777,789 999 999 999 963 665 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere 777,789 999 999 999 963 665(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
777,789 999 999 999 963 665(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 777.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 777 : 2 = 388 + 1;
  • 388 : 2 = 194 + 0;
  • 194 : 2 = 97 + 0;
  • 97 : 2 = 48 + 1;
  • 48 : 2 = 24 + 0;
  • 24 : 2 = 12 + 0;
  • 12 : 2 = 6 + 0;
  • 6 : 2 = 3 + 0;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

2. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

777(10) =

11 0000 1001(2)


3. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,789 999 999 999 963 665.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,789 999 999 999 963 665 × 2 = 1 + 0,579 999 999 999 927 33;
  • 2) 0,579 999 999 999 927 33 × 2 = 1 + 0,159 999 999 999 854 66;
  • 3) 0,159 999 999 999 854 66 × 2 = 0 + 0,319 999 999 999 709 32;
  • 4) 0,319 999 999 999 709 32 × 2 = 0 + 0,639 999 999 999 418 64;
  • 5) 0,639 999 999 999 418 64 × 2 = 1 + 0,279 999 999 998 837 28;
  • 6) 0,279 999 999 998 837 28 × 2 = 0 + 0,559 999 999 997 674 56;
  • 7) 0,559 999 999 997 674 56 × 2 = 1 + 0,119 999 999 995 349 12;
  • 8) 0,119 999 999 995 349 12 × 2 = 0 + 0,239 999 999 990 698 24;
  • 9) 0,239 999 999 990 698 24 × 2 = 0 + 0,479 999 999 981 396 48;
  • 10) 0,479 999 999 981 396 48 × 2 = 0 + 0,959 999 999 962 792 96;
  • 11) 0,959 999 999 962 792 96 × 2 = 1 + 0,919 999 999 925 585 92;
  • 12) 0,919 999 999 925 585 92 × 2 = 1 + 0,839 999 999 851 171 84;
  • 13) 0,839 999 999 851 171 84 × 2 = 1 + 0,679 999 999 702 343 68;
  • 14) 0,679 999 999 702 343 68 × 2 = 1 + 0,359 999 999 404 687 36;
  • 15) 0,359 999 999 404 687 36 × 2 = 0 + 0,719 999 998 809 374 72;
  • 16) 0,719 999 998 809 374 72 × 2 = 1 + 0,439 999 997 618 749 44;
  • 17) 0,439 999 997 618 749 44 × 2 = 0 + 0,879 999 995 237 498 88;
  • 18) 0,879 999 995 237 498 88 × 2 = 1 + 0,759 999 990 474 997 76;
  • 19) 0,759 999 990 474 997 76 × 2 = 1 + 0,519 999 980 949 995 52;
  • 20) 0,519 999 980 949 995 52 × 2 = 1 + 0,039 999 961 899 991 04;
  • 21) 0,039 999 961 899 991 04 × 2 = 0 + 0,079 999 923 799 982 08;
  • 22) 0,079 999 923 799 982 08 × 2 = 0 + 0,159 999 847 599 964 16;
  • 23) 0,159 999 847 599 964 16 × 2 = 0 + 0,319 999 695 199 928 32;
  • 24) 0,319 999 695 199 928 32 × 2 = 0 + 0,639 999 390 399 856 64;
  • 25) 0,639 999 390 399 856 64 × 2 = 1 + 0,279 998 780 799 713 28;
  • 26) 0,279 998 780 799 713 28 × 2 = 0 + 0,559 997 561 599 426 56;
  • 27) 0,559 997 561 599 426 56 × 2 = 1 + 0,119 995 123 198 853 12;
  • 28) 0,119 995 123 198 853 12 × 2 = 0 + 0,239 990 246 397 706 24;
  • 29) 0,239 990 246 397 706 24 × 2 = 0 + 0,479 980 492 795 412 48;
  • 30) 0,479 980 492 795 412 48 × 2 = 0 + 0,959 960 985 590 824 96;
  • 31) 0,959 960 985 590 824 96 × 2 = 1 + 0,919 921 971 181 649 92;
  • 32) 0,919 921 971 181 649 92 × 2 = 1 + 0,839 843 942 363 299 84;
  • 33) 0,839 843 942 363 299 84 × 2 = 1 + 0,679 687 884 726 599 68;
  • 34) 0,679 687 884 726 599 68 × 2 = 1 + 0,359 375 769 453 199 36;
  • 35) 0,359 375 769 453 199 36 × 2 = 0 + 0,718 751 538 906 398 72;
  • 36) 0,718 751 538 906 398 72 × 2 = 1 + 0,437 503 077 812 797 44;
  • 37) 0,437 503 077 812 797 44 × 2 = 0 + 0,875 006 155 625 594 88;
  • 38) 0,875 006 155 625 594 88 × 2 = 1 + 0,750 012 311 251 189 76;
  • 39) 0,750 012 311 251 189 76 × 2 = 1 + 0,500 024 622 502 379 52;
  • 40) 0,500 024 622 502 379 52 × 2 = 1 + 0,000 049 245 004 759 04;
  • 41) 0,000 049 245 004 759 04 × 2 = 0 + 0,000 098 490 009 518 08;
  • 42) 0,000 098 490 009 518 08 × 2 = 0 + 0,000 196 980 019 036 16;
  • 43) 0,000 196 980 019 036 16 × 2 = 0 + 0,000 393 960 038 072 32;
  • 44) 0,000 393 960 038 072 32 × 2 = 0 + 0,000 787 920 076 144 64;
  • 45) 0,000 787 920 076 144 64 × 2 = 0 + 0,001 575 840 152 289 28;
  • 46) 0,001 575 840 152 289 28 × 2 = 0 + 0,003 151 680 304 578 56;
  • 47) 0,003 151 680 304 578 56 × 2 = 0 + 0,006 303 360 609 157 12;
  • 48) 0,006 303 360 609 157 12 × 2 = 0 + 0,012 606 721 218 314 24;
  • 49) 0,012 606 721 218 314 24 × 2 = 0 + 0,025 213 442 436 628 48;
  • 50) 0,025 213 442 436 628 48 × 2 = 0 + 0,050 426 884 873 256 96;
  • 51) 0,050 426 884 873 256 96 × 2 = 0 + 0,100 853 769 746 513 92;
  • 52) 0,100 853 769 746 513 92 × 2 = 0 + 0,201 707 539 493 027 84;
  • 53) 0,201 707 539 493 027 84 × 2 = 0 + 0,403 415 078 986 055 68;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


4. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,789 999 999 999 963 665(10) =

0,1100 1010 0011 1101 0111 0000 1010 0011 1101 0111 0000 0000 0000 0(2)

5. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

777,789 999 999 999 963 665(10) =

11 0000 1001,1100 1010 0011 1101 0111 0000 1010 0011 1101 0111 0000 0000 0000 0(2)

6. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 9 poziții la stânga, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


777,789 999 999 999 963 665(10) =

11 0000 1001,1100 1010 0011 1101 0111 0000 1010 0011 1101 0111 0000 0000 0000 0(2) =

11 0000 1001,1100 1010 0011 1101 0111 0000 1010 0011 1101 0111 0000 0000 0000 0(2) × 20 =

1,1000 0100 1110 0101 0001 1110 1011 1000 0101 0001 1110 1011 1000 0000 0000 00(2) × 29


7. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 0 (un număr pozitiv)

Exponent (neajustat): 9

Mantisă (nenormalizată):
1,1000 0100 1110 0101 0001 1110 1011 1000 0101 0001 1110 1011 1000 0000 0000 00


8. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

9 + 2(11-1) - 1 =

(9 + 1 023)(10) =

1 032(10)


9. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 032 : 2 = 516 + 0;
  • 516 : 2 = 258 + 0;
  • 258 : 2 = 129 + 0;
  • 129 : 2 = 64 + 1;
  • 64 : 2 = 32 + 0;
  • 32 : 2 = 16 + 0;
  • 16 : 2 = 8 + 0;
  • 8 : 2 = 4 + 0;
  • 4 : 2 = 2 + 0;
  • 2 : 2 = 1 + 0;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

10. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1032(10) =

100 0000 1000(2)


11. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (dacă măcar unul din acești biți în exces e setat pe 1, se pierde din precizie...).


Mantisă (normalizată) =

1. 1000 0100 1110 0101 0001 1110 1011 1000 0101 0001 1110 1011 1000 00 0000 0000 =

1000 0100 1110 0101 0001 1110 1011 1000 0101 0001 1110 1011 1000


12. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
0 (un număr pozitiv)

Exponent (11 biți) =
100 0000 1000

Mantisă (52 biți) =
1000 0100 1110 0101 0001 1110 1011 1000 0101 0001 1110 1011 1000


Numărul zecimal 777,789 999 999 999 963 665 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

0 - 100 0000 1000 - 1000 0100 1110 0101 0001 1110 1011 1000 0101 0001 1110 1011 1000

Distribuie

» Scriere 777,789 999 999 999 963 671 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 09, 2026 [Septembrie]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Septembrie - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100