-0,000 000 000 000 000 000 016 7 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,000 000 000 000 000 000 016 7(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,000 000 000 000 000 000 016 7(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,000 000 000 000 000 000 016 7| = 0,000 000 000 000 000 000 016 7


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 000 000 000 000 000 016 7.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 000 000 000 000 000 016 7 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 000 033 4;
  • 2) 0,000 000 000 000 000 000 033 4 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 000 066 8;
  • 3) 0,000 000 000 000 000 000 066 8 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 000 133 6;
  • 4) 0,000 000 000 000 000 000 133 6 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 000 267 2;
  • 5) 0,000 000 000 000 000 000 267 2 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 000 534 4;
  • 6) 0,000 000 000 000 000 000 534 4 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 001 068 8;
  • 7) 0,000 000 000 000 000 001 068 8 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 002 137 6;
  • 8) 0,000 000 000 000 000 002 137 6 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 004 275 2;
  • 9) 0,000 000 000 000 000 004 275 2 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 008 550 4;
  • 10) 0,000 000 000 000 000 008 550 4 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 017 100 8;
  • 11) 0,000 000 000 000 000 017 100 8 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 034 201 6;
  • 12) 0,000 000 000 000 000 034 201 6 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 068 403 2;
  • 13) 0,000 000 000 000 000 068 403 2 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 136 806 4;
  • 14) 0,000 000 000 000 000 136 806 4 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 273 612 8;
  • 15) 0,000 000 000 000 000 273 612 8 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 547 225 6;
  • 16) 0,000 000 000 000 000 547 225 6 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 001 094 451 2;
  • 17) 0,000 000 000 000 001 094 451 2 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 002 188 902 4;
  • 18) 0,000 000 000 000 002 188 902 4 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 004 377 804 8;
  • 19) 0,000 000 000 000 004 377 804 8 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 008 755 609 6;
  • 20) 0,000 000 000 000 008 755 609 6 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 017 511 219 2;
  • 21) 0,000 000 000 000 017 511 219 2 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 035 022 438 4;
  • 22) 0,000 000 000 000 035 022 438 4 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 070 044 876 8;
  • 23) 0,000 000 000 000 070 044 876 8 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 140 089 753 6;
  • 24) 0,000 000 000 000 140 089 753 6 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 280 179 507 2;
  • 25) 0,000 000 000 000 280 179 507 2 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 560 359 014 4;
  • 26) 0,000 000 000 000 560 359 014 4 × 2 = 0 + 0,000 000 000 001 120 718 028 8;
  • 27) 0,000 000 000 001 120 718 028 8 × 2 = 0 + 0,000 000 000 002 241 436 057 6;
  • 28) 0,000 000 000 002 241 436 057 6 × 2 = 0 + 0,000 000 000 004 482 872 115 2;
  • 29) 0,000 000 000 004 482 872 115 2 × 2 = 0 + 0,000 000 000 008 965 744 230 4;
  • 30) 0,000 000 000 008 965 744 230 4 × 2 = 0 + 0,000 000 000 017 931 488 460 8;
  • 31) 0,000 000 000 017 931 488 460 8 × 2 = 0 + 0,000 000 000 035 862 976 921 6;
  • 32) 0,000 000 000 035 862 976 921 6 × 2 = 0 + 0,000 000 000 071 725 953 843 2;
