9 007 199 254 740 996,590 015 632 769 688 822 922 664 328 540 776 068 621 198 646 724 224 090 576 190 4 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere 9 007 199 254 740 996,590 015 632 769 688 822 922 664 328 540 776 068 621 198 646 724 224 090 576 190 4(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
9 007 199 254 740 996,590 015 632 769 688 822 922 664 328 540 776 068 621 198 646 724 224 090 576 190 4(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 9 007 199 254 740 996.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 9 007 199 254 740 996 : 2 = 4 503 599 627 370 498 + 0;
  • 4 503 599 627 370 498 : 2 = 2 251 799 813 685 249 + 0;
  • 2 251 799 813 685 249 : 2 = 1 125 899 906 842 624 + 1;
  • 1 125 899 906 842 624 : 2 = 562 949 953 421 312 + 0;
  • 562 949 953 421 312 : 2 = 281 474 976 710 656 + 0;
  • 281 474 976 710 656 : 2 = 140 737 488 355 328 + 0;
  • 140 737 488 355 328 : 2 = 70 368 744 177 664 + 0;
  • 70 368 744 177 664 : 2 = 35 184 372 088 832 + 0;
  • 35 184 372 088 832 : 2 = 17 592 186 044 416 + 0;
  • 17 592 186 044 416 : 2 = 8 796 093 022 208 + 0;
  • 8 796 093 022 208 : 2 = 4 398 046 511 104 + 0;
  • 4 398 046 511 104 : 2 = 2 199 023 255 552 + 0;
  • 2 199 023 255 552 : 2 = 1 099 511 627 776 + 0;
  • 1 099 511 627 776 : 2 = 549 755 813 888 + 0;
  • 549 755 813 888 : 2 = 274 877 906 944 + 0;
  • 274 877 906 944 : 2 = 137 438 953 472 + 0;
  • 137 438 953 472 : 2 = 68 719 476 736 + 0;
  • 68 719 476 736 : 2 = 34 359 738 368 + 0;
  • 34 359 738 368 : 2 = 17 179 869 184 + 0;
  • 17 179 869 184 : 2 = 8 589 934 592 + 0;
  • 8 589 934 592 : 2 = 4 294 967 296 + 0;
  • 4 294 967 296 : 2 = 2 147 483 648 + 0;
  • 2 147 483 648 : 2 = 1 073 741 824 + 0;
  • 1 073 741 824 : 2 = 536 870 912 + 0;
  • 536 870 912 : 2 = 268 435 456 + 0;
  • 268 435 456 : 2 = 134 217 728 + 0;
  • 134 217 728 : 2 = 67 108 864 + 0;
  • 67 108 864 : 2 = 33 554 432 + 0;
  • 33 554 432 : 2 = 16 777 216 + 0;
  • 16 777 216 : 2 = 8 388 608 + 0;
  • 8 388 608 : 2 = 4 194 304 + 0;
  • 4 194 304 : 2 = 2 097 152 + 0;
  • 2 097 152 : 2 = 1 048 576 + 0;
  • 1 048 576 : 2 = 524 288 + 0;
  • 524 288 : 2 = 262 144 + 0;
  • 262 144 : 2 = 131 072 + 0;
  • 131 072 : 2 = 65 536 + 0;
  • 65 536 : 2 = 32 768 + 0;
  • 32 768 : 2 = 16 384 + 0;
  • 16 384 : 2 = 8 192 + 0;
  • 8 192 : 2 = 4 096 + 0;
  • 4 096 : 2 = 2 048 + 0;
  • 2 048 : 2 = 1 024 + 0;
  • 1 024 : 2 = 512 + 0;
  • 512 : 2 = 256 + 0;
  • 256 : 2 = 128 + 0;
  • 128 : 2 = 64 + 0;
  • 64 : 2 = 32 + 0;
  • 32 : 2 = 16 + 0;
  • 16 : 2 = 8 + 0;
  • 8 : 2 = 4 + 0;
  • 4 : 2 = 2 + 0;
  • 2 : 2 = 1 + 0;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

2. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

9 007 199 254 740 996(10) =

10 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0100(2)


3. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,590 015 632 769 688 822 922 664 328 540 776 068 621 198 646 724 224 090 576 190 4.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,590 015 632 769 688 822 922 664 328 540 776 068 621 198 646 724 224 090 576 190 4 × 2 = 1 + 0,180 031 265 539 377 645 845 328 657 081 552 137 242 397 293 448 448 181 152 380 8;
  • 2) 0,180 031 265 539 377 645 845 328 657 081 552 137 242 397 293 448 448 181 152 380 8 × 2 = 0 + 0,360 062 531 078 755 291 690 657 314 163 104 274 484 794 586 896 896 362 304 761 6;
  • 3) 0,360 062 531 078 755 291 690 657 314 163 104 274 484 794 586 896 896 362 304 761 6 × 2 = 0 + 0,720 125 062 157 510 583 381 314 628 326 208 548 969 589 173 793 792 724 609 523 2;
  • 4) 0,720 125 062 157 510 583 381 314 628 326 208 548 969 589 173 793 792 724 609 523 2 × 2 = 1 + 0,440 250 124 315 021 166 762 629 256 652 417 097 939 178 347 587 585 449 219 046 4;
  • 5) 0,440 250 124 315 021 166 762 629 256 652 417 097 939 178 347 587 585 449 219 046 4 × 2 = 0 + 0,880 500 248 630 042 333 525 258 513 304 834 195 878 356 695 175 170 898 438 092 8;
  • 6) 0,880 500 248 630 042 333 525 258 513 304 834 195 878 356 695 175 170 898 438 092 8 × 2 = 1 + 0,761 000 497 260 084 667 050 517 026 609 668 391 756 713 390 350 341 796 876 185 6;
  • 7) 0,761 000 497 260 084 667 050 517 026 609 668 391 756 713 390 350 341 796 876 185 6 × 2 = 1 + 0,522 000 994 520 169 334 101 034 053 219 336 783 513 426 780 700 683 593 752 371 2;
  • 8) 0,522 000 994 520 169 334 101 034 053 219 336 783 513 426 780 700 683 593 752 371 2 × 2 = 1 + 0,044 001 989 040 338 668 202 068 106 438 673 567 026 853 561 401 367 187 504 742 4;
  • 9) 0,044 001 989 040 338 668 202 068 106 438 673 567 026 853 561 401 367 187 504 742 4 × 2 = 0 + 0,088 003 978 080 677 336 404 136 212 877 347 134 053 707 122 802 734 375 009 484 8;
  • 10) 0,088 003 978 080 677 336 404 136 212 877 347 134 053 707 122 802 734 375 009 484 8 × 2 = 0 + 0,176 007 956 161 354 672 808 272 425 754 694 268 107 414 245 605 468 750 018 969 6;
  • 11) 0,176 007 956 161 354 672 808 272 425 754 694 268 107 414 245 605 468 750 018 969 6 × 2 = 0 + 0,352 015 912 322 709 345 616 544 851 509 388 536 214 828 491 210 937 500 037 939 2;
  • 12) 0,352 015 912 322 709 345 616 544 851 509 388 536 214 828 491 210 937 500 037 939 2 × 2 = 0 + 0,704 031 824 645 418 691 233 089 703 018 777 072 429 656 982 421 875 000 075 878 4;
  • 13) 0,704 031 824 645 418 691 233 089 703 018 777 072 429 656 982 421 875 000 075 878 4 × 2 = 1 + 0,408 063 649 290 837 382 466 179 406 037 554 144 859 313 964 843 750 000 151 756 8;
  • 14) 0,408 063 649 290 837 382 466 179 406 037 554 144 859 313 964 843 750 000 151 756 8 × 2 = 0 + 0,816 127 298 581 674 764 932 358 812 075 108 289 718 627 929 687 500 000 303 513 6;
  • 15) 0,816 127 298 581 674 764 932 358 812 075 108 289 718 627 929 687 500 000 303 513 6 × 2 = 1 + 0,632 254 597 163 349 529 864 717 624 150 216 579 437 255 859 375 000 000 607 027 2;
  • 16) 0,632 254 597 163 349 529 864 717 624 150 216 579 437 255 859 375 000 000 607 027 2 × 2 = 1 + 0,264 509 194 326 699 059 729 435 248 300 433 158 874 511 718 750 000 001 214 054 4;
  • 17) 0,264 509 194 326 699 059 729 435 248 300 433 158 874 511 718 750 000 001 214 054 4 × 2 = 0 + 0,529 018 388 653 398 119 458 870 496 600 866 317 749 023 437 500 000 002 428 108 8;
