90,899 999 999 999 991 479 6 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere 90,899 999 999 999 991 479 6(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
90,899 999 999 999 991 479 6(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 90.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 90 : 2 = 45 + 0;
  • 45 : 2 = 22 + 1;
  • 22 : 2 = 11 + 0;
  • 11 : 2 = 5 + 1;
  • 5 : 2 = 2 + 1;
  • 2 : 2 = 1 + 0;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

2. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

90(10) =

101 1010(2)


3. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,899 999 999 999 991 479 6.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,899 999 999 999 991 479 6 × 2 = 1 + 0,799 999 999 999 982 959 2;
  • 2) 0,799 999 999 999 982 959 2 × 2 = 1 + 0,599 999 999 999 965 918 4;
  • 3) 0,599 999 999 999 965 918 4 × 2 = 1 + 0,199 999 999 999 931 836 8;
  • 4) 0,199 999 999 999 931 836 8 × 2 = 0 + 0,399 999 999 999 863 673 6;
  • 5) 0,399 999 999 999 863 673 6 × 2 = 0 + 0,799 999 999 999 727 347 2;
  • 6) 0,799 999 999 999 727 347 2 × 2 = 1 + 0,599 999 999 999 454 694 4;
  • 7) 0,599 999 999 999 454 694 4 × 2 = 1 + 0,199 999 999 998 909 388 8;
  • 8) 0,199 999 999 998 909 388 8 × 2 = 0 + 0,399 999 999 997 818 777 6;
  • 9) 0,399 999 999 997 818 777 6 × 2 = 0 + 0,799 999 999 995 637 555 2;
  • 10) 0,799 999 999 995 637 555 2 × 2 = 1 + 0,599 999 999 991 275 110 4;
  • 11) 0,599 999 999 991 275 110 4 × 2 = 1 + 0,199 999 999 982 550 220 8;
  • 12) 0,199 999 999 982 550 220 8 × 2 = 0 + 0,399 999 999 965 100 441 6;
  • 13) 0,399 999 999 965 100 441 6 × 2 = 0 + 0,799 999 999 930 200 883 2;
  • 14) 0,799 999 999 930 200 883 2 × 2 = 1 + 0,599 999 999 860 401 766 4;
  • 15) 0,599 999 999 860 401 766 4 × 2 = 1 + 0,199 999 999 720 803 532 8;
  • 16) 0,199 999 999 720 803 532 8 × 2 = 0 + 0,399 999 999 441 607 065 6;
  • 17) 0,399 999 999 441 607 065 6 × 2 = 0 + 0,799 999 998 883 214 131 2;
  • 18) 0,799 999 998 883 214 131 2 × 2 = 1 + 0,599 999 997 766 428 262 4;
  • 19) 0,599 999 997 766 428 262 4 × 2 = 1 + 0,199 999 995 532 856 524 8;
  • 20) 0,199 999 995 532 856 524 8 × 2 = 0 + 0,399 999 991 065 713 049 6;
  • 21) 0,399 999 991 065 713 049 6 × 2 = 0 + 0,799 999 982 131 426 099 2;
  • 22) 0,799 999 982 131 426 099 2 × 2 = 1 + 0,599 999 964 262 852 198 4;
  • 23) 0,599 999 964 262 852 198 4 × 2 = 1 + 0,199 999 928 525 704 396 8;
  • 24) 0,199 999 928 525 704 396 8 × 2 = 0 + 0,399 999 857 051 408 793 6;
  • 25) 0,399 999 857 051 408 793 6 × 2 = 0 + 0,799 999 714 102 817 587 2;
  • 26) 0,799 999 714 102 817 587 2 × 2 = 1 + 0,599 999 428 205 635 174 4;
  • 27) 0,599 999 428 205 635 174 4 × 2 = 1 + 0,199 998 856 411 270 348 8;
  • 28) 0,199 998 856 411 270 348 8 × 2 = 0 + 0,399 997 712 822 540 697 6;
  • 29) 0,399 997 712 822 540 697 6 × 2 = 0 + 0,799 995 425 645 081 395 2;
  • 30) 0,799 995 425 645 081 395 2 × 2 = 1 + 0,599 990 851 290 162 790 4;
  • 31) 0,599 990 851 290 162 790 4 × 2 = 1 + 0,199 981 702 580 325 580 8;
  • 32) 0,199 981 702 580 325 580 8 × 2 = 0 + 0,399 963 405 160 651 161 6;
  • 33) 0,399 963 405 160 651 161 6 × 2 = 0 + 0,799 926 810 321 302 323 2;
  • 34) 0,799 926 810 321 302 323 2 × 2 = 1 + 0,599 853 620 642 604 646 4;
  • 35) 0,599 853 620 642 604 646 4 × 2 = 1 + 0,199 707 241 285 209 292 8;
  • 36) 0,199 707 241 285 209 292 8 × 2 = 0 + 0,399 414 482 570 418 585 6;
  • 37) 0,399 414 482 570 418 585 6 × 2 = 0 + 0,798 828 965 140 837 171 2;
  • 38) 0,798 828 965 140 837 171 2 × 2 = 1 + 0,597 657 930 281 674 342 4;
  • 39) 0,597 657 930 281 674 342 4 × 2 = 1 + 0,195 315 860 563 348 684 8;
  • 40) 0,195 315 860 563 348 684 8 × 2 = 0 + 0,390 631 721 126 697 369 6;
  • 41) 0,390 631 721 126 697 369 6 × 2 = 0 + 0,781 263 442 253 394 739 2;
  • 42) 0,781 263 442 253 394 739 2 × 2 = 1 + 0,562 526 884 506 789 478 4;
  • 43) 0,562 526 884 506 789 478 4 × 2 = 1 + 0,125 053 769 013 578 956 8;
  • 44) 0,125 053 769 013 578 956 8 × 2 = 0 + 0,250 107 538 027 157 913 6;
  • 45) 0,250 107 538 027 157 913 6 × 2 = 0 + 0,500 215 076 054 315 827 2;
  • 46) 0,500 215 076 054 315 827 2 × 2 = 1 + 0,000 430 152 108 631 654 4;
  • 47) 0,000 430 152 108 631 654 4 × 2 = 0 + 0,000 860 304 217 263 308 8;
  • 48) 0,000 860 304 217 263 308 8 × 2 = 0 + 0,001 720 608 434 526 617 6;
  • 49) 0,001 720 608 434 526 617 6 × 2 = 0 + 0,003 441 216 869 053 235 2;
  • 50) 0,003 441 216 869 053 235 2 × 2 = 0 + 0,006 882 433 738 106 470 4;
  • 51) 0,006 882 433 738 106 470 4 × 2 = 0 + 0,013 764 867 476 212 940 8;
  • 52) 0,013 764 867 476 212 940 8 × 2 = 0 + 0,027 529 734 952 425 881 6;
  • 53) 0,027 529 734 952 425 881 6 × 2 = 0 + 0,055 059 469 904 851 763 2;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


4. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,899 999 999 999 991 479 6(10) =

0,1110 0110 0110 0110 0110 0110 0110 0110 0110 0110 0110 0100 0000 0(2)

5. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

90,899 999 999 999 991 479 6(10) =

101 1010,1110 0110 0110 0110 0110 0110 0110 0110 0110 0110 0110 0100 0000 0(2)

6. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 6 poziții la stânga, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


90,899 999 999 999 991 479 6(10) =

101 1010,1110 0110 0110 0110 0110 0110 0110 0110 0110 0110 0110 0100 0000 0(2) =

101 1010,1110 0110 0110 0110 0110 0110 0110 0110 0110 0110 0110 0100 0000 0(2) × 20 =

1,0110 1011 1001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 0000 000(2) × 26


7. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 0 (un număr pozitiv)

Exponent (neajustat): 6

Mantisă (nenormalizată):
1,0110 1011 1001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 0000 000


8. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

6 + 2(11-1) - 1 =

(6 + 1 023)(10) =

1 029(10)


9. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 029 : 2 = 514 + 1;
  • 514 : 2 = 257 + 0;
  • 257 : 2 = 128 + 1;
  • 128 : 2 = 64 + 0;
  • 64 : 2 = 32 + 0;
  • 32 : 2 = 16 + 0;
  • 16 : 2 = 8 + 0;
  • 8 : 2 = 4 + 0;
  • 4 : 2 = 2 + 0;
  • 2 : 2 = 1 + 0;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

10. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1029(10) =

100 0000 0101(2)


11. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (dacă măcar unul din acești biți în exces e setat pe 1, se pierde din precizie...).


Mantisă (normalizată) =

1. 0110 1011 1001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 000 0000 =

0110 1011 1001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 1001


12. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
0 (un număr pozitiv)

Exponent (11 biți) =
100 0000 0101

Mantisă (52 biți) =
0110 1011 1001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 1001


Numărul zecimal 90,899 999 999 999 991 479 6 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

0 - 100 0000 0101 - 0110 1011 1001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 1001

Distribuie

» Scriere 90,899 999 999 999 991 471 9 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 08, 2026 [August]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: August - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100