  • 33) 0,000 000 000 071 725 953 843 2 × 2 = 0 + 0,000 000 000 143 451 907 686 4;
  • 34) 0,000 000 000 143 451 907 686 4 × 2 = 0 + 0,000 000 000 286 903 815 372 8;
  • 35) 0,000 000 000 286 903 815 372 8 × 2 = 0 + 0,000 000 000 573 807 630 745 6;
  • 36) 0,000 000 000 573 807 630 745 6 × 2 = 0 + 0,000 000 001 147 615 261 491 2;
  • 37) 0,000 000 001 147 615 261 491 2 × 2 = 0 + 0,000 000 002 295 230 522 982 4;
  • 38) 0,000 000 002 295 230 522 982 4 × 2 = 0 + 0,000 000 004 590 461 045 964 8;
  • 39) 0,000 000 004 590 461 045 964 8 × 2 = 0 + 0,000 000 009 180 922 091 929 6;
  • 40) 0,000 000 009 180 922 091 929 6 × 2 = 0 + 0,000 000 018 361 844 183 859 2;
  • 41) 0,000 000 018 361 844 183 859 2 × 2 = 0 + 0,000 000 036 723 688 367 718 4;
  • 42) 0,000 000 036 723 688 367 718 4 × 2 = 0 + 0,000 000 073 447 376 735 436 8;
  • 43) 0,000 000 073 447 376 735 436 8 × 2 = 0 + 0,000 000 146 894 753 470 873 6;
  • 44) 0,000 000 146 894 753 470 873 6 × 2 = 0 + 0,000 000 293 789 506 941 747 2;
  • 45) 0,000 000 293 789 506 941 747 2 × 2 = 0 + 0,000 000 587 579 013 883 494 4;
  • 46) 0,000 000 587 579 013 883 494 4 × 2 = 0 + 0,000 001 175 158 027 766 988 8;
  • 47) 0,000 001 175 158 027 766 988 8 × 2 = 0 + 0,000 002 350 316 055 533 977 6;
  • 48) 0,000 002 350 316 055 533 977 6 × 2 = 0 + 0,000 004 700 632 111 067 955 2;
  • 49) 0,000 004 700 632 111 067 955 2 × 2 = 0 + 0,000 009 401 264 222 135 910 4;
  • 50) 0,000 009 401 264 222 135 910 4 × 2 = 0 + 0,000 018 802 528 444 271 820 8;
  • 51) 0,000 018 802 528 444 271 820 8 × 2 = 0 + 0,000 037 605 056 888 543 641 6;
  • 52) 0,000 037 605 056 888 543 641 6 × 2 = 0 + 0,000 075 210 113 777 087 283 2;
  • 53) 0,000 075 210 113 777 087 283 2 × 2 = 0 + 0,000 150 420 227 554 174 566 4;
  • 54) 0,000 150 420 227 554 174 566 4 × 2 = 0 + 0,000 300 840 455 108 349 132 8;
  • 55) 0,000 300 840 455 108 349 132 8 × 2 = 0 + 0,000 601 680 910 216 698 265 6;
  • 56) 0,000 601 680 910 216 698 265 6 × 2 = 0 + 0,001 203 361 820 433 396 531 2;
  • 57) 0,001 203 361 820 433 396 531 2 × 2 = 0 + 0,002 406 723 640 866 793 062 4;
  • 58) 0,002 406 723 640 866 793 062 4 × 2 = 0 + 0,004 813 447 281 733 586 124 8;
  • 59) 0,004 813 447 281 733 586 124 8 × 2 = 0 + 0,009 626 894 563 467 172 249 6;
  • 60) 0,009 626 894 563 467 172 249 6 × 2 = 0 + 0,019 253 789 126 934 344 499 2;
  • 61) 0,019 253 789 126 934 344 499 2 × 2 = 0 + 0,038 507 578 253 868 688 998 4;
  • 62) 0,038 507 578 253 868 688 998 4 × 2 = 0 + 0,077 015 156 507 737 377 996 8;
  • 63) 0,077 015 156 507 737 377 996 8 × 2 = 0 + 0,154 030 313 015 474 755 993 6;
  • 64) 0,154 030 313 015 474 755 993 6 × 2 = 0 + 0,308 060 626 030 949 511 987 2;
  • 65) 0,308 060 626 030 949 511 987 2 × 2 = 0 + 0,616 121 252 061 899 023 974 4;
  • 66) 0,616 121 252 061 899 023 974 4 × 2 = 1 + 0,232 242 504 123 798 047 948 8;
  • 67) 0,232 242 504 123 798 047 948 8 × 2 = 0 + 0,464 485 008 247 596 095 897 6;
  • 68) 0,464 485 008 247 596 095 897 6 × 2 = 0 + 0,928 970 016 495 192 191 795 2;
  • 69) 0,928 970 016 495 192 191 795 2 × 2 = 1 + 0,857 940 032 990 384 383 590 4;
  • 70) 0,857 940 032 990 384 383 590 4 × 2 = 1 + 0,715 880 065 980 768 767 180 8;
  • 71) 0,715 880 065 980 768 767 180 8 × 2 = 1 + 0,431 760 131 961 537 534 361 6;
  • 72) 0,431 760 131 961 537 534 361 6 × 2 = 0 + 0,863 520 263 923 075 068 723 2;
  • 73) 0,863 520 263 923 075 068 723 2 × 2 = 1 + 0,727 040 527 846 150 137 446 4;
  • 74) 0,727 040 527 846 150 137 446 4 × 2 = 1 + 0,454 081 055 692 300 274 892 8;
  • 75) 0,454 081 055 692 300 274 892 8 × 2 = 0 + 0,908 162 111 384 600 549 785 6;