  • 18) 0,529 018 388 653 398 119 458 870 496 600 866 317 749 023 437 500 000 002 428 108 8 × 2 = 1 + 0,058 036 777 306 796 238 917 740 993 201 732 635 498 046 875 000 000 004 856 217 6;
  • 19) 0,058 036 777 306 796 238 917 740 993 201 732 635 498 046 875 000 000 004 856 217 6 × 2 = 0 + 0,116 073 554 613 592 477 835 481 986 403 465 270 996 093 750 000 000 009 712 435 2;
  • 20) 0,116 073 554 613 592 477 835 481 986 403 465 270 996 093 750 000 000 009 712 435 2 × 2 = 0 + 0,232 147 109 227 184 955 670 963 972 806 930 541 992 187 500 000 000 019 424 870 4;
  • 21) 0,232 147 109 227 184 955 670 963 972 806 930 541 992 187 500 000 000 019 424 870 4 × 2 = 0 + 0,464 294 218 454 369 911 341 927 945 613 861 083 984 375 000 000 000 038 849 740 8;
  • 22) 0,464 294 218 454 369 911 341 927 945 613 861 083 984 375 000 000 000 038 849 740 8 × 2 = 0 + 0,928 588 436 908 739 822 683 855 891 227 722 167 968 750 000 000 000 077 699 481 6;
  • 23) 0,928 588 436 908 739 822 683 855 891 227 722 167 968 750 000 000 000 077 699 481 6 × 2 = 1 + 0,857 176 873 817 479 645 367 711 782 455 444 335 937 500 000 000 000 155 398 963 2;
  • 24) 0,857 176 873 817 479 645 367 711 782 455 444 335 937 500 000 000 000 155 398 963 2 × 2 = 1 + 0,714 353 747 634 959 290 735 423 564 910 888 671 875 000 000 000 000 310 797 926 4;
  • 25) 0,714 353 747 634 959 290 735 423 564 910 888 671 875 000 000 000 000 310 797 926 4 × 2 = 1 + 0,428 707 495 269 918 581 470 847 129 821 777 343 750 000 000 000 000 621 595 852 8;
  • 26) 0,428 707 495 269 918 581 470 847 129 821 777 343 750 000 000 000 000 621 595 852 8 × 2 = 0 + 0,857 414 990 539 837 162 941 694 259 643 554 687 500 000 000 000 001 243 191 705 6;
  • 27) 0,857 414 990 539 837 162 941 694 259 643 554 687 500 000 000 000 001 243 191 705 6 × 2 = 1 + 0,714 829 981 079 674 325 883 388 519 287 109 375 000 000 000 000 002 486 383 411 2;
  • 28) 0,714 829 981 079 674 325 883 388 519 287 109 375 000 000 000 000 002 486 383 411 2 × 2 = 1 + 0,429 659 962 159 348 651 766 777 038 574 218 750 000 000 000 000 004 972 766 822 4;
  • 29) 0,429 659 962 159 348 651 766 777 038 574 218 750 000 000 000 000 004 972 766 822 4 × 2 = 0 + 0,859 319 924 318 697 303 533 554 077 148 437 500 000 000 000 000 009 945 533 644 8;
  • 30) 0,859 319 924 318 697 303 533 554 077 148 437 500 000 000 000 000 009 945 533 644 8 × 2 = 1 + 0,718 639 848 637 394 607 067 108 154 296 875 000 000 000 000 000 019 891 067 289 6;
  • 31) 0,718 639 848 637 394 607 067 108 154 296 875 000 000 000 000 000 019 891 067 289 6 × 2 = 1 + 0,437 279 697 274 789 214 134 216 308 593 750 000 000 000 000 000 039 782 134 579 2;
  • 32) 0,437 279 697 274 789 214 134 216 308 593 750 000 000 000 000 000 039 782 134 579 2 × 2 = 0 + 0,874 559 394 549 578 428 268 432 617 187 500 000 000 000 000 000 079 564 269 158 4;
  • 33) 0,874 559 394 549 578 428 268 432 617 187 500 000 000 000 000 000 079 564 269 158 4 × 2 = 1 + 0,749 118 789 099 156 856 536 865 234 375 000 000 000 000 000 000 159 128 538 316 8;
  • 34) 0,749 118 789 099 156 856 536 865 234 375 000 000 000 000 000 000 159 128 538 316 8 × 2 = 1 + 0,498 237 578 198 313 713 073 730 468 750 000 000 000 000 000 000 318 257 076 633 6;
  • 35) 0,498 237 578 198 313 713 073 730 468 750 000 000 000 000 000 000 318 257 076 633 6 × 2 = 0 + 0,996 475 156 396 627 426 147 460 937 500 000 000 000 000 000 000 636 514 153 267 2;
