-0,000 000 001 57 scris ca binar pe 32 biți, precizie simplă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,000 000 001 57(10) din zecimal în binar pe 32 de biți, precizie simplă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 8 biți pentru exponent, 23 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,000 000 001 57(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 32 biți, precizie simplă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 8 biți pentru exponent, 23 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,000 000 001 57| = 0,000 000 001 57


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 000 001 57.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 000 001 57 × 2 = 0 + 0,000 000 003 14;
  • 2) 0,000 000 003 14 × 2 = 0 + 0,000 000 006 28;
  • 3) 0,000 000 006 28 × 2 = 0 + 0,000 000 012 56;
  • 4) 0,000 000 012 56 × 2 = 0 + 0,000 000 025 12;
  • 5) 0,000 000 025 12 × 2 = 0 + 0,000 000 050 24;
  • 6) 0,000 000 050 24 × 2 = 0 + 0,000 000 100 48;
  • 7) 0,000 000 100 48 × 2 = 0 + 0,000 000 200 96;
  • 8) 0,000 000 200 96 × 2 = 0 + 0,000 000 401 92;
  • 9) 0,000 000 401 92 × 2 = 0 + 0,000 000 803 84;
  • 10) 0,000 000 803 84 × 2 = 0 + 0,000 001 607 68;
  • 11) 0,000 001 607 68 × 2 = 0 + 0,000 003 215 36;
  • 12) 0,000 003 215 36 × 2 = 0 + 0,000 006 430 72;
  • 13) 0,000 006 430 72 × 2 = 0 + 0,000 012 861 44;
  • 14) 0,000 012 861 44 × 2 = 0 + 0,000 025 722 88;
  • 15) 0,000 025 722 88 × 2 = 0 + 0,000 051 445 76;
  • 16) 0,000 051 445 76 × 2 = 0 + 0,000 102 891 52;
  • 17) 0,000 102 891 52 × 2 = 0 + 0,000 205 783 04;
  • 18) 0,000 205 783 04 × 2 = 0 + 0,000 411 566 08;
  • 19) 0,000 411 566 08 × 2 = 0 + 0,000 823 132 16;
  • 20) 0,000 823 132 16 × 2 = 0 + 0,001 646 264 32;
  • 21) 0,001 646 264 32 × 2 = 0 + 0,003 292 528 64;
  • 22) 0,003 292 528 64 × 2 = 0 + 0,006 585 057 28;
  • 23) 0,006 585 057 28 × 2 = 0 + 0,013 170 114 56;
  • 24) 0,013 170 114 56 × 2 = 0 + 0,026 340 229 12;
  • 25) 0,026 340 229 12 × 2 = 0 + 0,052 680 458 24;
  • 26) 0,052 680 458 24 × 2 = 0 + 0,105 360 916 48;
  • 27) 0,105 360 916 48 × 2 = 0 + 0,210 721 832 96;
  • 28) 0,210 721 832 96 × 2 = 0 + 0,421 443 665 92;
  • 29) 0,421 443 665 92 × 2 = 0 + 0,842 887 331 84;
  • 30) 0,842 887 331 84 × 2 = 1 + 0,685 774 663 68;
  • 31) 0,685 774 663 68 × 2 = 1 + 0,371 549 327 36;
  • 32) 0,371 549 327 36 × 2 = 0 + 0,743 098 654 72;
  • 33) 0,743 098 654 72 × 2 = 1 + 0,486 197 309 44;
  • 34) 0,486 197 309 44 × 2 = 0 + 0,972 394 618 88;
  • 35) 0,972 394 618 88 × 2 = 1 + 0,944 789 237 76;
  • 36) 0,944 789 237 76 × 2 = 1 + 0,889 578 475 52;
  • 37) 0,889 578 475 52 × 2 = 1 + 0,779 156 951 04;
  • 38) 0,779 156 951 04 × 2 = 1 + 0,558 313 902 08;
  • 39) 0,558 313 902 08 × 2 = 1 + 0,116 627 804 16;
  • 40) 0,116 627 804 16 × 2 = 0 + 0,233 255 608 32;
  • 41) 0,233 255 608 32 × 2 = 0 + 0,466 511 216 64;
  • 42) 0,466 511 216 64 × 2 = 0 + 0,933 022 433 28;
  • 43) 0,933 022 433 28 × 2 = 1 + 0,866 044 866 56;
  • 44) 0,866 044 866 56 × 2 = 1 + 0,732 089 733 12;
  • 45) 0,732 089 733 12 × 2 = 1 + 0,464 179 466 24;
  • 46) 0,464 179 466 24 × 2 = 0 + 0,928 358 932 48;
  • 47) 0,928 358 932 48 × 2 = 1 + 0,856 717 864 96;
  • 48) 0,856 717 864 96 × 2 = 1 + 0,713 435 729 92;
  • 49) 0,713 435 729 92 × 2 = 1 + 0,426 871 459 84;
  • 50) 0,426 871 459 84 × 2 = 0 + 0,853 742 919 68;
  • 51) 0,853 742 919 68 × 2 = 1 + 0,707 485 839 36;
  • 52) 0,707 485 839 36 × 2 = 1 + 0,414 971 678 72;
  • 53) 0,414 971 678 72 × 2 = 0 + 0,829 943 357 44;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 000 001 57(10) =

