 6.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,599 999 999 999 909 050 528 6 × 2 = 1 + 0,199 999 999 999 818 101 057 2;
  • 2) 0,199 999 999 999 818 101 057 2 × 2 = 0 + 0,399 999 999 999 636 202 114 4;
  • 3) 0,399 999 999 999 636 202 114 4 × 2 = 0 + 0,799 999 999 999 272 404 228 8;
  • 4) 0,799 999 999 999 272 404 228 8 × 2 = 1 + 0,599 999 999 998 544 808 457 6;
  • 5) 0,599 999 999 998 544 808 457 6 × 2 = 1 + 0,199 999 999 997 089 616 915 2;
  • 6) 0,199 999 999 997 089 616 915 2 × 2 = 0 + 0,399 999 999 994 179 233 830 4;
  • 7) 0,399 999 999 994 179 233 830 4 × 2 = 0 + 0,799 999 999 988 358 467 660 8;
  • 8) 0,799 999 999 988 358 467 660 8 × 2 = 1 + 0,599 999 999 976 716 935 321 6;
  • 9) 0,599 999 999 976 716 935 321 6 × 2 = 1 + 0,199 999 999 953 433 870 643 2;
  • 10) 0,199 999 999 953 433 870 643 2 × 2 = 0 + 0,399 999 999 906 867 741 286 4;
  • 11) 0,399 999 999 906 867 741 286 4 × 2 = 0 + 0,799 999 999 813 735 482 572 8;
  • 12) 0,799 999 999 813 735 482 572 8 × 2 = 1 + 0,599 999 999 627 470 965 145 6;
  • 13) 0,599 999 999 627 470 965 145 6 × 2 = 1 + 0,199 999 999 254 941 930 291 2;
  • 14) 0,199 999 999 254 941 930 291 2 × 2 = 0 + 0,399 999 998 509 883 860 582 4;
  • 15) 0,399 999 998 509 883 860 582 4 × 2 = 0 + 0,799 999 997 019 767 721 164 8;
  • 16) 0,799 999 997 019 767 721 164 8 × 2 = 1 + 0,599 999 994 039 535 442 329 6;
  • 17) 0,599 999 994 039 535 442 329 6 × 2 = 1 + 0,199 999 988 079 070 884 659 2;
  • 18) 0,199 999 988 079 070 884 659 2 × 2 = 0 + 0,399 999 976 158 141 769 318 4;
  • 19) 0,399 999 976 158 141 769 318 4 × 2 = 0 + 0,799 999 952 316 283 538 636 8;
  • 20) 0,799 999 952 316 283 538 636 8 × 2 = 1 + 0,599 999 904 632 567 077 273 6;
  • 21) 0,599 999 904 632 567 077 273 6 × 2 = 1 + 0,199 999 809 265 134 154 547 2;
  • 22) 0,199 999 809 265 134 154 547 2 × 2 = 0 + 0,399 999 618 530 268 309 094 4;
  • 23) 0,399 999 618 530 268 309 094 4 × 2 = 0 + 0,799 999 237 060 536 618 188 8;
  • 24) 0,799 999 237 060 536 618 188 8 × 2 = 1 + 0,599 998 474 121 073 236 377 6;
  • 25) 0,599 998 474 121 073 236 377 6 × 2 = 1 + 0,199 996 948 242 146 472 755 2;
  • 26) 0,199 996 948 242 146 472 755 2 × 2 = 0 + 0,399 993 896 484 292 945 510 4;
  • 27) 0,399 993 896 484 292 945 510 4 × 2 = 0 + 0,799 987 792 968 585 891 020 8;
  • 28) 0,799 987 792 968 585 891 020 8 × 2 = 1 + 0,599 975 585 937 171 782 041 6;
  • 29) 0,599 975 585 937 171 782 041 6 × 2 = 1 + 0,199 951 171 874 343 564 083 2;
  • 30) 0,199 951 171 874 343 564 083 2 × 2 = 0 + 0,399 902 343 748 687 128 166 4;
  • 31) 0,399 902 343 748 687 128 166 4 × 2 = 0 + 0,799 804 687 497 374 256 332 8;
  • 32) 0,799 804 687 497 374 256 332 8 × 2 = 1 + 0,599 609 374 994 748 512 665 6;
  • 33) 0,599 609 374 994 748 512 665 6 × 2 = 1 + 0,199 218 749 989 497 025 331 2;
  • 34) 0,199 218 749 989 497 025 331 2 × 2 = 0 + 0,398 437 499 978 994 050 662 4;
  • 35) 0,398 437 499 978 994 050 662 4 × 2 = 0 + 0,796 874 999 957 988 101 324 8;
  • 36) 0,796 874 999 957 988 101 324 8 × 2 = 1 + 0,593 749 999 915 976 202 649 6;
  • 37) 0,593 749 999 915 976 202 649 6 × 2 = 1 + 0,187 499 999 831 952 405 299 2;
  • 38) 0,187 499 999 831 952 405 299 2 × 2 = 0 + 0,374 999 999 663 904 810 598 4;
  • 39) 0,374 999 999 663 904 810 598 4 × 2 = 0 + 0,749 999 999 327 809 621 196 8;
  • 40) 0,749 999 999 327 809 621 196 8 × 2 = 1 + 0,499 999 998 655 619 242 393 6;
  • 41) 0,499 999 998 655 619 242 393 6 × 2 = 0 + 0,999 999 997 311 238 484 787 2;
  • 42) 0,999 999 997 311 238 484 787 2 × 2 = 1 + 0,999 999 994 622 476 969 574 4;
  • 43) 0,999 999 994 622 476 969 574 4 × 2 = 1 + 0,999 999 989 244 953 939 148 8;
  • 44) 0,999 999 989 244 953 939 148 8 × 2 = 1 + 0,999 999 978 489 907 878 297 6;
  • 45) 0,999 999 978 489 907 878 297 6 × 2 = 1 + 0,999 999 956 979 815 756 595 2;
  • 46) 0,999 999 956 979 815 756 595 2 × 2 = 1 + 0,999 999 913 959 631 513 190 4;
  • 47) 0,999 999 913 959 631 513 190 4 × 2 = 1 + 0,999 999 827 919 263 026 380 8;
  • 48) 0,999 999 827 919 263 026 380 8 × 2 = 1 + 0,999 999 655 838 526 052 761 6;
  • 49) 0,999 999 655 838 526 052 761 6 × 2 = 1 + 0,999 999 311 677 052 105 523 2;
  • 50) 0,999 999 311 677 052 105 523 2 × 2 = 1 + 0,999 998 623 354 104 211 046 4;
  • 51) 0,999 998 623 354 104 211 046 4 × 2 = 1 + 0,999 997 246 708 208 422 092 8;
  • 52) 0,999 997 246 708 208 422 092 8 × 2 = 1 + 0,999 994 493 416 416 844 185 6;
  • 53) 0,999 994 493 416 416 844 185 6 × 2 = 1 + 0,999 988 986 832 833 688 371 2;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


4. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,599 999 999 999 909 050 528 6(10) =

0,1001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 0111 1111 1111 1(2)

5. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

654,599 999 999 999 909 050 528 6(10) =

10 1000 1110,1001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 0111 1111 1111 1(2)

6. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 9 poziții la stânga, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


654,599 999 999 999 909 050 528 6(10) =

10 1000 1110,1001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 0111 1111 1111 1(2) =

10 1000 1110,1001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 0111 1111 1111 1(2) × 20 =

1,0100 0111 0100 1100 1100 1100 1100 1100 1100 1100 1100 1100 1011 1111 1111 11(2) × 29


7. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 0 (un număr pozitiv)

Exponent (neajustat): 9

Mantisă (nenormalizată):
1,0100 0111 0100 1100 1100 1100 1100 1100 1100 1100 1100 1100 1011 1111 1111 11


8. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

9 + 2(11-1) - 1 =

(9 + 1 023)(10) =

1 032(10)


9. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 032 : 2 = 516 + 0;
  • 516 : 2 = 258 + 0;
  • 258 : 2 = 129 + 0;
  • 129 : 2 = 64 + 1;
  • 64 : 2 = 32 + 0;
  • 32 : 2 = 16 + 0;
  • 16 : 2 = 8 + 0;
  • 8 : 2 = 4 + 0;
  • 4 : 2 = 2 + 0;
  • 2 : 2 = 1 + 0;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

10. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1032(10) =

100 0000 1000(2)


11. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (dacă măcar unul din acești biți în exces e setat pe 1, se pierde din precizie...).


Mantisă (normalizată) =

1. 0100 0111 0100 1100 1100 1100 1100 1100 1100 1100 1100 1100 1011 11 1111 1111 =

0100 0111 0100 1100 1100 1100 1100 1100 1100 1100 1100 1100 1011


12. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
0 (un număr pozitiv)

Exponent (11 biți) =
100 0000 1000

Mantisă (52 biți) =
0100 0111 0100 1100 1100 1100 1100 1100 1100 1100 1100 1100 1011


Numărul zecimal 654,599 999 999 999 909 050 528 6 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

0 - 100 0000 1000 - 0100 0111 0100 1100 1100 1100 1100 1100 1100 1100 1100 1100 1011

Distribuie

» Scriere 654,599 999 999 999 909 050 524 2 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 05, 2026 [Mai]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Mai - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100