736 914,953 043 53 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere 736 914,953 043 53(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
736 914,953 043 53(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 736 914.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 736 914 : 2 = 368 457 + 0;
  • 368 457 : 2 = 184 228 + 1;
  • 184 228 : 2 = 92 114 + 0;
  • 92 114 : 2 = 46 057 + 0;
  • 46 057 : 2 = 23 028 + 1;
  • 23 028 : 2 = 11 514 + 0;
  • 11 514 : 2 = 5 757 + 0;
  • 5 757 : 2 = 2 878 + 1;
  • 2 878 : 2 = 1 439 + 0;
  • 1 439 : 2 = 719 + 1;
  • 719 : 2 = 359 + 1;
  • 359 : 2 = 179 + 1;
  • 179 : 2 = 89 + 1;
  • 89 : 2 = 44 + 1;
  • 44 : 2 = 22 + 0;
  • 22 : 2 = 11 + 0;
  • 11 : 2 = 5 + 1;
  • 5 : 2 = 2 + 1;
  • 2 : 2 = 1 + 0;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

2. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

736 914(10) =

1011 0011 1110 1001 0010(2)


3. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,953 043 53.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,953 043 53 × 2 = 1 + 0,906 087 06;
  • 2) 0,906 087 06 × 2 = 1 + 0,812 174 12;
  • 3) 0,812 174 12 × 2 = 1 + 0,624 348 24;
  • 4) 0,624 348 24 × 2 = 1 + 0,248 696 48;
  • 5) 0,248 696 48 × 2 = 0 + 0,497 392 96;
  • 6) 0,497 392 96 × 2 = 0 + 0,994 785 92;
  • 7) 0,994 785 92 × 2 = 1 + 0,989 571 84;
  • 8) 0,989 571 84 × 2 = 1 + 0,979 143 68;
  • 9) 0,979 143 68 × 2 = 1 + 0,958 287 36;
  • 10) 0,958 287 36 × 2 = 1 + 0,916 574 72;
  • 11) 0,916 574 72 × 2 = 1 + 0,833 149 44;
  • 12) 0,833 149 44 × 2 = 1 + 0,666 298 88;
  • 13) 0,666 298 88 × 2 = 1 + 0,332 597 76;
  • 14) 0,332 597 76 × 2 = 0 + 0,665 195 52;
  • 15) 0,665 195 52 × 2 = 1 + 0,330 391 04;
  • 16) 0,330 391 04 × 2 = 0 + 0,660 782 08;
  • 17) 0,660 782 08 × 2 = 1 + 0,321 564 16;
  • 18) 0,321 564 16 × 2 = 0 + 0,643 128 32;
  • 19) 0,643 128 32 × 2 = 1 + 0,286 256 64;
  • 20) 0,286 256 64 × 2 = 0 + 0,572 513 28;
  • 21) 0,572 513 28 × 2 = 1 + 0,145 026 56;
  • 22) 0,145 026 56 × 2 = 0 + 0,290 053 12;
  • 23) 0,290 053 12 × 2 = 0 + 0,580 106 24;
  • 24) 0,580 106 24 × 2 = 1 + 0,160 212 48;
  • 25) 0,160 212 48 × 2 = 0 + 0,320 424 96;
  • 26) 0,320 424 96 × 2 = 0 + 0,640 849 92;
  • 27) 0,640 849 92 × 2 = 1 + 0,281 699 84;
  • 28) 0,281 699 84 × 2 = 0 + 0,563 399 68;
  • 29) 0,563 399 68 × 2 = 1 + 0,126 799 36;
  • 30) 0,126 799 36 × 2 = 0 + 0,253 598 72;
  • 31) 0,253 598 72 × 2 = 0 + 0,507 197 44;
  • 32) 0,507 197 44 × 2 = 1 + 0,014 394 88;
  • 33) 0,014 394 88 × 2 = 0 + 0,028 789 76;
  • 34) 0,028 789 76 × 2 = 0 + 0,057 579 52;
  • 35) 0,057 579 52 × 2 = 0 + 0,115 159 04;
  • 36) 0,115 159 04 × 2 = 0 + 0,230 318 08;
  • 37) 0,230 318 08 × 2 = 0 + 0,460 636 16;
  • 38) 0,460 636 16 × 2 = 0 + 0,921 272 32;
  • 39) 0,921 272 32 × 2 = 1 + 0,842 544 64;
  • 40) 0,842 544 64 × 2 = 1 + 0,685 089 28;
  • 41) 0,685 089 28 × 2 = 1 + 0,370 178 56;
  • 42) 0,370 178 56 × 2 = 0 + 0,740 357 12;
  • 43) 0,740 357 12 × 2 = 1 + 0,480 714 24;
  • 44) 0,480 714 24 × 2 = 0 + 0,961 428 48;
  • 45) 0,961 428 48 × 2 = 1 + 0,922 856 96;
  • 46) 0,922 856 96 × 2 = 1 + 0,845 713 92;
  • 47) 0,845 713 92 × 2 = 1 + 0,691 427 84;
  • 48) 0,691 427 84 × 2 = 1 + 0,382 855 68;
  • 49) 0,382 855 68 × 2 = 0 + 0,765 711 36;
  • 50) 0,765 711 36 × 2 = 1 + 0,531 422 72;
  • 51) 0,531 422 72 × 2 = 1 + 0,062 845 44;
  • 52) 0,062 845 44 × 2 = 0 + 0,125 690 88;
  • 53) 0,125 690 88 × 2 = 0 + 0,251 381 76;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


4. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,953 043 53(10) =

0,1111 0011 1111 1010 1010 1001 0010 1001 0000 0011 1010 1111 0110 0(2)

5. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

736 914,953 043 53(10) =

1011 0011 1110 1001 0010,1111 0011 1111 1010 1010 1001 0010 1001 0000 0011 1010 1111 0110 0(2)

6. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 19 poziții la stânga, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


736 914,953 043 53(10) =

1011 0011 1110 1001 0010,1111 0011 1111 1010 1010 1001 0010 1001 0000 0011 1010 1111 0110 0(2) =

1011 0011 1110 1001 0010,1111 0011 1111 1010 1010 1001 0010 1001 0000 0011 1010 1111 0110 0(2) × 20 =

1,0110 0111 1101 0010 0101 1110 0111 1111 0101 0101 0010 0101 0010 0000 0111 0101 1110 1100(2) × 219


7. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 0 (un număr pozitiv)

Exponent (neajustat): 19

Mantisă (nenormalizată):
1,0110 0111 1101 0010 0101 1110 0111 1111 0101 0101 0010 0101 0010 0000 0111 0101 1110 1100


8. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

19 + 2(11-1) - 1 =

(19 + 1 023)(10) =

1 042(10)


9. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 042 : 2 = 521 + 0;
  • 521 : 2 = 260 + 1;
  • 260 : 2 = 130 + 0;
  • 130 : 2 = 65 + 0;
  • 65 : 2 = 32 + 1;
  • 32 : 2 = 16 + 0;
  • 16 : 2 = 8 + 0;
  • 8 : 2 = 4 + 0;
  • 4 : 2 = 2 + 0;
  • 2 : 2 = 1 + 0;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

10. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1042(10) =

100 0001 0010(2)


11. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (dacă măcar unul din acești biți în exces e setat pe 1, se pierde din precizie...).


Mantisă (normalizată) =

1. 0110 0111 1101 0010 0101 1110 0111 1111 0101 0101 0010 0101 0010 0000 0111 0101 1110 1100 =

0110 0111 1101 0010 0101 1110 0111 1111 0101 0101 0010 0101 0010


12. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
0 (un număr pozitiv)

Exponent (11 biți) =
100 0001 0010

Mantisă (52 biți) =
0110 0111 1101 0010 0101 1110 0111 1111 0101 0101 0010 0101 0010


Numărul zecimal 736 914,953 043 53 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

0 - 100 0001 0010 - 0110 0111 1101 0010 0101 1110 0111 1111 0101 0101 0010 0101 0010

Distribuie

» Scriere 736 914,953 043 62 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 09, 2026 [Septembrie]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Septembrie - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100