654,600 000 041 4 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere 654,600 000 041 4(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
654,600 000 041 4(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 654.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 654 : 2 = 327 + 0;
  • 327 : 2 = 163 + 1;
  • 163 : 2 = 81 + 1;
  • 81 : 2 = 40 + 1;
  • 40 : 2 = 20 + 0;
  • 20 : 2 = 10 + 0;
  • 10 : 2 = 5 + 0;
  • 5 : 2 = 2 + 1;
  • 2 : 2 = 1 + 0;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

2. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

654(10) =

10 1000 1110(2)


3. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,600 000 041 4.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,600 000 041 4 × 2 = 1 + 0,200 000 082 8;
  • 2) 0,200 000 082 8 × 2 = 0 + 0,400 000 165 6;
  • 3) 0,400 000 165 6 × 2 = 0 + 0,800 000 331 2;
  • 4) 0,800 000 331 2 × 2 = 1 + 0,600 000 662 4;
  • 5) 0,600 000 662 4 × 2 = 1 + 0,200 001 324 8;
  • 6) 0,200 001 324 8 × 2 = 0 + 0,400 002 649 6;
  • 7) 0,400 002 649 6 × 2 = 0 + 0,800 005 299 2;
  • 8) 0,800 005 299 2 × 2 = 1 + 0,600 010 598 4;
  • 9) 0,600 010 598 4 × 2 = 1 + 0,200 021 196 8;
  • 10) 0,200 021 196 8 × 2 = 0 + 0,400 042 393 6;
  • 11) 0,400 042 393 6 × 2 = 0 + 0,800 084 787 2;
  • 12) 0,800 084 787 2 × 2 = 1 + 0,600 169 574 4;
  • 13) 0,600 169 574 4 × 2 = 1 + 0,200 339 148 8;
  • 14) 0,200 339 148 8 × 2 = 0 + 0,400 678 297 6;
  • 15) 0,400 678 297 6 × 2 = 0 + 0,801 356 595 2;
  • 16) 0,801 356 595 2 × 2 = 1 + 0,602 713 190 4;
  • 17) 0,602 713 190 4 × 2 = 1 + 0,205 426 380 8;
  • 18) 0,205 426 380 8 × 2 = 0 + 0,410 852 761 6;
  • 19) 0,410 852 761 6 × 2 = 0 + 0,821 705 523 2;
  • 20) 0,821 705 523 2 × 2 = 1 + 0,643 411 046 4;
  • 21) 0,643 411 046 4 × 2 = 1 + 0,286 822 092 8;
  • 22) 0,286 822 092 8 × 2 = 0 + 0,573 644 185 6;
  • 23) 0,573 644 185 6 × 2 = 1 + 0,147 288 371 2;
  • 24) 0,147 288 371 2 × 2 = 0 + 0,294 576 742 4;
  • 25) 0,294 576 742 4 × 2 = 0 + 0,589 153 484 8;
  • 26) 0,589 153 484 8 × 2 = 1 + 0,178 306 969 6;
  • 27) 0,178 306 969 6 × 2 = 0 + 0,356 613 939 2;
  • 28) 0,356 613 939 2 × 2 = 0 + 0,713 227 878 4;
  • 29) 0,713 227 878 4 × 2 = 1 + 0,426 455 756 8;
  • 30) 0,426 455 756 8 × 2 = 0 + 0,852 911 513 6;
  • 31) 0,852 911 513 6 × 2 = 1 + 0,705 823 027 2;
  • 32) 0,705 823 027 2 × 2 = 1 + 0,411 646 054 4;
  • 33) 0,411 646 054 4 × 2 = 0 + 0,823 292 108 8;
  • 34) 0,823 292 108 8 × 2 = 1 + 0,646 584 217 6;
  • 35) 0,646 584 217 6 × 2 = 1 + 0,293 168 435 2;
  • 36) 0,293 168 435 2 × 2 = 0 + 0,586 336 870 4;
  • 37) 0,586 336 870 4 × 2 = 1 + 0,172 673 740 8;
  • 38) 0,172 673 740 8 × 2 = 0 + 0,345 347 481 6;
  • 39) 0,345 347 481 6 × 2 = 0 + 0,690 694 963 2;
  • 40) 0,690 694 963 2 × 2 = 1 + 0,381 389 926 4;
  • 41) 0,381 389 926 4 × 2 = 0 + 0,762 779 852 8;
  • 42) 0,762 779 852 8 × 2 = 1 + 0,525 559 705 6;
  • 43) 0,525 559 705 6 × 2 = 1 + 0,051 119 411 2;
  • 44) 0,051 119 411 2 × 2 = 0 + 0,102 238 822 4;
  • 45) 0,102 238 822 4 × 2 = 0 + 0,204 477 644 8;
  • 46) 0,204 477 644 8 × 2 = 0 + 0,408 955 289 6;
  • 47) 0,408 955 289 6 × 2 = 0 + 0,817 910 579 2;
  • 48) 0,817 910 579 2 × 2 = 1 + 0,635 821 158 4;
  • 49) 0,635 821 158 4 × 2 = 1 + 0,271 642 316 8;
  • 50) 0,271 642 316 8 × 2 = 0 + 0,543 284 633 6;
  • 51) 0,543 284 633 6 × 2 = 1 + 0,086 569 267 2;
  • 52) 0,086 569 267 2 × 2 = 0 + 0,173 138 534 4;
  • 53) 0,173 138 534 4 × 2 = 0 + 0,346 277 068 8;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


4. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,600 000 041 4(10) =

0,1001 1001 1001 1001 1001 1010 0100 1011 0110 1001 0110 0001 1010 0(2)

5. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

654,600 000 041 4(10) =

10 1000 1110,1001 1001 1001 1001 1001 1010 0100 1011 0110 1001 0110 0001 1010 0(2)

6. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 9 poziții la stânga, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


654,600 000 041 4(10) =

10 1000 1110,1001 1001 1001 1001 1001 1010 0100 1011 0110 1001 0110 0001 1010 0(2) =

10 1000 1110,1001 1001 1001 1001 1001 1010 0100 1011 0110 1001 0110 0001 1010 0(2) × 20 =

1,0100 0111 0100 1100 1100 1100 1100 1101 0010 0101 1011 0100 1011 0000 1101 00(2) × 29


7. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 0 (un număr pozitiv)

Exponent (neajustat): 9

Mantisă (nenormalizată):
1,0100 0111 0100 1100 1100 1100 1100 1101 0010 0101 1011 0100 1011 0000 1101 00


8. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

9 + 2(11-1) - 1 =

(9 + 1 023)(10) =

1 032(10)


9. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 032 : 2 = 516 + 0;
  • 516 : 2 = 258 + 0;
  • 258 : 2 = 129 + 0;
  • 129 : 2 = 64 + 1;
  • 64 : 2 = 32 + 0;
  • 32 : 2 = 16 + 0;
  • 16 : 2 = 8 + 0;
  • 8 : 2 = 4 + 0;
  • 4 : 2 = 2 + 0;
  • 2 : 2 = 1 + 0;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

10. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1032(10) =

100 0000 1000(2)


11. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (dacă măcar unul din acești biți în exces e setat pe 1, se pierde din precizie...).


Mantisă (normalizată) =

1. 0100 0111 0100 1100 1100 1100 1100 1101 0010 0101 1011 0100 1011 00 0011 0100 =

0100 0111 0100 1100 1100 1100 1100 1101 0010 0101 1011 0100 1011


12. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
0 (un număr pozitiv)

Exponent (11 biți) =
100 0000 1000

Mantisă (52 biți) =
0100 0111 0100 1100 1100 1100 1100 1101 0010 0101 1011 0100 1011


Numărul zecimal 654,600 000 041 4 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

0 - 100 0000 1000 - 0100 0111 0100 1100 1100 1100 1100 1101 0010 0101 1011 0100 1011

Distribuie

» Scriere 654,600 000 048 8 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 05, 2026 [Mai]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Mai - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100