87,549 999 999 999 997 157 852 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere 87,549 999 999 999 997 157 852(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
87,549 999 999 999 997 157 852(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 87.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 87 : 2 = 43 + 1;
  • 43 : 2 = 21 + 1;
  • 21 : 2 = 10 + 1;
  • 10 : 2 = 5 + 0;
  • 5 : 2 = 2 + 1;
  • 2 : 2 = 1 + 0;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

2. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

87(10) =

101 0111(2)


3. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,549 999 999 999 997 157 852.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,549 999 999 999 997 157 852 × 2 = 1 + 0,099 999 999 999 994 315 704;
  • 2) 0,099 999 999 999 994 315 704 × 2 = 0 + 0,199 999 999 999 988 631 408;
  • 3) 0,199 999 999 999 988 631 408 × 2 = 0 + 0,399 999 999 999 977 262 816;
  • 4) 0,399 999 999 999 977 262 816 × 2 = 0 + 0,799 999 999 999 954 525 632;
  • 5) 0,799 999 999 999 954 525 632 × 2 = 1 + 0,599 999 999 999 909 051 264;
  • 6) 0,599 999 999 999 909 051 264 × 2 = 1 + 0,199 999 999 999 818 102 528;
  • 7) 0,199 999 999 999 818 102 528 × 2 = 0 + 0,399 999 999 999 636 205 056;
  • 8) 0,399 999 999 999 636 205 056 × 2 = 0 + 0,799 999 999 999 272 410 112;
  • 9) 0,799 999 999 999 272 410 112 × 2 = 1 + 0,599 999 999 998 544 820 224;
  • 10) 0,599 999 999 998 544 820 224 × 2 = 1 + 0,199 999 999 997 089 640 448;
  • 11) 0,199 999 999 997 089 640 448 × 2 = 0 + 0,399 999 999 994 179 280 896;
  • 12) 0,399 999 999 994 179 280 896 × 2 = 0 + 0,799 999 999 988 358 561 792;
  • 13) 0,799 999 999 988 358 561 792 × 2 = 1 + 0,599 999 999 976 717 123 584;
  • 14) 0,599 999 999 976 717 123 584 × 2 = 1 + 0,199 999 999 953 434 247 168;
  • 15) 0,199 999 999 953 434 247 168 × 2 = 0 + 0,399 999 999 906 868 494 336;
  • 16) 0,399 999 999 906 868 494 336 × 2 = 0 + 0,799 999 999 813 736 988 672;
  • 17) 0,799 999 999 813 736 988 672 × 2 = 1 + 0,599 999 999 627 473 977 344;
  • 18) 0,599 999 999 627 473 977 344 × 2 = 1 + 0,199 999 999 254 947 954 688;
  • 19) 0,199 999 999 254 947 954 688 × 2 = 0 + 0,399 999 998 509 895 909 376;
  • 20) 0,399 999 998 509 895 909 376 × 2 = 0 + 0,799 999 997 019 791 818 752;
  • 21) 0,799 999 997 019 791 818 752 × 2 = 1 + 0,599 999 994 039 583 637 504;
  • 22) 0,599 999 994 039 583 637 504 × 2 = 1 + 0,199 999 988 079 167 275 008;
  • 23) 0,199 999 988 079 167 275 008 × 2 = 0 + 0,399 999 976 158 334 550 016;
  • 24) 0,399 999 976 158 334 550 016 × 2 = 0 + 0,799 999 952 316 669 100 032;
  • 25) 0,799 999 952 316 669 100 032 × 2 = 1 + 0,599 999 904 633 338 200 064;
  • 26) 0,599 999 904 633 338 200 064 × 2 = 1 + 0,199 999 809 266 676 400 128;
  • 27) 0,199 999 809 266 676 400 128 × 2 = 0 + 0,399 999 618 533 352 800 256;
  • 28) 0,399 999 618 533 352 800 256 × 2 = 0 + 0,799 999 237 066 705 600 512;
  • 29) 0,799 999 237 066 705 600 512 × 2 = 1 + 0,599 998 474 133 411 201 024;
  • 30) 0,599 998 474 133 411 201 024 × 2 = 1 + 0,199 996 948 266 822 402 048;
  • 31) 0,199 996 948 266 822 402 048 × 2 = 0 + 0,399 993 896 533 644 804 096;
  • 32) 0,399 993 896 533 644 804 096 × 2 = 0 + 0,799 987 793 067 289 608 192;
  • 33) 0,799 987 793 067 289 608 192 × 2 = 1 + 0,599 975 586 134 579 216 384;
  • 34) 0,599 975 586 134 579 216 384 × 2 = 1 + 0,199 951 172 269 158 432 768;
  • 35) 0,199 951 172 269 158 432 768 × 2 = 0 + 0,399 902 344 538 316 865 536;
  • 36) 0,399 902 344 538 316 865 536 × 2 = 0 + 0,799 804 689 076 633 731 072;
  • 37) 0,799 804 689 076 633 731 072 × 2 = 1 + 0,599 609 378 153 267 462 144;
  • 38) 0,599 609 378 153 267 462 144 × 2 = 1 + 0,199 218 756 306 534 924 288;
  • 39) 0,199 218 756 306 534 924 288 × 2 = 0 + 0,398 437 512 613 069 848 576;
  • 40) 0,398 437 512 613 069 848 576 × 2 = 0 + 0,796 875 025 226 139 697 152;
  • 41) 0,796 875 025 226 139 697 152 × 2 = 1 + 0,593 750 050 452 279 394 304;
  • 42) 0,593 750 050 452 279 394 304 × 2 = 1 + 0,187 500 100 904 558 788 608;
  • 43) 0,187 500 100 904 558 788 608 × 2 = 0 + 0,375 000 201 809 117 577 216;
  • 44) 0,375 000 201 809 117 577 216 × 2 = 0 + 0,750 000 403 618 235 154 432;
  • 45) 0,750 000 403 618 235 154 432 × 2 = 1 + 0,500 000 807 236 470 308 864;
  • 46) 0,500 000 807 236 470 308 864 × 2 = 1 + 0,000 001 614 472 940 617 728;
  • 47) 0,000 001 614 472 940 617 728 × 2 = 0 + 0,000 003 228 945 881 235 456;
  • 48) 0,000 003 228 945 881 235 456 × 2 = 0 + 0,000 006 457 891 762 470 912;
  • 49) 0,000 006 457 891 762 470 912 × 2 = 0 + 0,000 012 915 783 524 941 824;
  • 50) 0,000 012 915 783 524 941 824 × 2 = 0 + 0,000 025 831 567 049 883 648;
  • 51) 0,000 025 831 567 049 883 648 × 2 = 0 + 0,000 051 663 134 099 767 296;
  • 52) 0,000 051 663 134 099 767 296 × 2 = 0 + 0,000 103 326 268 199 534 592;
  • 53) 0,000 103 326 268 199 534 592 × 2 = 0 + 0,000 206 652 536 399 069 184;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


4. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,549 999 999 999 997 157 852(10) =

0,1000 1100 1100 1100 1100 1100 1100 1100 1100 1100 1100 1100 0000 0(2)

5. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

87,549 999 999 999 997 157 852(10) =

101 0111,1000 1100 1100 1100 1100 1100 1100 1100 1100 1100 1100 1100 0000 0(2)

6. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 6 poziții la stânga, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


87,549 999 999 999 997 157 852(10) =

101 0111,1000 1100 1100 1100 1100 1100 1100 1100 1100 1100 1100 1100 0000 0(2) =

101 0111,1000 1100 1100 1100 1100 1100 1100 1100 1100 1100 1100 1100 0000 0(2) × 20 =

1,0101 1110 0011 0011 0011 0011 0011 0011 0011 0011 0011 0011 0011 0000 000(2) × 26


7. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 0 (un număr pozitiv)

Exponent (neajustat): 6

Mantisă (nenormalizată):
1,0101 1110 0011 0011 0011 0011 0011 0011 0011 0011 0011 0011 0011 0000 000


8. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

6 + 2(11-1) - 1 =

(6 + 1 023)(10) =

1 029(10)


9. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 029 : 2 = 514 + 1;
  • 514 : 2 = 257 + 0;
  • 257 : 2 = 128 + 1;
  • 128 : 2 = 64 + 0;
  • 64 : 2 = 32 + 0;
  • 32 : 2 = 16 + 0;
  • 16 : 2 = 8 + 0;
  • 8 : 2 = 4 + 0;
  • 4 : 2 = 2 + 0;
  • 2 : 2 = 1 + 0;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

10. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1029(10) =

100 0000 0101(2)


11. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (dacă măcar unul din acești biți în exces e setat pe 1, se pierde din precizie...).


Mantisă (normalizată) =

1. 0101 1110 0011 0011 0011 0011 0011 0011 0011 0011 0011 0011 0011 000 0000 =

0101 1110 0011 0011 0011 0011 0011 0011 0011 0011 0011 0011 0011


12. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
0 (un număr pozitiv)

Exponent (11 biți) =
100 0000 0101

Mantisă (52 biți) =
0101 1110 0011 0011 0011 0011 0011 0011 0011 0011 0011 0011 0011


Numărul zecimal 87,549 999 999 999 997 157 852 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

0 - 100 0000 0101 - 0101 1110 0011 0011 0011 0011 0011 0011 0011 0011 0011 0011 0011

» Scriere 87,549 999 999 999 997 157 889 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 10, 2026 [Octombrie]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Octombrie - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100