  • 76) 0,908 162 111 384 600 549 785 6 × 2 = 1 + 0,816 324 222 769 201 099 571 2;
  • 77) 0,816 324 222 769 201 099 571 2 × 2 = 1 + 0,632 648 445 538 402 199 142 4;
  • 78) 0,632 648 445 538 402 199 142 4 × 2 = 1 + 0,265 296 891 076 804 398 284 8;
  • 79) 0,265 296 891 076 804 398 284 8 × 2 = 0 + 0,530 593 782 153 608 796 569 6;
  • 80) 0,530 593 782 153 608 796 569 6 × 2 = 1 + 0,061 187 564 307 217 593 139 2;
  • 81) 0,061 187 564 307 217 593 139 2 × 2 = 0 + 0,122 375 128 614 435 186 278 4;
  • 82) 0,122 375 128 614 435 186 278 4 × 2 = 0 + 0,244 750 257 228 870 372 556 8;
  • 83) 0,244 750 257 228 870 372 556 8 × 2 = 0 + 0,489 500 514 457 740 745 113 6;
  • 84) 0,489 500 514 457 740 745 113 6 × 2 = 0 + 0,979 001 028 915 481 490 227 2;
  • 85) 0,979 001 028 915 481 490 227 2 × 2 = 1 + 0,958 002 057 830 962 980 454 4;
  • 86) 0,958 002 057 830 962 980 454 4 × 2 = 1 + 0,916 004 115 661 925 960 908 8;
  • 87) 0,916 004 115 661 925 960 908 8 × 2 = 1 + 0,832 008 231 323 851 921 817 6;
  • 88) 0,832 008 231 323 851 921 817 6 × 2 = 1 + 0,664 016 462 647 703 843 635 2;
  • 89) 0,664 016 462 647 703 843 635 2 × 2 = 1 + 0,328 032 925 295 407 687 270 4;
  • 90) 0,328 032 925 295 407 687 270 4 × 2 = 0 + 0,656 065 850 590 815 374 540 8;
  • 91) 0,656 065 850 590 815 374 540 8 × 2 = 1 + 0,312 131 701 181 630 749 081 6;
  • 92) 0,312 131 701 181 630 749 081 6 × 2 = 0 + 0,624 263 402 363 261 498 163 2;
  • 93) 0,624 263 402 363 261 498 163 2 × 2 = 1 + 0,248 526 804 726 522 996 326 4;
  • 94) 0,248 526 804 726 522 996 326 4 × 2 = 0 + 0,497 053 609 453 045 992 652 8;
  • 95) 0,497 053 609 453 045 992 652 8 × 2 = 0 + 0,994 107 218 906 091 985 305 6;
  • 96) 0,994 107 218 906 091 985 305 6 × 2 = 1 + 0,988 214 437 812 183 970 611 2;
  • 97) 0,988 214 437 812 183 970 611 2 × 2 = 1 + 0,976 428 875 624 367 941 222 4;
  • 98) 0,976 428 875 624 367 941 222 4 × 2 = 1 + 0,952 857 751 248 735 882 444 8;
  • 99) 0,952 857 751 248 735 882 444 8 × 2 = 1 + 0,905 715 502 497 471 764 889 6;
  • 100) 0,905 715 502 497 471 764 889 6 × 2 = 1 + 0,811 431 004 994 943 529 779 2;
  • 101) 0,811 431 004 994 943 529 779 2 × 2 = 1 + 0,622 862 009 989 887 059 558 4;
  • 102) 0,622 862 009 989 887 059 558 4 × 2 = 1 + 0,245 724 019 979 774 119 116 8;
  • 103) 0,245 724 019 979 774 119 116 8 × 2 = 0 + 0,491 448 039 959 548 238 233 6;
  • 104) 0,491 448 039 959 548 238 233 6 × 2 = 0 + 0,982 896 079 919 096 476 467 2;
  • 105) 0,982 896 079 919 096 476 467 2 × 2 = 1 + 0,965 792 159 838 192 952 934 4;
  • 106) 0,965 792 159 838 192 952 934 4 × 2 = 1 + 0,931 584 319 676 385 905 868 8;
  • 107) 0,931 584 319 676 385 905 868 8 × 2 = 1 + 0,863 168 639 352 771 811 737 6;
  • 108) 0,863 168 639 352 771 811 737 6 × 2 = 1 + 0,726 337 278 705 543 623 475 2;
  • 109) 0,726 337 278 705 543 623 475 2 × 2 = 1 + 0,452 674 557 411 087 246 950 4;
  • 110) 0,452 674 557 411 087 246 950 4 × 2 = 0 + 0,905 349 114 822 174 493 900 8;
  • 111) 0,905 349 114 822 174 493 900 8 × 2 = 1 + 0,810 698 229 644 348 987 801 6;
  • 112) 0,810 698 229 644 348 987 801 6 × 2 = 1 + 0,621 396 459 288 697 975 603 2;
  • 113) 0,621 396 459 288 697 975 603 2 × 2 = 1 + 0,242 792 918 577 395 951 206 4;
  • 114) 0,242 792 918 577 395 951 206 4 × 2 = 0 + 0,485 585 837 154 791 902 412 8;
  • 115) 0,485 585 837 154 791 902 412 8 × 2 = 0 + 0,971 171 674 309 583 804 825 6;
  • 116) 0,971 171 674 309 583 804 825 6 × 2 = 1 + 0,942 343 348 619 167 609 651 2;
  • 117) 0,942 343 348 619 167 609 651 2 × 2 = 1 + 0,884 686 697 238 335 219 302 4;
  • 118) 0,884 686 697 238 335 219 302 4 × 2 = 1 + 0,769 373 394 476 670 438 604 8;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 000 000 000 000 000 016 7(10) =

