8 800,883 411 943 535 968 1 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere 8 800,883 411 943 535 968 1(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
8 800,883 411 943 535 968 1(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 8 800.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 8 800 : 2 = 4 400 + 0;
  • 4 400 : 2 = 2 200 + 0;
  • 2 200 : 2 = 1 100 + 0;
  • 1 100 : 2 = 550 + 0;
  • 550 : 2 = 275 + 0;
  • 275 : 2 = 137 + 1;
  • 137 : 2 = 68 + 1;
  • 68 : 2 = 34 + 0;
  • 34 : 2 = 17 + 0;
  • 17 : 2 = 8 + 1;
  • 8 : 2 = 4 + 0;
  • 4 : 2 = 2 + 0;
  • 2 : 2 = 1 + 0;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

2. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

8 800(10) =

10 0010 0110 0000(2)


3. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,883 411 943 535 968 1.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,883 411 943 535 968 1 × 2 = 1 + 0,766 823 887 071 936 2;
  • 2) 0,766 823 887 071 936 2 × 2 = 1 + 0,533 647 774 143 872 4;
  • 3) 0,533 647 774 143 872 4 × 2 = 1 + 0,067 295 548 287 744 8;
  • 4) 0,067 295 548 287 744 8 × 2 = 0 + 0,134 591 096 575 489 6;
  • 5) 0,134 591 096 575 489 6 × 2 = 0 + 0,269 182 193 150 979 2;
  • 6) 0,269 182 193 150 979 2 × 2 = 0 + 0,538 364 386 301 958 4;
  • 7) 0,538 364 386 301 958 4 × 2 = 1 + 0,076 728 772 603 916 8;
  • 8) 0,076 728 772 603 916 8 × 2 = 0 + 0,153 457 545 207 833 6;
  • 9) 0,153 457 545 207 833 6 × 2 = 0 + 0,306 915 090 415 667 2;
  • 10) 0,306 915 090 415 667 2 × 2 = 0 + 0,613 830 180 831 334 4;
  • 11) 0,613 830 180 831 334 4 × 2 = 1 + 0,227 660 361 662 668 8;
  • 12) 0,227 660 361 662 668 8 × 2 = 0 + 0,455 320 723 325 337 6;
  • 13) 0,455 320 723 325 337 6 × 2 = 0 + 0,910 641 446 650 675 2;
  • 14) 0,910 641 446 650 675 2 × 2 = 1 + 0,821 282 893 301 350 4;
  • 15) 0,821 282 893 301 350 4 × 2 = 1 + 0,642 565 786 602 700 8;
  • 16) 0,642 565 786 602 700 8 × 2 = 1 + 0,285 131 573 205 401 6;
  • 17) 0,285 131 573 205 401 6 × 2 = 0 + 0,570 263 146 410 803 2;
  • 18) 0,570 263 146 410 803 2 × 2 = 1 + 0,140 526 292 821 606 4;
  • 19) 0,140 526 292 821 606 4 × 2 = 0 + 0,281 052 585 643 212 8;
  • 20) 0,281 052 585 643 212 8 × 2 = 0 + 0,562 105 171 286 425 6;
  • 21) 0,562 105 171 286 425 6 × 2 = 1 + 0,124 210 342 572 851 2;
  • 22) 0,124 210 342 572 851 2 × 2 = 0 + 0,248 420 685 145 702 4;
  • 23) 0,248 420 685 145 702 4 × 2 = 0 + 0,496 841 370 291 404 8;
  • 24) 0,496 841 370 291 404 8 × 2 = 0 + 0,993 682 740 582 809 6;
  • 25) 0,993 682 740 582 809 6 × 2 = 1 + 0,987 365 481 165 619 2;
  • 26) 0,987 365 481 165 619 2 × 2 = 1 + 0,974 730 962 331 238 4;
  • 27) 0,974 730 962 331 238 4 × 2 = 1 + 0,949 461 924 662 476 8;
  • 28) 0,949 461 924 662 476 8 × 2 = 1 + 0,898 923 849 324 953 6;
  • 29) 0,898 923 849 324 953 6 × 2 = 1 + 0,797 847 698 649 907 2;
  • 30) 0,797 847 698 649 907 2 × 2 = 1 + 0,595 695 397 299 814 4;
  • 31) 0,595 695 397 299 814 4 × 2 = 1 + 0,191 390 794 599 628 8;
  • 32) 0,191 390 794 599 628 8 × 2 = 0 + 0,382 781 589 199 257 6;
  • 33) 0,382 781 589 199 257 6 × 2 = 0 + 0,765 563 178 398 515 2;
  • 34) 0,765 563 178 398 515 2 × 2 = 1 + 0,531 126 356 797 030 4;
  • 35) 0,531 126 356 797 030 4 × 2 = 1 + 0,062 252 713 594 060 8;
  • 36) 0,062 252 713 594 060 8 × 2 = 0 + 0,124 505 427 188 121 6;
  • 37) 0,124 505 427 188 121 6 × 2 = 0 + 0,249 010 854 376 243 2;
  • 38) 0,249 010 854 376 243 2 × 2 = 0 + 0,498 021 708 752 486 4;
  • 39) 0,498 021 708 752 486 4 × 2 = 0 + 0,996 043 417 504 972 8;
  • 40) 0,996 043 417 504 972 8 × 2 = 1 + 0,992 086 835 009 945 6;
  • 41) 0,992 086 835 009 945 6 × 2 = 1 + 0,984 173 670 019 891 2;
  • 42) 0,984 173 670 019 891 2 × 2 = 1 + 0,968 347 340 039 782 4;
  • 43) 0,968 347 340 039 782 4 × 2 = 1 + 0,936 694 680 079 564 8;
  • 44) 0,936 694 680 079 564 8 × 2 = 1 + 0,873 389 360 159 129 6;
  • 45) 0,873 389 360 159 129 6 × 2 = 1 + 0,746 778 720 318 259 2;
  • 46) 0,746 778 720 318 259 2 × 2 = 1 + 0,493 557 440 636 518 4;
  • 47) 0,493 557 440 636 518 4 × 2 = 0 + 0,987 114 881 273 036 8;
  • 48) 0,987 114 881 273 036 8 × 2 = 1 + 0,974 229 762 546 073 6;
  • 49) 0,974 229 762 546 073 6 × 2 = 1 + 0,948 459 525 092 147 2;
  • 50) 0,948 459 525 092 147 2 × 2 = 1 + 0,896 919 050 184 294 4;
  • 51) 0,896 919 050 184 294 4 × 2 = 1 + 0,793 838 100 368 588 8;
  • 52) 0,793 838 100 368 588 8 × 2 = 1 + 0,587 676 200 737 177 6;
  • 53) 0,587 676 200 737 177 6 × 2 = 1 + 0,175 352 401 474 355 2;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


4. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,883 411 943 535 968 1(10) =

0,1110 0010 0010 0111 0100 1000 1111 1110 0110 0001 1111 1101 1111 1(2)

5. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

8 800,883 411 943 535 968 1(10) =

10 0010 0110 0000,1110 0010 0010 0111 0100 1000 1111 1110 0110 0001 1111 1101 1111 1(2)

6. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 13 poziții la stânga, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


8 800,883 411 943 535 968 1(10) =

10 0010 0110 0000,1110 0010 0010 0111 0100 1000 1111 1110 0110 0001 1111 1101 1111 1(2) =

10 0010 0110 0000,1110 0010 0010 0111 0100 1000 1111 1110 0110 0001 1111 1101 1111 1(2) × 20 =

1,0001 0011 0000 0111 0001 0001 0011 1010 0100 0111 1111 0011 0000 1111 1110 1111 11(2) × 213


7. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 0 (un număr pozitiv)

Exponent (neajustat): 13

Mantisă (nenormalizată):
1,0001 0011 0000 0111 0001 0001 0011 1010 0100 0111 1111 0011 0000 1111 1110 1111 11


8. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

13 + 2(11-1) - 1 =

(13 + 1 023)(10) =

1 036(10)


9. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 036 : 2 = 518 + 0;
  • 518 : 2 = 259 + 0;
  • 259 : 2 = 129 + 1;
  • 129 : 2 = 64 + 1;
  • 64 : 2 = 32 + 0;
  • 32 : 2 = 16 + 0;
  • 16 : 2 = 8 + 0;
  • 8 : 2 = 4 + 0;
  • 4 : 2 = 2 + 0;
  • 2 : 2 = 1 + 0;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

10. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1036(10) =

100 0000 1100(2)


11. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (dacă măcar unul din acești biți în exces e setat pe 1, se pierde din precizie...).


Mantisă (normalizată) =

1. 0001 0011 0000 0111 0001 0001 0011 1010 0100 0111 1111 0011 0000 11 1111 1011 1111 =

0001 0011 0000 0111 0001 0001 0011 1010 0100 0111 1111 0011 0000


12. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
0 (un număr pozitiv)

Exponent (11 biți) =
100 0000 1100

Mantisă (52 biți) =
0001 0011 0000 0111 0001 0001 0011 1010 0100 0111 1111 0011 0000


Numărul zecimal 8 800,883 411 943 535 968 1 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

0 - 100 0000 1100 - 0001 0011 0000 0111 0001 0001 0011 1010 0100 0111 1111 0011 0000

Distribuie

» Scriere 8 800,883 411 943 535 964 5 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 09, 2026 [Septembrie]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Septembrie - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100