654,599 999 999 999 909 050 531 7 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere 654,599 999 999 999 909 050 531 7(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
654,599 999 999 999 909 050 531 7(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 654.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 654 : 2 = 327 + 0;
  • 327 : 2 = 163 + 1;
  • 163 : 2 = 81 + 1;
  • 81 : 2 = 40 + 1;
  • 40 : 2 = 20 + 0;
  • 20 : 2 = 10 + 0;
  • 10 : 2 = 5 + 0;
  • 5 : 2 = 2 + 1;
  • 2 : 2 = 1 + 0;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

2. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

654(10) =

10 1000 1110(2)


3. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,599 999 999 999 909 050 531 7.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,599 999 999 999 909 050 531 7 × 2 = 1 + 0,199 999 999 999 818 101 063 4;
  • 2) 0,199 999 999 999 818 101 063 4 × 2 = 0 + 0,399 999 999 999 636 202 126 8;
  • 3) 0,399 999 999 999 636 202 126 8 × 2 = 0 + 0,799 999 999 999 272 404 253 6;
  • 4) 0,799 999 999 999 272 404 253 6 × 2 = 1 + 0,599 999 999 998 544 808 507 2;
  • 5) 0,599 999 999 998 544 808 507 2 × 2 = 1 + 0,199 999 999 997 089 617 014 4;
  • 6) 0,199 999 999 997 089 617 014 4 × 2 = 0 + 0,399 999 999 994 179 234 028 8;
  • 7) 0,399 999 999 994 179 234 028 8 × 2 = 0 + 0,799 999 999 988 358 468 057 6;
  • 8) 0,799 999 999 988 358 468 057 6 × 2 = 1 + 0,599 999 999 976 716 936 115 2;
  • 9) 0,599 999 999 976 716 936 115 2 × 2 = 1 + 0,199 999 999 953 433 872 230 4;
  • 10) 0,199 999 999 953 433 872 230 4 × 2 = 0 + 0,399 999 999 906 867 744 460 8;
  • 11) 0,399 999 999 906 867 744 460 8 × 2 = 0 + 0,799 999 999 813 735 488 921 6;
  • 12) 0,799 999 999 813 735 488 921 6 × 2 = 1 + 0,599 999 999 627 470 977 843 2;
  • 13) 0,599 999 999 627 470 977 843 2 × 2 = 1 + 0,199 999 999 254 941 955 686 4;
  • 14) 0,199 999 999 254 941 955 686 4 × 2 = 0 + 0,399 999 998 509 883 911 372 8;
  • 15) 0,399 999 998 509 883 911 372 8 × 2 = 0 + 0,799 999 997 019 767 822 745 6;
  • 16) 0,799 999 997 019 767 822 745 6 × 2 = 1 + 0,599 999 994 039 535 645 491 2;
  • 17) 0,599 999 994 039 535 645 491 2 × 2 = 1 + 0,199 999 988 079 071 290 982 4;
  • 18) 0,199 999 988 079 071 290 982 4 × 2 = 0 + 0,399 999 976 158 142 581 964 8;
  • 19) 0,399 999 976 158 142 581 964 8 × 2 = 0 + 0,799 999 952 316 285 163 929 6;
  • 20) 0,799 999 952 316 285 163 929 6 × 2 = 1 + 0,599 999 904 632 570 327 859 2;
  • 21) 0,599 999 904 632 570 327 859 2 × 2 = 1 + 0,199 999 809 265 140 655 718 4;
  • 22) 0,199 999 809 265 140 655 718 4 × 2 = 0 + 0,399 999 618 530 281 311 436 8;
  • 23) 0,399 999 618 530 281 311 436 8 × 2 = 0 + 0,799 999 237 060 562 622 873 6;
  • 24) 0,799 999 237 060 562 622 873 6 × 2 = 1 + 0,599 998 474 121 125 245 747 2;
  • 25) 0,599 998 474 121 125 245 747 2 × 2 = 1 + 0,199 996 948 242 250 491 494 4;
  • 26) 0,199 996 948 242 250 491 494 4 × 2 = 0 + 0,399 993 896 484 500 982 988 8;
  • 27) 0,399 993 896 484 500 982 988 8 × 2 = 0 + 0,799 987 792 969 001 965 977 6;
  • 28) 0,799 987 792 969 001 965 977 6 × 2 = 1 + 0,599 975 585 938 003 931 955 2;
  • 29) 0,599 975 585 938 003 931 955 2 × 2 = 1 + 0,199 951 171 876 007 863 910 4;
  • 30) 0,199 951 171 876 007 863 910 4 × 2 = 0 + 0,399 902 343 752 015 727 820 8;
  • 31) 0,399 902 343 752 015 727 820 8 × 2 = 0 + 0,799 804 687 504 031 455 641 6;
  • 32) 0,799 804 687 504 031 455 641 6 × 2 = 1 + 0,599 609 375 008 062 911 283 2;
  • 33) 0,599 609 375 008 062 911 283 2 × 2 = 1 + 0,199 218 750 016 125 822 566 4;
  • 34) 0,199 218 750 016 125 822 566 4 × 2 = 0 + 0,398 437 500 032 251 645 132 8;
  • 35) 0,398 437 500 032 251 645 132 8 × 2 = 0 + 0,796 875 000 064 503 290 265 6;
  • 36) 0,796 875 000 064 503 290 265 6 × 2 = 1 + 0,593 750 000 129 006 580 531 2;
  • 37) 0,593 750 000 129 006 580 531 2 × 2 = 1 + 0,187 500 000 258 013 161 062 4;
  • 38) 0,187 500 000 258 013 161 062 4 × 2 = 0 + 0,375 000 000 516 026 322 124 8;
  • 39) 0,375 000 000 516 026 322 124 8 × 2 = 0 + 0,750 000 001 032 052 644 249 6;
  • 40) 0,750 000 001 032 052 644 249 6 × 2 = 1 + 0,500 000 002 064 105 288 499 2;
  • 41) 0,500 000 002 064 105 288 499 2 × 2 = 1 + 0,000 000 004 128 210 576 998 4;
  • 42) 0,000 000 004 128 210 576 998 4 × 2 = 0 + 0,000 000 008 256 421 153 996 8;
  • 43) 0,000 000 008 256 421 153 996 8 × 2 = 0 + 0,000 000 016 512 842 307 993 6;
  • 44) 0,000 000 016 512 842 307 993 6 × 2 = 0 + 0,000 000 033 025 684 615 987 2;
  • 45) 0,000 000 033 025 684 615 987 2 × 2 = 0 + 0,000 000 066 051 369 231 974 4;
  • 46) 0,000 000 066 051 369 231 974 4 × 2 = 0 + 0,000 000 132 102 738 463 948 8;
  • 47) 0,000 000 132 102 738 463 948 8 × 2 = 0 + 0,000 000 264 205 476 927 897 6;
  • 48) 0,000 000 264 205 476 927 897 6 × 2 = 0 + 0,000 000 528 410 953 855 795 2;
  • 49) 0,000 000 528 410 953 855 795 2 × 2 = 0 + 0,000 001 056 821 907 711 590 4;
  • 50) 0,000 001 056 821 907 711 590 4 × 2 = 0 + 0,000 002 113 643 815 423 180 8;
  • 51) 0,000 002 113 643 815 423 180 8 × 2 = 0 + 0,000 004 227 287 630 846 361 6;
  • 52) 0,000 004 227 287 630 846 361 6 × 2 = 0 + 0,000 008 454 575 261 692 723 2;
  • 53) 0,000 008 454 575 261 692 723 2 × 2 = 0 + 0,000 016 909 150 523 385 446 4;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


4. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,599 999 999 999 909 050 531 7(10) =

0,1001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 1000 0000 0000 0(2)

5. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

654,599 999 999 999 909 050 531 7(10) =

10 1000 1110,1001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 1000 0000 0000 0(2)

6. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 9 poziții la stânga, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


654,599 999 999 999 909 050 531 7(10) =

10 1000 1110,1001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 1000 0000 0000 0(2) =

10 1000 1110,1001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 1000 0000 0000 0(2) × 20 =

1,0100 0111 0100 1100 1100 1100 1100 1100 1100 1100 1100 1100 1100 0000 0000 00(2) × 29


7. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 0 (un număr pozitiv)

Exponent (neajustat): 9

Mantisă (nenormalizată):
1,0100 0111 0100 1100 1100 1100 1100 1100 1100 1100 1100 1100 1100 0000 0000 00


8. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

9 + 2(11-1) - 1 =

(9 + 1 023)(10) =

1 032(10)


9. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 032 : 2 = 516 + 0;
  • 516 : 2 = 258 + 0;
  • 258 : 2 = 129 + 0;
  • 129 : 2 = 64 + 1;
  • 64 : 2 = 32 + 0;
  • 32 : 2 = 16 + 0;
  • 16 : 2 = 8 + 0;
  • 8 : 2 = 4 + 0;
  • 4 : 2 = 2 + 0;
  • 2 : 2 = 1 + 0;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

10. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1032(10) =

100 0000 1000(2)


11. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (dacă măcar unul din acești biți în exces e setat pe 1, se pierde din precizie...).


Mantisă (normalizată) =

1. 0100 0111 0100 1100 1100 1100 1100 1100 1100 1100 1100 1100 1100 00 0000 0000 =

0100 0111 0100 1100 1100 1100 1100 1100 1100 1100 1100 1100 1100


12. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
0 (un număr pozitiv)

Exponent (11 biți) =
100 0000 1000

Mantisă (52 biți) =
0100 0111 0100 1100 1100 1100 1100 1100 1100 1100 1100 1100 1100


Numărul zecimal 654,599 999 999 999 909 050 531 7 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

0 - 100 0000 1000 - 0100 0111 0100 1100 1100 1100 1100 1100 1100 1100 1100 1100 1100

Distribuie

» Scriere 654,599 999 999 999 909 050 529 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 05, 2026 [Mai]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Mai - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100