654,599 999 999 999 911 48 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere 654,599 999 999 999 911 48(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
654,599 999 999 999 911 48(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 654.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 654 : 2 = 327 + 0;
  • 327 : 2 = 163 + 1;
  • 163 : 2 = 81 + 1;
  • 81 : 2 = 40 + 1;
  • 40 : 2 = 20 + 0;
  • 20 : 2 = 10 + 0;
  • 10 : 2 = 5 + 0;
  • 5 : 2 = 2 + 1;
  • 2 : 2 = 1 + 0;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

2. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

654(10) =

10 1000 1110(2)


3. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,599 999 999 999 911 48.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,599 999 999 999 911 48 × 2 = 1 + 0,199 999 999 999 822 96;
  • 2) 0,199 999 999 999 822 96 × 2 = 0 + 0,399 999 999 999 645 92;
  • 3) 0,399 999 999 999 645 92 × 2 = 0 + 0,799 999 999 999 291 84;
  • 4) 0,799 999 999 999 291 84 × 2 = 1 + 0,599 999 999 998 583 68;
  • 5) 0,599 999 999 998 583 68 × 2 = 1 + 0,199 999 999 997 167 36;
  • 6) 0,199 999 999 997 167 36 × 2 = 0 + 0,399 999 999 994 334 72;
  • 7) 0,399 999 999 994 334 72 × 2 = 0 + 0,799 999 999 988 669 44;
  • 8) 0,799 999 999 988 669 44 × 2 = 1 + 0,599 999 999 977 338 88;
  • 9) 0,599 999 999 977 338 88 × 2 = 1 + 0,199 999 999 954 677 76;
  • 10) 0,199 999 999 954 677 76 × 2 = 0 + 0,399 999 999 909 355 52;
  • 11) 0,399 999 999 909 355 52 × 2 = 0 + 0,799 999 999 818 711 04;
  • 12) 0,799 999 999 818 711 04 × 2 = 1 + 0,599 999 999 637 422 08;
  • 13) 0,599 999 999 637 422 08 × 2 = 1 + 0,199 999 999 274 844 16;
  • 14) 0,199 999 999 274 844 16 × 2 = 0 + 0,399 999 998 549 688 32;
  • 15) 0,399 999 998 549 688 32 × 2 = 0 + 0,799 999 997 099 376 64;
  • 16) 0,799 999 997 099 376 64 × 2 = 1 + 0,599 999 994 198 753 28;
  • 17) 0,599 999 994 198 753 28 × 2 = 1 + 0,199 999 988 397 506 56;
  • 18) 0,199 999 988 397 506 56 × 2 = 0 + 0,399 999 976 795 013 12;
  • 19) 0,399 999 976 795 013 12 × 2 = 0 + 0,799 999 953 590 026 24;
  • 20) 0,799 999 953 590 026 24 × 2 = 1 + 0,599 999 907 180 052 48;
  • 21) 0,599 999 907 180 052 48 × 2 = 1 + 0,199 999 814 360 104 96;
  • 22) 0,199 999 814 360 104 96 × 2 = 0 + 0,399 999 628 720 209 92;
  • 23) 0,399 999 628 720 209 92 × 2 = 0 + 0,799 999 257 440 419 84;
  • 24) 0,799 999 257 440 419 84 × 2 = 1 + 0,599 998 514 880 839 68;
  • 25) 0,599 998 514 880 839 68 × 2 = 1 + 0,199 997 029 761 679 36;
  • 26) 0,199 997 029 761 679 36 × 2 = 0 + 0,399 994 059 523 358 72;
  • 27) 0,399 994 059 523 358 72 × 2 = 0 + 0,799 988 119 046 717 44;
  • 28) 0,799 988 119 046 717 44 × 2 = 1 + 0,599 976 238 093 434 88;
  • 29) 0,599 976 238 093 434 88 × 2 = 1 + 0,199 952 476 186 869 76;
  • 30) 0,199 952 476 186 869 76 × 2 = 0 + 0,399 904 952 373 739 52;
  • 31) 0,399 904 952 373 739 52 × 2 = 0 + 0,799 809 904 747 479 04;
  • 32) 0,799 809 904 747 479 04 × 2 = 1 + 0,599 619 809 494 958 08;
  • 33) 0,599 619 809 494 958 08 × 2 = 1 + 0,199 239 618 989 916 16;
  • 34) 0,199 239 618 989 916 16 × 2 = 0 + 0,398 479 237 979 832 32;
  • 35) 0,398 479 237 979 832 32 × 2 = 0 + 0,796 958 475 959 664 64;
  • 36) 0,796 958 475 959 664 64 × 2 = 1 + 0,593 916 951 919 329 28;
  • 37) 0,593 916 951 919 329 28 × 2 = 1 + 0,187 833 903 838 658 56;
  • 38) 0,187 833 903 838 658 56 × 2 = 0 + 0,375 667 807 677 317 12;
  • 39) 0,375 667 807 677 317 12 × 2 = 0 + 0,751 335 615 354 634 24;
  • 40) 0,751 335 615 354 634 24 × 2 = 1 + 0,502 671 230 709 268 48;
  • 41) 0,502 671 230 709 268 48 × 2 = 1 + 0,005 342 461 418 536 96;
  • 42) 0,005 342 461 418 536 96 × 2 = 0 + 0,010 684 922 837 073 92;
  • 43) 0,010 684 922 837 073 92 × 2 = 0 + 0,021 369 845 674 147 84;
  • 44) 0,021 369 845 674 147 84 × 2 = 0 + 0,042 739 691 348 295 68;
  • 45) 0,042 739 691 348 295 68 × 2 = 0 + 0,085 479 382 696 591 36;
  • 46) 0,085 479 382 696 591 36 × 2 = 0 + 0,170 958 765 393 182 72;
  • 47) 0,170 958 765 393 182 72 × 2 = 0 + 0,341 917 530 786 365 44;
  • 48) 0,341 917 530 786 365 44 × 2 = 0 + 0,683 835 061 572 730 88;
  • 49) 0,683 835 061 572 730 88 × 2 = 1 + 0,367 670 123 145 461 76;
  • 50) 0,367 670 123 145 461 76 × 2 = 0 + 0,735 340 246 290 923 52;
  • 51) 0,735 340 246 290 923 52 × 2 = 1 + 0,470 680 492 581 847 04;
  • 52) 0,470 680 492 581 847 04 × 2 = 0 + 0,941 360 985 163 694 08;
  • 53) 0,941 360 985 163 694 08 × 2 = 1 + 0,882 721 970 327 388 16;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


4. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,599 999 999 999 911 48(10) =

0,1001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 1000 0000 1010 1(2)

5. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

654,599 999 999 999 911 48(10) =

10 1000 1110,1001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 1000 0000 1010 1(2)

6. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 9 poziții la stânga, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


654,599 999 999 999 911 48(10) =

10 1000 1110,1001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 1000 0000 1010 1(2) =

10 1000 1110,1001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 1000 0000 1010 1(2) × 20 =

1,0100 0111 0100 1100 1100 1100 1100 1100 1100 1100 1100 1100 1100 0000 0101 01(2) × 29


7. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 0 (un număr pozitiv)

Exponent (neajustat): 9

Mantisă (nenormalizată):
1,0100 0111 0100 1100 1100 1100 1100 1100 1100 1100 1100 1100 1100 0000 0101 01


8. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

9 + 2(11-1) - 1 =

(9 + 1 023)(10) =

1 032(10)


9. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 032 : 2 = 516 + 0;
  • 516 : 2 = 258 + 0;
  • 258 : 2 = 129 + 0;
  • 129 : 2 = 64 + 1;
  • 64 : 2 = 32 + 0;
  • 32 : 2 = 16 + 0;
  • 16 : 2 = 8 + 0;
  • 8 : 2 = 4 + 0;
  • 4 : 2 = 2 + 0;
  • 2 : 2 = 1 + 0;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

10. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1032(10) =

100 0000 1000(2)


11. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (dacă măcar unul din acești biți în exces e setat pe 1, se pierde din precizie...).


Mantisă (normalizată) =

1. 0100 0111 0100 1100 1100 1100 1100 1100 1100 1100 1100 1100 1100 00 0001 0101 =

0100 0111 0100 1100 1100 1100 1100 1100 1100 1100 1100 1100 1100


12. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
0 (un număr pozitiv)

Exponent (11 biți) =
100 0000 1000

Mantisă (52 biți) =
0100 0111 0100 1100 1100 1100 1100 1100 1100 1100 1100 1100 1100


Numărul zecimal 654,599 999 999 999 911 48 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

0 - 100 0000 1000 - 0100 0111 0100 1100 1100 1100 1100 1100 1100 1100 1100 1100 1100

Distribuie

» Scriere 654,599 999 999 999 912 2 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 05, 2026 [Mai]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Mai - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100