  • 36) 0,996 475 156 396 627 426 147 460 937 500 000 000 000 000 000 000 636 514 153 267 2 × 2 = 1 + 0,992 950 312 793 254 852 294 921 875 000 000 000 000 000 000 001 273 028 306 534 4;
  • 37) 0,992 950 312 793 254 852 294 921 875 000 000 000 000 000 000 001 273 028 306 534 4 × 2 = 1 + 0,985 900 625 586 509 704 589 843 750 000 000 000 000 000 000 002 546 056 613 068 8;
  • 38) 0,985 900 625 586 509 704 589 843 750 000 000 000 000 000 000 002 546 056 613 068 8 × 2 = 1 + 0,971 801 251 173 019 409 179 687 500 000 000 000 000 000 000 005 092 113 226 137 6;
  • 39) 0,971 801 251 173 019 409 179 687 500 000 000 000 000 000 000 005 092 113 226 137 6 × 2 = 1 + 0,943 602 502 346 038 818 359 375 000 000 000 000 000 000 000 010 184 226 452 275 2;
  • 40) 0,943 602 502 346 038 818 359 375 000 000 000 000 000 000 000 010 184 226 452 275 2 × 2 = 1 + 0,887 205 004 692 077 636 718 750 000 000 000 000 000 000 000 020 368 452 904 550 4;
  • 41) 0,887 205 004 692 077 636 718 750 000 000 000 000 000 000 000 020 368 452 904 550 4 × 2 = 1 + 0,774 410 009 384 155 273 437 500 000 000 000 000 000 000 000 040 736 905 809 100 8;
  • 42) 0,774 410 009 384 155 273 437 500 000 000 000 000 000 000 000 040 736 905 809 100 8 × 2 = 1 + 0,548 820 018 768 310 546 875 000 000 000 000 000 000 000 000 081 473 811 618 201 6;
  • 43) 0,548 820 018 768 310 546 875 000 000 000 000 000 000 000 000 081 473 811 618 201 6 × 2 = 1 + 0,097 640 037 536 621 093 750 000 000 000 000 000 000 000 000 162 947 623 236 403 2;
  • 44) 0,097 640 037 536 621 093 750 000 000 000 000 000 000 000 000 162 947 623 236 403 2 × 2 = 0 + 0,195 280 075 073 242 187 500 000 000 000 000 000 000 000 000 325 895 246 472 806 4;
  • 45) 0,195 280 075 073 242 187 500 000 000 000 000 000 000 000 000 325 895 246 472 806 4 × 2 = 0 + 0,390 560 150 146 484 375 000 000 000 000 000 000 000 000 000 651 790 492 945 612 8;
  • 46) 0,390 560 150 146 484 375 000 000 000 000 000 000 000 000 000 651 790 492 945 612 8 × 2 = 0 + 0,781 120 300 292 968 750 000 000 000 000 000 000 000 000 001 303 580 985 891 225 6;
  • 47) 0,781 120 300 292 968 750 000 000 000 000 000 000 000 000 001 303 580 985 891 225 6 × 2 = 1 + 0,562 240 600 585 937 500 000 000 000 000 000 000 000 000 002 607 161 971 782 451 2;
  • 48) 0,562 240 600 585 937 500 000 000 000 000 000 000 000 000 002 607 161 971 782 451 2 × 2 = 1 + 0,124 481 201 171 875 000 000 000 000 000 000 000 000 000 005 214 323 943 564 902 4;
  • 49) 0,124 481 201 171 875 000 000 000 000 000 000 000 000 000 005 214 323 943 564 902 4 × 2 = 0 + 0,248 962 402 343 750 000 000 000 000 000 000 000 000 000 010 428 647 887 129 804 8;
  • 50) 0,248 962 402 343 750 000 000 000 000 000 000 000 000 000 010 428 647 887 129 804 8 × 2 = 0 + 0,497 924 804 687 500 000 000 000 000 000 000 000 000 000 020 857 295 774 259 609 6;
  • 51) 0,497 924 804 687 500 000 000 000 000 000 000 000 000 000 020 857 295 774 259 609 6 × 2 = 0 + 0,995 849 609 375 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 041 714 591 548 519 219 2;
  • 52) 0,995 849 609 375 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 041 714 591 548 519 219 2 × 2 = 1 + 0,991 699 218 750 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 083 429 183 097 038 438 4;
  • 53) 0,991 699 218 750 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 083 429 183 097 038 438 4 × 2 = 1 + 0,983 398 437 500 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 166 858 366 194 076 876 8;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


4. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,590 015 632 769 688 822 922 664 328 540 776 068 621 198 646 724 224 090 576 190 4(10) =

0,1001 0111 0000 1011 0100 0011 1011 0110 1101 1111 1110 0011 0001 1(2)

5. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

9 007 199 254 740 996,590 015 632 769 688 822 922 664 328 540 776 068 621 198 646 724 224 090 576 190 4(10) =

10 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0100,1001 0111 0000 1011 0100 0011 1011 0110 1101 1111 1110 0011 0001 1(2)

6. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 53 poziții la stânga, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


9 007 199 254 740 996,590 015 632 769 688 822 922 664 328 540 776 068 621 198 646 724 224 090 576 190 4(10) =

10 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0100,1001 0111 0000 1011 0100 0011 1011 0110 1101 1111 1110 0011 0001 1(2) =

10 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0100,1001 0111 0000 1011 0100 0011 1011 0110 1101 1111 1110 0011 0001 1(2) × 20 =

1,0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0010 0100 1011 1000 0101 1010 0001 1101 1011 0110 1111 1111 0001 1000 11(2) × 253


7. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 0 (un număr pozitiv)

Exponent (neajustat): 53

Mantisă (nenormalizată):
1,0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0010 0100 1011 1000 0101 1010 0001 1101 1011 0110 1111 1111 0001 1000 11


8. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

53 + 2(11-1) - 1 =

(53 + 1 023)(10) =

1 076(10)


9. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 076 : 2 = 538 + 0;
  • 538 : 2 = 269 + 0;
  • 269 : 2 = 134 + 1;
  • 134 : 2 = 67 + 0;
  • 67 : 2 = 33 + 1;
  • 33 : 2 = 16 + 1;
  • 16 : 2 = 8 + 0;
  • 8 : 2 = 4 + 0;
  • 4 : 2 = 2 + 0;
  • 2 : 2 = 1 + 0;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

10. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1076(10) =

100 0011 0100(2)


11. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (dacă măcar unul din acești biți în exces e setat pe 1, se pierde din precizie...).


Mantisă (normalizată) =

1. 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0010 01 0010 1110 0001 0110 1000 0111 0110 1101 1011 1111 1100 0110 0011 =

0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0010


12. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
0 (un număr pozitiv)

Exponent (11 biți) =
100 0011 0100

Mantisă (52 biți) =
0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0010


Numărul zecimal 9 007 199 254 740 996,590 015 632 769 688 822 922 664 328 540 776 068 621 198 646 724 224 090 576 190 4 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

0 - 100 0011 0100 - 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0010

Distribuie

» Scriere 9 007 199 254 740 996,590 015 632 769 688 822 922 664 328 540 776 068 621 198 646 724 224 090 576 183 7 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 08, 2026 [August]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: August - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100