0,0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0100 1110 1101 1101 0000 1111 1010 1001 1111 1100 1111 1011 1001 11(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 000 000 000 000 000 016 7(10) =

0,0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0100 1110 1101 1101 0000 1111 1010 1001 1111 1100 1111 1011 1001 11(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 66 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 000 000 000 000 000 016 7(10) =

0,0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0100 1110 1101 1101 0000 1111 1010 1001 1111 1100 1111 1011 1001 11(2) =

0,0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0100 1110 1101 1101 0000 1111 1010 1001 1111 1100 1111 1011 1001 11(2) × 20 =

1,0011 1011 0111 0100 0011 1110 1010 0111 1111 0011 1110 1110 0111(2) × 2-66


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -66

Mantisă (nenormalizată):
1,0011 1011 0111 0100 0011 1110 1010 0111 1111 0011 1110 1110 0111


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-66 + 2(11-1) - 1 =

(-66 + 1 023)(10) =

957(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 957 : 2 = 478 + 1;
  • 478 : 2 = 239 + 0;
  • 239 : 2 = 119 + 1;
  • 119 : 2 = 59 + 1;
  • 59 : 2 = 29 + 1;
  • 29 : 2 = 14 + 1;
  • 14 : 2 = 7 + 0;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

957(10) =

011 1011 1101(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0011 1011 0111 0100 0011 1110 1010 0111 1111 0011 1110 1110 0111 =

0011 1011 0111 0100 0011 1110 1010 0111 1111 0011 1110 1110 0111


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1011 1101

Mantisă (52 biți) =
0011 1011 0111 0100 0011 1110 1010 0111 1111 0011 1110 1110 0111


Numărul zecimal -0,000 000 000 000 000 000 016 7 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1011 1101 - 0011 1011 0111 0100 0011 1110 1010 0111 1111 0011 1110 1110 0111

Distribuie

» Scriere -0,000 000 000 000 000 000 008 2 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 06, 2026 [Iunie]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Iunie - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100