654,599 999 999 999 909 050 552 4 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere 654,599 999 999 999 909 050 552 4(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
654,599 999 999 999 909 050 552 4(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 654.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 654 : 2 = 327 + 0;
  • 327 : 2 = 163 + 1;
  • 163 : 2 = 81 + 1;
  • 81 : 2 = 40 + 1;
  • 40 : 2 = 20 + 0;
  • 20 : 2 = 10 + 0;
  • 10 : 2 = 5 + 0;
  • 5 : 2 = 2 + 1;
  • 2 : 2 = 1 + 0;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

2. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

654(10) =

10 1000 1110(2)


3. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,599 999 999 999 909 050 552 4.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,599 999 999 999 909 050 552 4 × 2 = 1 + 0,199 999 999 999 818 101 104 8;
  • 2) 0,199 999 999 999 818 101 104 8 × 2 = 0 + 0,399 999 999 999 636 202 209 6;
  • 3) 0,399 999 999 999 636 202 209 6 × 2 = 0 + 0,799 999 999 999 272 404 419 2;
  • 4) 0,799 999 999 999 272 404 419 2 × 2 = 1 + 0,599 999 999 998 544 808 838 4;
  • 5) 0,599 999 999 998 544 808 838 4 × 2 = 1 + 0,199 999 999 997 089 617 676 8;
  • 6) 0,199 999 999 997 089 617 676 8 × 2 = 0 + 0,399 999 999 994 179 235 353 6;
  • 7) 0,399 999 999 994 179 235 353 6 × 2 = 0 + 0,799 999 999 988 358 470 707 2;
  • 8) 0,799 999 999 988 358 470 707 2 × 2 = 1 + 0,599 999 999 976 716 941 414 4;
  • 9) 0,599 999 999 976 716 941 414 4 × 2 = 1 + 0,199 999 999 953 433 882 828 8;
  • 10) 0,199 999 999 953 433 882 828 8 × 2 = 0 + 0,399 999 999 906 867 765 657 6;
  • 11) 0,399 999 999 906 867 765 657 6 × 2 = 0 + 0,799 999 999 813 735 531 315 2;
  • 12) 0,799 999 999 813 735 531 315 2 × 2 = 1 + 0,599 999 999 627 471 062 630 4;
  • 13) 0,599 999 999 627 471 062 630 4 × 2 = 1 + 0,199 999 999 254 942 125 260 8;
  • 14) 0,199 999 999 254 942 125 260 8 × 2 = 0 + 0,399 999 998 509 884 250 521 6;
  • 15) 0,399 999 998 509 884 250 521 6 × 2 = 0 + 0,799 999 997 019 768 501 043 2;
  • 16) 0,799 999 997 019 768 501 043 2 × 2 = 1 + 0,599 999 994 039 537 002 086 4;
  • 17) 0,599 999 994 039 537 002 086 4 × 2 = 1 + 0,199 999 988 079 074 004 172 8;
  • 18) 0,199 999 988 079 074 004 172 8 × 2 = 0 + 0,399 999 976 158 148 008 345 6;
  • 19) 0,399 999 976 158 148 008 345 6 × 2 = 0 + 0,799 999 952 316 296 016 691 2;
  • 20) 0,799 999 952 316 296 016 691 2 × 2 = 1 + 0,599 999 904 632 592 033 382 4;
  • 21) 0,599 999 904 632 592 033 382 4 × 2 = 1 + 0,199 999 809 265 184 066 764 8;
  • 22) 0,199 999 809 265 184 066 764 8 × 2 = 0 + 0,399 999 618 530 368 133 529 6;
  • 23) 0,399 999 618 530 368 133 529 6 × 2 = 0 + 0,799 999 237 060 736 267 059 2;
  • 24) 0,799 999 237 060 736 267 059 2 × 2 = 1 + 0,599 998 474 121 472 534 118 4;
  • 25) 0,599 998 474 121 472 534 118 4 × 2 = 1 + 0,199 996 948 242 945 068 236 8;
  • 26) 0,199 996 948 242 945 068 236 8 × 2 = 0 + 0,399 993 896 485 890 136 473 6;
  • 27) 0,399 993 896 485 890 136 473 6 × 2 = 0 + 0,799 987 792 971 780 272 947 2;
  • 28) 0,799 987 792 971 780 272 947 2 × 2 = 1 + 0,599 975 585 943 560 545 894 4;
  • 29) 0,599 975 585 943 560 545 894 4 × 2 = 1 + 0,199 951 171 887 121 091 788 8;
  • 30) 0,199 951 171 887 121 091 788 8 × 2 = 0 + 0,399 902 343 774 242 183 577 6;
  • 31) 0,399 902 343 774 242 183 577 6 × 2 = 0 + 0,799 804 687 548 484 367 155 2;
  • 32) 0,799 804 687 548 484 367 155 2 × 2 = 1 + 0,599 609 375 096 968 734 310 4;
  • 33) 0,599 609 375 096 968 734 310 4 × 2 = 1 + 0,199 218 750 193 937 468 620 8;
  • 34) 0,199 218 750 193 937 468 620 8 × 2 = 0 + 0,398 437 500 387 874 937 241 6;
  • 35) 0,398 437 500 387 874 937 241 6 × 2 = 0 + 0,796 875 000 775 749 874 483 2;
  • 36) 0,796 875 000 775 749 874 483 2 × 2 = 1 + 0,593 750 001 551 499 748 966 4;
  • 37) 0,593 750 001 551 499 748 966 4 × 2 = 1 + 0,187 500 003 102 999 497 932 8;
  • 38) 0,187 500 003 102 999 497 932 8 × 2 = 0 + 0,375 000 006 205 998 995 865 6;
  • 39) 0,375 000 006 205 998 995 865 6 × 2 = 0 + 0,750 000 012 411 997 991 731 2;
  • 40) 0,750 000 012 411 997 991 731 2 × 2 = 1 + 0,500 000 024 823 995 983 462 4;
  • 41) 0,500 000 024 823 995 983 462 4 × 2 = 1 + 0,000 000 049 647 991 966 924 8;
  • 42) 0,000 000 049 647 991 966 924 8 × 2 = 0 + 0,000 000 099 295 983 933 849 6;
  • 43) 0,000 000 099 295 983 933 849 6 × 2 = 0 + 0,000 000 198 591 967 867 699 2;
  • 44) 0,000 000 198 591 967 867 699 2 × 2 = 0 + 0,000 000 397 183 935 735 398 4;
  • 45) 0,000 000 397 183 935 735 398 4 × 2 = 0 + 0,000 000 794 367 871 470 796 8;
  • 46) 0,000 000 794 367 871 470 796 8 × 2 = 0 + 0,000 001 588 735 742 941 593 6;
  • 47) 0,000 001 588 735 742 941 593 6 × 2 = 0 + 0,000 003 177 471 485 883 187 2;
  • 48) 0,000 003 177 471 485 883 187 2 × 2 = 0 + 0,000 006 354 942 971 766 374 4;
  • 49) 0,000 006 354 942 971 766 374 4 × 2 = 0 + 0,000 012 709 885 943 532 748 8;
  • 50) 0,000 012 709 885 943 532 748 8 × 2 = 0 + 0,000 025 419 771 887 065 497 6;
  • 51) 0,000 025 419 771 887 065 497 6 × 2 = 0 + 0,000 050 839 543 774 130 995 2;
  • 52) 0,000 050 839 543 774 130 995 2 × 2 = 0 + 0,000 101 679 087 548 261 990 4;
  • 53) 0,000 101 679 087 548 261 990 4 × 2 = 0 + 0,000 203 358 175 096 523 980 8;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


4. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,599 999 999 999 909 050 552 4(10) =

0,1001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 1000 0000 0000 0(2)

5. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

654,599 999 999 999 909 050 552 4(10) =

10 1000 1110,1001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 1000 0000 0000 0(2)

6. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 9 poziții la stânga, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


654,599 999 999 999 909 050 552 4(10) =

10 1000 1110,1001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 1000 0000 0000 0(2) =

10 1000 1110,1001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 1000 0000 0000 0(2) × 20 =

1,0100 0111 0100 1100 1100 1100 1100 1100 1100 1100 1100 1100 1100 0000 0000 00(2) × 29


7. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 0 (un număr pozitiv)

Exponent (neajustat): 9

Mantisă (nenormalizată):
1,0100 0111 0100 1100 1100 1100 1100 1100 1100 1100 1100 1100 1100 0000 0000 00


8. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

9 + 2(11-1) - 1 =

(9 + 1 023)(10) =

1 032(10)


9. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 032 : 2 = 516 + 0;
  • 516 : 2 = 258 + 0;
  • 258 : 2 = 129 + 0;
  • 129 : 2 = 64 + 1;
  • 64 : 2 = 32 + 0;
  • 32 : 2 = 16 + 0;
  • 16 : 2 = 8 + 0;
  • 8 : 2 = 4 + 0;
  • 4 : 2 = 2 + 0;
  • 2 : 2 = 1 + 0;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

10. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1032(10) =

100 0000 1000(2)


11. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (dacă măcar unul din acești biți în exces e setat pe 1, se pierde din precizie...).


Mantisă (normalizată) =

1. 0100 0111 0100 1100 1100 1100 1100 1100 1100 1100 1100 1100 1100 00 0000 0000 =

0100 0111 0100 1100 1100 1100 1100 1100 1100 1100 1100 1100 1100


12. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
0 (un număr pozitiv)

Exponent (11 biți) =
100 0000 1000

Mantisă (52 biți) =
0100 0111 0100 1100 1100 1100 1100 1100 1100 1100 1100 1100 1100


Numărul zecimal 654,599 999 999 999 909 050 552 4 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

0 - 100 0000 1000 - 0100 0111 0100 1100 1100 1100 1100 1100 1100 1100 1100 1100 1100

Distribuie

» Scriere 654,599 999 999 999 909 050 559 3 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 05, 2026 [Mai]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Mai - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100