8 800,883 411 943 535 971 9 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere 8 800,883 411 943 535 971 9(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
8 800,883 411 943 535 971 9(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 8 800.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 8 800 : 2 = 4 400 + 0;
  • 4 400 : 2 = 2 200 + 0;
  • 2 200 : 2 = 1 100 + 0;
  • 1 100 : 2 = 550 + 0;
  • 550 : 2 = 275 + 0;
  • 275 : 2 = 137 + 1;
  • 137 : 2 = 68 + 1;
  • 68 : 2 = 34 + 0;
  • 34 : 2 = 17 + 0;
  • 17 : 2 = 8 + 1;
  • 8 : 2 = 4 + 0;
  • 4 : 2 = 2 + 0;
  • 2 : 2 = 1 + 0;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

2. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

8 800(10) =

10 0010 0110 0000(2)


3. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,883 411 943 535 971 9.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,883 411 943 535 971 9 × 2 = 1 + 0,766 823 887 071 943 8;
  • 2) 0,766 823 887 071 943 8 × 2 = 1 + 0,533 647 774 143 887 6;
  • 3) 0,533 647 774 143 887 6 × 2 = 1 + 0,067 295 548 287 775 2;
  • 4) 0,067 295 548 287 775 2 × 2 = 0 + 0,134 591 096 575 550 4;
  • 5) 0,134 591 096 575 550 4 × 2 = 0 + 0,269 182 193 151 100 8;
  • 6) 0,269 182 193 151 100 8 × 2 = 0 + 0,538 364 386 302 201 6;
  • 7) 0,538 364 386 302 201 6 × 2 = 1 + 0,076 728 772 604 403 2;
  • 8) 0,076 728 772 604 403 2 × 2 = 0 + 0,153 457 545 208 806 4;
  • 9) 0,153 457 545 208 806 4 × 2 = 0 + 0,306 915 090 417 612 8;
  • 10) 0,306 915 090 417 612 8 × 2 = 0 + 0,613 830 180 835 225 6;
  • 11) 0,613 830 180 835 225 6 × 2 = 1 + 0,227 660 361 670 451 2;
  • 12) 0,227 660 361 670 451 2 × 2 = 0 + 0,455 320 723 340 902 4;
  • 13) 0,455 320 723 340 902 4 × 2 = 0 + 0,910 641 446 681 804 8;
  • 14) 0,910 641 446 681 804 8 × 2 = 1 + 0,821 282 893 363 609 6;
  • 15) 0,821 282 893 363 609 6 × 2 = 1 + 0,642 565 786 727 219 2;
  • 16) 0,642 565 786 727 219 2 × 2 = 1 + 0,285 131 573 454 438 4;
  • 17) 0,285 131 573 454 438 4 × 2 = 0 + 0,570 263 146 908 876 8;
  • 18) 0,570 263 146 908 876 8 × 2 = 1 + 0,140 526 293 817 753 6;
  • 19) 0,140 526 293 817 753 6 × 2 = 0 + 0,281 052 587 635 507 2;
  • 20) 0,281 052 587 635 507 2 × 2 = 0 + 0,562 105 175 271 014 4;
  • 21) 0,562 105 175 271 014 4 × 2 = 1 + 0,124 210 350 542 028 8;
  • 22) 0,124 210 350 542 028 8 × 2 = 0 + 0,248 420 701 084 057 6;
  • 23) 0,248 420 701 084 057 6 × 2 = 0 + 0,496 841 402 168 115 2;
  • 24) 0,496 841 402 168 115 2 × 2 = 0 + 0,993 682 804 336 230 4;
  • 25) 0,993 682 804 336 230 4 × 2 = 1 + 0,987 365 608 672 460 8;
  • 26) 0,987 365 608 672 460 8 × 2 = 1 + 0,974 731 217 344 921 6;
  • 27) 0,974 731 217 344 921 6 × 2 = 1 + 0,949 462 434 689 843 2;
  • 28) 0,949 462 434 689 843 2 × 2 = 1 + 0,898 924 869 379 686 4;
  • 29) 0,898 924 869 379 686 4 × 2 = 1 + 0,797 849 738 759 372 8;
  • 30) 0,797 849 738 759 372 8 × 2 = 1 + 0,595 699 477 518 745 6;
  • 31) 0,595 699 477 518 745 6 × 2 = 1 + 0,191 398 955 037 491 2;
  • 32) 0,191 398 955 037 491 2 × 2 = 0 + 0,382 797 910 074 982 4;
  • 33) 0,382 797 910 074 982 4 × 2 = 0 + 0,765 595 820 149 964 8;
  • 34) 0,765 595 820 149 964 8 × 2 = 1 + 0,531 191 640 299 929 6;
  • 35) 0,531 191 640 299 929 6 × 2 = 1 + 0,062 383 280 599 859 2;
  • 36) 0,062 383 280 599 859 2 × 2 = 0 + 0,124 766 561 199 718 4;
  • 37) 0,124 766 561 199 718 4 × 2 = 0 + 0,249 533 122 399 436 8;
  • 38) 0,249 533 122 399 436 8 × 2 = 0 + 0,499 066 244 798 873 6;
  • 39) 0,499 066 244 798 873 6 × 2 = 0 + 0,998 132 489 597 747 2;
  • 40) 0,998 132 489 597 747 2 × 2 = 1 + 0,996 264 979 195 494 4;
  • 41) 0,996 264 979 195 494 4 × 2 = 1 + 0,992 529 958 390 988 8;
  • 42) 0,992 529 958 390 988 8 × 2 = 1 + 0,985 059 916 781 977 6;
  • 43) 0,985 059 916 781 977 6 × 2 = 1 + 0,970 119 833 563 955 2;
  • 44) 0,970 119 833 563 955 2 × 2 = 1 + 0,940 239 667 127 910 4;
  • 45) 0,940 239 667 127 910 4 × 2 = 1 + 0,880 479 334 255 820 8;
  • 46) 0,880 479 334 255 820 8 × 2 = 1 + 0,760 958 668 511 641 6;
  • 47) 0,760 958 668 511 641 6 × 2 = 1 + 0,521 917 337 023 283 2;
  • 48) 0,521 917 337 023 283 2 × 2 = 1 + 0,043 834 674 046 566 4;
  • 49) 0,043 834 674 046 566 4 × 2 = 0 + 0,087 669 348 093 132 8;
  • 50) 0,087 669 348 093 132 8 × 2 = 0 + 0,175 338 696 186 265 6;
  • 51) 0,175 338 696 186 265 6 × 2 = 0 + 0,350 677 392 372 531 2;
  • 52) 0,350 677 392 372 531 2 × 2 = 0 + 0,701 354 784 745 062 4;
  • 53) 0,701 354 784 745 062 4 × 2 = 1 + 0,402 709 569 490 124 8;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


4. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,883 411 943 535 971 9(10) =

0,1110 0010 0010 0111 0100 1000 1111 1110 0110 0001 1111 1111 0000 1(2)

5. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

8 800,883 411 943 535 971 9(10) =

10 0010 0110 0000,1110 0010 0010 0111 0100 1000 1111 1110 0110 0001 1111 1111 0000 1(2)

6. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 13 poziții la stânga, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


8 800,883 411 943 535 971 9(10) =

10 0010 0110 0000,1110 0010 0010 0111 0100 1000 1111 1110 0110 0001 1111 1111 0000 1(2) =

10 0010 0110 0000,1110 0010 0010 0111 0100 1000 1111 1110 0110 0001 1111 1111 0000 1(2) × 20 =

1,0001 0011 0000 0111 0001 0001 0011 1010 0100 0111 1111 0011 0000 1111 1111 1000 01(2) × 213


7. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 0 (un număr pozitiv)

Exponent (neajustat): 13

Mantisă (nenormalizată):
1,0001 0011 0000 0111 0001 0001 0011 1010 0100 0111 1111 0011 0000 1111 1111 1000 01


8. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

13 + 2(11-1) - 1 =

(13 + 1 023)(10) =

1 036(10)


9. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 036 : 2 = 518 + 0;
  • 518 : 2 = 259 + 0;
  • 259 : 2 = 129 + 1;
  • 129 : 2 = 64 + 1;
  • 64 : 2 = 32 + 0;
  • 32 : 2 = 16 + 0;
  • 16 : 2 = 8 + 0;
  • 8 : 2 = 4 + 0;
  • 4 : 2 = 2 + 0;
  • 2 : 2 = 1 + 0;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

10. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1036(10) =

100 0000 1100(2)


11. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (dacă măcar unul din acești biți în exces e setat pe 1, se pierde din precizie...).


Mantisă (normalizată) =

1. 0001 0011 0000 0111 0001 0001 0011 1010 0100 0111 1111 0011 0000 11 1111 1110 0001 =

0001 0011 0000 0111 0001 0001 0011 1010 0100 0111 1111 0011 0000


12. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
0 (un număr pozitiv)

Exponent (11 biți) =
100 0000 1100

Mantisă (52 biți) =
0001 0011 0000 0111 0001 0001 0011 1010 0100 0111 1111 0011 0000


Numărul zecimal 8 800,883 411 943 535 971 9 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

0 - 100 0000 1100 - 0001 0011 0000 0111 0001 0001 0011 1010 0100 0111 1111 0011 0000

Distribuie

» Scriere 8 800,883 411 943 535 980 9 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 09, 2026 [Septembrie]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Septembrie - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100