9,954 034 474 631 2 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere 9,954 034 474 631 2(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
9,954 034 474 631 2(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 9.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 9 : 2 = 4 + 1;
  • 4 : 2 = 2 + 0;
  • 2 : 2 = 1 + 0;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

2. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

9(10) =

1001(2)


3. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,954 034 474 631 2.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,954 034 474 631 2 × 2 = 1 + 0,908 068 949 262 4;
  • 2) 0,908 068 949 262 4 × 2 = 1 + 0,816 137 898 524 8;
  • 3) 0,816 137 898 524 8 × 2 = 1 + 0,632 275 797 049 6;
  • 4) 0,632 275 797 049 6 × 2 = 1 + 0,264 551 594 099 2;
  • 5) 0,264 551 594 099 2 × 2 = 0 + 0,529 103 188 198 4;
  • 6) 0,529 103 188 198 4 × 2 = 1 + 0,058 206 376 396 8;
  • 7) 0,058 206 376 396 8 × 2 = 0 + 0,116 412 752 793 6;
  • 8) 0,116 412 752 793 6 × 2 = 0 + 0,232 825 505 587 2;
  • 9) 0,232 825 505 587 2 × 2 = 0 + 0,465 651 011 174 4;
  • 10) 0,465 651 011 174 4 × 2 = 0 + 0,931 302 022 348 8;
  • 11) 0,931 302 022 348 8 × 2 = 1 + 0,862 604 044 697 6;
  • 12) 0,862 604 044 697 6 × 2 = 1 + 0,725 208 089 395 2;
  • 13) 0,725 208 089 395 2 × 2 = 1 + 0,450 416 178 790 4;
  • 14) 0,450 416 178 790 4 × 2 = 0 + 0,900 832 357 580 8;
  • 15) 0,900 832 357 580 8 × 2 = 1 + 0,801 664 715 161 6;
  • 16) 0,801 664 715 161 6 × 2 = 1 + 0,603 329 430 323 2;
  • 17) 0,603 329 430 323 2 × 2 = 1 + 0,206 658 860 646 4;
  • 18) 0,206 658 860 646 4 × 2 = 0 + 0,413 317 721 292 8;
  • 19) 0,413 317 721 292 8 × 2 = 0 + 0,826 635 442 585 6;
  • 20) 0,826 635 442 585 6 × 2 = 1 + 0,653 270 885 171 2;
  • 21) 0,653 270 885 171 2 × 2 = 1 + 0,306 541 770 342 4;
  • 22) 0,306 541 770 342 4 × 2 = 0 + 0,613 083 540 684 8;
  • 23) 0,613 083 540 684 8 × 2 = 1 + 0,226 167 081 369 6;
  • 24) 0,226 167 081 369 6 × 2 = 0 + 0,452 334 162 739 2;
  • 25) 0,452 334 162 739 2 × 2 = 0 + 0,904 668 325 478 4;
  • 26) 0,904 668 325 478 4 × 2 = 1 + 0,809 336 650 956 8;
  • 27) 0,809 336 650 956 8 × 2 = 1 + 0,618 673 301 913 6;
  • 28) 0,618 673 301 913 6 × 2 = 1 + 0,237 346 603 827 2;
  • 29) 0,237 346 603 827 2 × 2 = 0 + 0,474 693 207 654 4;
  • 30) 0,474 693 207 654 4 × 2 = 0 + 0,949 386 415 308 8;
  • 31) 0,949 386 415 308 8 × 2 = 1 + 0,898 772 830 617 6;
  • 32) 0,898 772 830 617 6 × 2 = 1 + 0,797 545 661 235 2;
  • 33) 0,797 545 661 235 2 × 2 = 1 + 0,595 091 322 470 4;
  • 34) 0,595 091 322 470 4 × 2 = 1 + 0,190 182 644 940 8;
  • 35) 0,190 182 644 940 8 × 2 = 0 + 0,380 365 289 881 6;
  • 36) 0,380 365 289 881 6 × 2 = 0 + 0,760 730 579 763 2;
  • 37) 0,760 730 579 763 2 × 2 = 1 + 0,521 461 159 526 4;
  • 38) 0,521 461 159 526 4 × 2 = 1 + 0,042 922 319 052 8;
  • 39) 0,042 922 319 052 8 × 2 = 0 + 0,085 844 638 105 6;
  • 40) 0,085 844 638 105 6 × 2 = 0 + 0,171 689 276 211 2;
  • 41) 0,171 689 276 211 2 × 2 = 0 + 0,343 378 552 422 4;
  • 42) 0,343 378 552 422 4 × 2 = 0 + 0,686 757 104 844 8;
  • 43) 0,686 757 104 844 8 × 2 = 1 + 0,373 514 209 689 6;
  • 44) 0,373 514 209 689 6 × 2 = 0 + 0,747 028 419 379 2;
  • 45) 0,747 028 419 379 2 × 2 = 1 + 0,494 056 838 758 4;
  • 46) 0,494 056 838 758 4 × 2 = 0 + 0,988 113 677 516 8;
  • 47) 0,988 113 677 516 8 × 2 = 1 + 0,976 227 355 033 6;
  • 48) 0,976 227 355 033 6 × 2 = 1 + 0,952 454 710 067 2;
  • 49) 0,952 454 710 067 2 × 2 = 1 + 0,904 909 420 134 4;
  • 50) 0,904 909 420 134 4 × 2 = 1 + 0,809 818 840 268 8;
  • 51) 0,809 818 840 268 8 × 2 = 1 + 0,619 637 680 537 6;
  • 52) 0,619 637 680 537 6 × 2 = 1 + 0,239 275 361 075 2;
  • 53) 0,239 275 361 075 2 × 2 = 0 + 0,478 550 722 150 4;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


4. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,954 034 474 631 2(10) =

0,1111 0100 0011 1011 1001 1010 0111 0011 1100 1100 0010 1011 1111 0(2)

5. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

9,954 034 474 631 2(10) =

1001,1111 0100 0011 1011 1001 1010 0111 0011 1100 1100 0010 1011 1111 0(2)

6. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 3 poziții la stânga, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


9,954 034 474 631 2(10) =

1001,1111 0100 0011 1011 1001 1010 0111 0011 1100 1100 0010 1011 1111 0(2) =

1001,1111 0100 0011 1011 1001 1010 0111 0011 1100 1100 0010 1011 1111 0(2) × 20 =

1,0011 1110 1000 0111 0111 0011 0100 1110 0111 1001 1000 0101 0111 1110(2) × 23


7. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 0 (un număr pozitiv)

Exponent (neajustat): 3

Mantisă (nenormalizată):
1,0011 1110 1000 0111 0111 0011 0100 1110 0111 1001 1000 0101 0111 1110


8. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

3 + 2(11-1) - 1 =

(3 + 1 023)(10) =

1 026(10)


9. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 026 : 2 = 513 + 0;
  • 513 : 2 = 256 + 1;
  • 256 : 2 = 128 + 0;
  • 128 : 2 = 64 + 0;
  • 64 : 2 = 32 + 0;
  • 32 : 2 = 16 + 0;
  • 16 : 2 = 8 + 0;
  • 8 : 2 = 4 + 0;
  • 4 : 2 = 2 + 0;
  • 2 : 2 = 1 + 0;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

10. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1026(10) =

100 0000 0010(2)


11. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (dacă măcar unul din acești biți în exces e setat pe 1, se pierde din precizie...).


Mantisă (normalizată) =

1. 0011 1110 1000 0111 0111 0011 0100 1110 0111 1001 1000 0101 0111 1110 =

0011 1110 1000 0111 0111 0011 0100 1110 0111 1001 1000 0101 0111


12. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
0 (un număr pozitiv)

Exponent (11 biți) =
100 0000 0010

Mantisă (52 biți) =
0011 1110 1000 0111 0111 0011 0100 1110 0111 1001 1000 0101 0111


Numărul zecimal 9,954 034 474 631 2 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

0 - 100 0000 0010 - 0011 1110 1000 0111 0111 0011 0100 1110 0111 1001 1000 0101 0111

Distribuie

» Scriere 9,954 034 474 635 7 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 09, 2026 [Septembrie]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Septembrie - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100