75,353 218 210 361 067 507 96 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere 75,353 218 210 361 067 507 96(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
75,353 218 210 361 067 507 96(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 75.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 75 : 2 = 37 + 1;
  • 37 : 2 = 18 + 1;
  • 18 : 2 = 9 + 0;
  • 9 : 2 = 4 + 1;
  • 4 : 2 = 2 + 0;
  • 2 : 2 = 1 + 0;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

2. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

75(10) =

100 1011(2)


3. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,353 218 210 361 067 507 96.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,353 218 210 361 067 507 96 × 2 = 0 + 0,706 436 420 722 135 015 92;
  • 2) 0,706 436 420 722 135 015 92 × 2 = 1 + 0,412 872 841 444 270 031 84;
  • 3) 0,412 872 841 444 270 031 84 × 2 = 0 + 0,825 745 682 888 540 063 68;
  • 4) 0,825 745 682 888 540 063 68 × 2 = 1 + 0,651 491 365 777 080 127 36;
  • 5) 0,651 491 365 777 080 127 36 × 2 = 1 + 0,302 982 731 554 160 254 72;
  • 6) 0,302 982 731 554 160 254 72 × 2 = 0 + 0,605 965 463 108 320 509 44;
  • 7) 0,605 965 463 108 320 509 44 × 2 = 1 + 0,211 930 926 216 641 018 88;
  • 8) 0,211 930 926 216 641 018 88 × 2 = 0 + 0,423 861 852 433 282 037 76;
  • 9) 0,423 861 852 433 282 037 76 × 2 = 0 + 0,847 723 704 866 564 075 52;
  • 10) 0,847 723 704 866 564 075 52 × 2 = 1 + 0,695 447 409 733 128 151 04;
  • 11) 0,695 447 409 733 128 151 04 × 2 = 1 + 0,390 894 819 466 256 302 08;
  • 12) 0,390 894 819 466 256 302 08 × 2 = 0 + 0,781 789 638 932 512 604 16;
  • 13) 0,781 789 638 932 512 604 16 × 2 = 1 + 0,563 579 277 865 025 208 32;
  • 14) 0,563 579 277 865 025 208 32 × 2 = 1 + 0,127 158 555 730 050 416 64;
  • 15) 0,127 158 555 730 050 416 64 × 2 = 0 + 0,254 317 111 460 100 833 28;
  • 16) 0,254 317 111 460 100 833 28 × 2 = 0 + 0,508 634 222 920 201 666 56;
  • 17) 0,508 634 222 920 201 666 56 × 2 = 1 + 0,017 268 445 840 403 333 12;
  • 18) 0,017 268 445 840 403 333 12 × 2 = 0 + 0,034 536 891 680 806 666 24;
  • 19) 0,034 536 891 680 806 666 24 × 2 = 0 + 0,069 073 783 361 613 332 48;
  • 20) 0,069 073 783 361 613 332 48 × 2 = 0 + 0,138 147 566 723 226 664 96;
  • 21) 0,138 147 566 723 226 664 96 × 2 = 0 + 0,276 295 133 446 453 329 92;
  • 22) 0,276 295 133 446 453 329 92 × 2 = 0 + 0,552 590 266 892 906 659 84;
  • 23) 0,552 590 266 892 906 659 84 × 2 = 1 + 0,105 180 533 785 813 319 68;
  • 24) 0,105 180 533 785 813 319 68 × 2 = 0 + 0,210 361 067 571 626 639 36;
  • 25) 0,210 361 067 571 626 639 36 × 2 = 0 + 0,420 722 135 143 253 278 72;
  • 26) 0,420 722 135 143 253 278 72 × 2 = 0 + 0,841 444 270 286 506 557 44;
  • 27) 0,841 444 270 286 506 557 44 × 2 = 1 + 0,682 888 540 573 013 114 88;
  • 28) 0,682 888 540 573 013 114 88 × 2 = 1 + 0,365 777 081 146 026 229 76;
  • 29) 0,365 777 081 146 026 229 76 × 2 = 0 + 0,731 554 162 292 052 459 52;
  • 30) 0,731 554 162 292 052 459 52 × 2 = 1 + 0,463 108 324 584 104 919 04;
  • 31) 0,463 108 324 584 104 919 04 × 2 = 0 + 0,926 216 649 168 209 838 08;
  • 32) 0,926 216 649 168 209 838 08 × 2 = 1 + 0,852 433 298 336 419 676 16;
  • 33) 0,852 433 298 336 419 676 16 × 2 = 1 + 0,704 866 596 672 839 352 32;
  • 34) 0,704 866 596 672 839 352 32 × 2 = 1 + 0,409 733 193 345 678 704 64;
  • 35) 0,409 733 193 345 678 704 64 × 2 = 0 + 0,819 466 386 691 357 409 28;
  • 36) 0,819 466 386 691 357 409 28 × 2 = 1 + 0,638 932 773 382 714 818 56;
  • 37) 0,638 932 773 382 714 818 56 × 2 = 1 + 0,277 865 546 765 429 637 12;
  • 38) 0,277 865 546 765 429 637 12 × 2 = 0 + 0,555 731 093 530 859 274 24;
  • 39) 0,555 731 093 530 859 274 24 × 2 = 1 + 0,111 462 187 061 718 548 48;
  • 40) 0,111 462 187 061 718 548 48 × 2 = 0 + 0,222 924 374 123 437 096 96;
  • 41) 0,222 924 374 123 437 096 96 × 2 = 0 + 0,445 848 748 246 874 193 92;
  • 42) 0,445 848 748 246 874 193 92 × 2 = 0 + 0,891 697 496 493 748 387 84;
  • 43) 0,891 697 496 493 748 387 84 × 2 = 1 + 0,783 394 992 987 496 775 68;
  • 44) 0,783 394 992 987 496 775 68 × 2 = 1 + 0,566 789 985 974 993 551 36;
  • 45) 0,566 789 985 974 993 551 36 × 2 = 1 + 0,133 579 971 949 987 102 72;
  • 46) 0,133 579 971 949 987 102 72 × 2 = 0 + 0,267 159 943 899 974 205 44;
  • 47) 0,267 159 943 899 974 205 44 × 2 = 0 + 0,534 319 887 799 948 410 88;
  • 48) 0,534 319 887 799 948 410 88 × 2 = 1 + 0,068 639 775 599 896 821 76;
  • 49) 0,068 639 775 599 896 821 76 × 2 = 0 + 0,137 279 551 199 793 643 52;
  • 50) 0,137 279 551 199 793 643 52 × 2 = 0 + 0,274 559 102 399 587 287 04;
  • 51) 0,274 559 102 399 587 287 04 × 2 = 0 + 0,549 118 204 799 174 574 08;
  • 52) 0,549 118 204 799 174 574 08 × 2 = 1 + 0,098 236 409 598 349 148 16;
  • 53) 0,098 236 409 598 349 148 16 × 2 = 0 + 0,196 472 819 196 698 296 32;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


4. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,353 218 210 361 067 507 96(10) =

0,0101 1010 0110 1100 1000 0010 0011 0101 1101 1010 0011 1001 0001 0(2)

5. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

75,353 218 210 361 067 507 96(10) =

100 1011,0101 1010 0110 1100 1000 0010 0011 0101 1101 1010 0011 1001 0001 0(2)

6. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 6 poziții la stânga, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


75,353 218 210 361 067 507 96(10) =

100 1011,0101 1010 0110 1100 1000 0010 0011 0101 1101 1010 0011 1001 0001 0(2) =

100 1011,0101 1010 0110 1100 1000 0010 0011 0101 1101 1010 0011 1001 0001 0(2) × 20 =

1,0010 1101 0110 1001 1011 0010 0000 1000 1101 0111 0110 1000 1110 0100 010(2) × 26


7. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 0 (un număr pozitiv)

Exponent (neajustat): 6

Mantisă (nenormalizată):
1,0010 1101 0110 1001 1011 0010 0000 1000 1101 0111 0110 1000 1110 0100 010


8. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

6 + 2(11-1) - 1 =

(6 + 1 023)(10) =

1 029(10)


9. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 029 : 2 = 514 + 1;
  • 514 : 2 = 257 + 0;
  • 257 : 2 = 128 + 1;
  • 128 : 2 = 64 + 0;
  • 64 : 2 = 32 + 0;
  • 32 : 2 = 16 + 0;
  • 16 : 2 = 8 + 0;
  • 8 : 2 = 4 + 0;
  • 4 : 2 = 2 + 0;
  • 2 : 2 = 1 + 0;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

10. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1029(10) =

100 0000 0101(2)


11. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (dacă măcar unul din acești biți în exces e setat pe 1, se pierde din precizie...).


Mantisă (normalizată) =

1. 0010 1101 0110 1001 1011 0010 0000 1000 1101 0111 0110 1000 1110 010 0010 =

0010 1101 0110 1001 1011 0010 0000 1000 1101 0111 0110 1000 1110


12. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
0 (un număr pozitiv)

Exponent (11 biți) =
100 0000 0101

Mantisă (52 biți) =
0010 1101 0110 1001 1011 0010 0000 1000 1101 0111 0110 1000 1110


Numărul zecimal 75,353 218 210 361 067 507 96 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

0 - 100 0000 0101 - 0010 1101 0110 1001 1011 0010 0000 1000 1101 0111 0110 1000 1110

Distribuie

» Scriere 75,353 218 210 361 067 507 24 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 08, 2026 [August]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: August - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100