777,789 999 999 999 963 625 5 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere 777,789 999 999 999 963 625 5(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
777,789 999 999 999 963 625 5(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 777.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 777 : 2 = 388 + 1;
  • 388 : 2 = 194 + 0;
  • 194 : 2 = 97 + 0;
  • 97 : 2 = 48 + 1;
  • 48 : 2 = 24 + 0;
  • 24 : 2 = 12 + 0;
  • 12 : 2 = 6 + 0;
  • 6 : 2 = 3 + 0;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

2. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

777(10) =

11 0000 1001(2)


3. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,789 999 999 999 963 625 5.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,789 999 999 999 963 625 5 × 2 = 1 + 0,579 999 999 999 927 251;
  • 2) 0,579 999 999 999 927 251 × 2 = 1 + 0,159 999 999 999 854 502;
  • 3) 0,159 999 999 999 854 502 × 2 = 0 + 0,319 999 999 999 709 004;
  • 4) 0,319 999 999 999 709 004 × 2 = 0 + 0,639 999 999 999 418 008;
  • 5) 0,639 999 999 999 418 008 × 2 = 1 + 0,279 999 999 998 836 016;
  • 6) 0,279 999 999 998 836 016 × 2 = 0 + 0,559 999 999 997 672 032;
  • 7) 0,559 999 999 997 672 032 × 2 = 1 + 0,119 999 999 995 344 064;
  • 8) 0,119 999 999 995 344 064 × 2 = 0 + 0,239 999 999 990 688 128;
  • 9) 0,239 999 999 990 688 128 × 2 = 0 + 0,479 999 999 981 376 256;
  • 10) 0,479 999 999 981 376 256 × 2 = 0 + 0,959 999 999 962 752 512;
  • 11) 0,959 999 999 962 752 512 × 2 = 1 + 0,919 999 999 925 505 024;
  • 12) 0,919 999 999 925 505 024 × 2 = 1 + 0,839 999 999 851 010 048;
  • 13) 0,839 999 999 851 010 048 × 2 = 1 + 0,679 999 999 702 020 096;
  • 14) 0,679 999 999 702 020 096 × 2 = 1 + 0,359 999 999 404 040 192;
  • 15) 0,359 999 999 404 040 192 × 2 = 0 + 0,719 999 998 808 080 384;
  • 16) 0,719 999 998 808 080 384 × 2 = 1 + 0,439 999 997 616 160 768;
  • 17) 0,439 999 997 616 160 768 × 2 = 0 + 0,879 999 995 232 321 536;
  • 18) 0,879 999 995 232 321 536 × 2 = 1 + 0,759 999 990 464 643 072;
  • 19) 0,759 999 990 464 643 072 × 2 = 1 + 0,519 999 980 929 286 144;
  • 20) 0,519 999 980 929 286 144 × 2 = 1 + 0,039 999 961 858 572 288;
  • 21) 0,039 999 961 858 572 288 × 2 = 0 + 0,079 999 923 717 144 576;
  • 22) 0,079 999 923 717 144 576 × 2 = 0 + 0,159 999 847 434 289 152;
  • 23) 0,159 999 847 434 289 152 × 2 = 0 + 0,319 999 694 868 578 304;
  • 24) 0,319 999 694 868 578 304 × 2 = 0 + 0,639 999 389 737 156 608;
  • 25) 0,639 999 389 737 156 608 × 2 = 1 + 0,279 998 779 474 313 216;
  • 26) 0,279 998 779 474 313 216 × 2 = 0 + 0,559 997 558 948 626 432;
  • 27) 0,559 997 558 948 626 432 × 2 = 1 + 0,119 995 117 897 252 864;
  • 28) 0,119 995 117 897 252 864 × 2 = 0 + 0,239 990 235 794 505 728;
  • 29) 0,239 990 235 794 505 728 × 2 = 0 + 0,479 980 471 589 011 456;
  • 30) 0,479 980 471 589 011 456 × 2 = 0 + 0,959 960 943 178 022 912;
  • 31) 0,959 960 943 178 022 912 × 2 = 1 + 0,919 921 886 356 045 824;
  • 32) 0,919 921 886 356 045 824 × 2 = 1 + 0,839 843 772 712 091 648;
  • 33) 0,839 843 772 712 091 648 × 2 = 1 + 0,679 687 545 424 183 296;
  • 34) 0,679 687 545 424 183 296 × 2 = 1 + 0,359 375 090 848 366 592;
  • 35) 0,359 375 090 848 366 592 × 2 = 0 + 0,718 750 181 696 733 184;
  • 36) 0,718 750 181 696 733 184 × 2 = 1 + 0,437 500 363 393 466 368;
  • 37) 0,437 500 363 393 466 368 × 2 = 0 + 0,875 000 726 786 932 736;
  • 38) 0,875 000 726 786 932 736 × 2 = 1 + 0,750 001 453 573 865 472;
  • 39) 0,750 001 453 573 865 472 × 2 = 1 + 0,500 002 907 147 730 944;
  • 40) 0,500 002 907 147 730 944 × 2 = 1 + 0,000 005 814 295 461 888;
  • 41) 0,000 005 814 295 461 888 × 2 = 0 + 0,000 011 628 590 923 776;
  • 42) 0,000 011 628 590 923 776 × 2 = 0 + 0,000 023 257 181 847 552;
  • 43) 0,000 023 257 181 847 552 × 2 = 0 + 0,000 046 514 363 695 104;
  • 44) 0,000 046 514 363 695 104 × 2 = 0 + 0,000 093 028 727 390 208;
  • 45) 0,000 093 028 727 390 208 × 2 = 0 + 0,000 186 057 454 780 416;
  • 46) 0,000 186 057 454 780 416 × 2 = 0 + 0,000 372 114 909 560 832;
  • 47) 0,000 372 114 909 560 832 × 2 = 0 + 0,000 744 229 819 121 664;
  • 48) 0,000 744 229 819 121 664 × 2 = 0 + 0,001 488 459 638 243 328;
  • 49) 0,001 488 459 638 243 328 × 2 = 0 + 0,002 976 919 276 486 656;
  • 50) 0,002 976 919 276 486 656 × 2 = 0 + 0,005 953 838 552 973 312;
  • 51) 0,005 953 838 552 973 312 × 2 = 0 + 0,011 907 677 105 946 624;
  • 52) 0,011 907 677 105 946 624 × 2 = 0 + 0,023 815 354 211 893 248;
  • 53) 0,023 815 354 211 893 248 × 2 = 0 + 0,047 630 708 423 786 496;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


4. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,789 999 999 999 963 625 5(10) =

0,1100 1010 0011 1101 0111 0000 1010 0011 1101 0111 0000 0000 0000 0(2)

5. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

777,789 999 999 999 963 625 5(10) =

11 0000 1001,1100 1010 0011 1101 0111 0000 1010 0011 1101 0111 0000 0000 0000 0(2)

6. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 9 poziții la stânga, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


777,789 999 999 999 963 625 5(10) =

11 0000 1001,1100 1010 0011 1101 0111 0000 1010 0011 1101 0111 0000 0000 0000 0(2) =

11 0000 1001,1100 1010 0011 1101 0111 0000 1010 0011 1101 0111 0000 0000 0000 0(2) × 20 =

1,1000 0100 1110 0101 0001 1110 1011 1000 0101 0001 1110 1011 1000 0000 0000 00(2) × 29


7. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 0 (un număr pozitiv)

Exponent (neajustat): 9

Mantisă (nenormalizată):
1,1000 0100 1110 0101 0001 1110 1011 1000 0101 0001 1110 1011 1000 0000 0000 00


8. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

9 + 2(11-1) - 1 =

(9 + 1 023)(10) =

1 032(10)


9. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 032 : 2 = 516 + 0;
  • 516 : 2 = 258 + 0;
  • 258 : 2 = 129 + 0;
  • 129 : 2 = 64 + 1;
  • 64 : 2 = 32 + 0;
  • 32 : 2 = 16 + 0;
  • 16 : 2 = 8 + 0;
  • 8 : 2 = 4 + 0;
  • 4 : 2 = 2 + 0;
  • 2 : 2 = 1 + 0;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

10. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1032(10) =

100 0000 1000(2)


11. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (dacă măcar unul din acești biți în exces e setat pe 1, se pierde din precizie...).


Mantisă (normalizată) =

1. 1000 0100 1110 0101 0001 1110 1011 1000 0101 0001 1110 1011 1000 00 0000 0000 =

1000 0100 1110 0101 0001 1110 1011 1000 0101 0001 1110 1011 1000


12. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
0 (un număr pozitiv)

Exponent (11 biți) =
100 0000 1000

Mantisă (52 biți) =
1000 0100 1110 0101 0001 1110 1011 1000 0101 0001 1110 1011 1000


Numărul zecimal 777,789 999 999 999 963 625 5 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

0 - 100 0000 1000 - 1000 0100 1110 0101 0001 1110 1011 1000 0101 0001 1110 1011 1000

Distribuie

» Scriere 777,789 999 999 999 963 628 4 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 08, 2026 [August]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: August - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100