0,0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0110 1011 1110 0011 1011 1011 0(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 000 001 57(10) =

0,0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0110 1011 1110 0011 1011 1011 0(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 30 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 000 001 57(10) =

0,0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0110 1011 1110 0011 1011 1011 0(2) =

0,0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0110 1011 1110 0011 1011 1011 0(2) × 20 =

1,1010 1111 1000 1110 1110 110(2) × 2-30


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie simplă (32 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -30

Mantisă (nenormalizată):
1,1010 1111 1000 1110 1110 110


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 8 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(8-1) - 1 =

-30 + 2(8-1) - 1 =

(-30 + 127)(10) =

97(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 8 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 97 : 2 = 48 + 1;
  • 48 : 2 = 24 + 0;
  • 24 : 2 = 12 + 0;
  • 12 : 2 = 6 + 0;
  • 6 : 2 = 3 + 0;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

97(10) =

0110 0001(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 23 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 101 0111 1100 0111 0111 0110 =

101 0111 1100 0111 0111 0110


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 32 de biți, precizie simplă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (8 biți) =
0110 0001

Mantisă (23 biți) =
101 0111 1100 0111 0111 0110


Numărul zecimal -0,000 000 001 57 scris în binar în representarea pe 32 biți, precizie simplă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 0110 0001 - 101 0111 1100 0111 0111 0110

Distribuie

» Scriere -0,000 000 001 18 din zecimal în binar în reprezentarea pe 32 biți, precizie simplă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 32 biți, precizie simplă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 05, 2026 [Mai]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 32 biți, precizie simplă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Mai - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie simplă pe 32 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie simplă pe 32 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit este negativ, se începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Se convertește întâi partea întreagă; împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor de mai sus, începând din partea de sus a listei construite (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții la stânga (sau, dacă e cazul, la dreapta) astfel încât partea întreagă a acestuia să mai conțină un singur bit, diferit de '0'.
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 8 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 8 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(8-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 23 biți, fie renunțând la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...) fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • 9. Semnul (ocupă 1 bit) este egal fie cu 1, dacă este un număr negativ, fie cu 0, dacă e un număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -25,347 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie simplă pe 32 de biți:

  • 1. Se începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-25,347| = 25,347;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 25. Împarte în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 25 : 2 = 12 + 1;
    • 12 : 2 = 6 + 0;
    • 6 : 2 = 3 + 0;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    25(10) = 1 1001(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,347. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,347 × 2 = 0 + 0,694;
    • 2) 0,694 × 2 = 1 + 0,388;
    • 3) 0,388 × 2 = 0 + 0,776;
    • 4) 0,776 × 2 = 1 + 0,552;
    • 5) 0,552 × 2 = 1 + 0,104;
    • 6) 0,104 × 2 = 0 + 0,208
    • 7) 0,208 × 2 = 0 + 0,416;
    • 8) 0,416 × 2 = 0 + 0,832;
    • 9) 0,832 × 2 = 1 + 0,664;
    • 10) 0,664 × 2 = 1 + 0,328;
    • 11) 0,328 × 2 = 0 + 0,656;
    • 12) 0,656 × 2 = 1 + 0,312;
    • 13) 0,312 × 2 = 0 + 0,624;
    • 14) 0,624 × 2 = 1 + 0,248;
    • 15) 0,248 × 2 = 0 + 0,496;
    • 16) 0,496 × 2 = 0 + 0,992;
    • 17) 0,992 × 2 = 1 + 0,984;
    • 18) 0,984 × 2 = 1 + 0,968;
    • 19) 0,968 × 2 = 1 + 0,936;
    • 20) 0,936 × 2 = 1 + 0,872;
    • 21) 0,872 × 2 = 1 + 0,744;
    • 22) 0,744 × 2 = 1 + 0,488;
    • 23) 0,488 × 2 = 0 + 0,976;
    • 24) 0,976 × 2 = 1 + 0,952;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 23) și a fost găsită prin calcule măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,347(10) = 0,0101 1000 1101 0100 1111 1101(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    25,347(10) = 1 1001,0101 1000 1101 0100 1111 1101(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    25,347(10) =
    1 1001,0101 1000 1101 0100 1111 1101(2) =
    1 1001,0101 1000 1101 0100 1111 1101(2) × 20 =
    1,1001 0101 1000 1101 0100 1111 1101(2) × 24

  • 8. Până în acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie simplă (32 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1001 0101 1000 1101 0100 1111 1101;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 8 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar (baza 2) pe 8 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus, ținând minte toate resturile, ce vor alcătui numărul în binar:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(8-1) - 1 = (4 + 127)(10) = 131(10) =
    1000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea la 23 biți, prin renunțarea la biții în exces, cei din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1001 0101 1000 1101 0100 1111 1101

    Mantisă (normalizată): 100 1010 1100 0110 1010 0111

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (un număr negativ)

    Exponent (8 biți) = 1000 0011

    Mantisă (23 biți) = 100 1010 1100 0110 1010 0111

  • Numărul -25,347 convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 32 de biți, precizie simplă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 1000 0011 - 100 1010 1100 0110 1010 0111