-0,000 000 141 5 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,000 000 141 5(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,000 000 141 5(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,000 000 141 5| = 0,000 000 141 5


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 000 141 5.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 000 141 5 × 2 = 0 + 0,000 000 283;
  • 2) 0,000 000 283 × 2 = 0 + 0,000 000 566;
  • 3) 0,000 000 566 × 2 = 0 + 0,000 001 132;
  • 4) 0,000 001 132 × 2 = 0 + 0,000 002 264;
  • 5) 0,000 002 264 × 2 = 0 + 0,000 004 528;
  • 6) 0,000 004 528 × 2 = 0 + 0,000 009 056;
  • 7) 0,000 009 056 × 2 = 0 + 0,000 018 112;
  • 8) 0,000 018 112 × 2 = 0 + 0,000 036 224;
  • 9) 0,000 036 224 × 2 = 0 + 0,000 072 448;
  • 10) 0,000 072 448 × 2 = 0 + 0,000 144 896;
  • 11) 0,000 144 896 × 2 = 0 + 0,000 289 792;
  • 12) 0,000 289 792 × 2 = 0 + 0,000 579 584;
  • 13) 0,000 579 584 × 2 = 0 + 0,001 159 168;
  • 14) 0,001 159 168 × 2 = 0 + 0,002 318 336;
  • 15) 0,002 318 336 × 2 = 0 + 0,004 636 672;
  • 16) 0,004 636 672 × 2 = 0 + 0,009 273 344;
  • 17) 0,009 273 344 × 2 = 0 + 0,018 546 688;
  • 18) 0,018 546 688 × 2 = 0 + 0,037 093 376;
  • 19) 0,037 093 376 × 2 = 0 + 0,074 186 752;
  • 20) 0,074 186 752 × 2 = 0 + 0,148 373 504;
  • 21) 0,148 373 504 × 2 = 0 + 0,296 747 008;
  • 22) 0,296 747 008 × 2 = 0 + 0,593 494 016;
  • 23) 0,593 494 016 × 2 = 1 + 0,186 988 032;
  • 24) 0,186 988 032 × 2 = 0 + 0,373 976 064;
  • 25) 0,373 976 064 × 2 = 0 + 0,747 952 128;
  • 26) 0,747 952 128 × 2 = 1 + 0,495 904 256;
  • 27) 0,495 904 256 × 2 = 0 + 0,991 808 512;
  • 28) 0,991 808 512 × 2 = 1 + 0,983 617 024;
  • 29) 0,983 617 024 × 2 = 1 + 0,967 234 048;
  • 30) 0,967 234 048 × 2 = 1 + 0,934 468 096;
  • 31) 0,934 468 096 × 2 = 1 + 0,868 936 192;
  • 32) 0,868 936 192 × 2 = 1 + 0,737 872 384;
  • 33) 0,737 872 384 × 2 = 1 + 0,475 744 768;
  • 34) 0,475 744 768 × 2 = 0 + 0,951 489 536;
  • 35) 0,951 489 536 × 2 = 1 + 0,902 979 072;
  • 36) 0,902 979 072 × 2 = 1 + 0,805 958 144;
  • 37) 0,805 958 144 × 2 = 1 + 0,611 916 288;
  • 38) 0,611 916 288 × 2 = 1 + 0,223 832 576;
  • 39) 0,223 832 576 × 2 = 0 + 0,447 665 152;
  • 40) 0,447 665 152 × 2 = 0 + 0,895 330 304;
  • 41) 0,895 330 304 × 2 = 1 + 0,790 660 608;
  • 42) 0,790 660 608 × 2 = 1 + 0,581 321 216;
  • 43) 0,581 321 216 × 2 = 1 + 0,162 642 432;
  • 44) 0,162 642 432 × 2 = 0 + 0,325 284 864;
  • 45) 0,325 284 864 × 2 = 0 + 0,650 569 728;
  • 46) 0,650 569 728 × 2 = 1 + 0,301 139 456;
  • 47) 0,301 139 456 × 2 = 0 + 0,602 278 912;
  • 48) 0,602 278 912 × 2 = 1 + 0,204 557 824;
  • 49) 0,204 557 824 × 2 = 0 + 0,409 115 648;
  • 50) 0,409 115 648 × 2 = 0 + 0,818 231 296;
  • 51) 0,818 231 296 × 2 = 1 + 0,636 462 592;
  • 52) 0,636 462 592 × 2 = 1 + 0,272 925 184;
  • 53) 0,272 925 184 × 2 = 0 + 0,545 850 368;
  • 54) 0,545 850 368 × 2 = 1 + 0,091 700 736;
  • 55) 0,091 700 736 × 2 = 0 + 0,183 401 472;
  • 56) 0,183 401 472 × 2 = 0 + 0,366 802 944;
  • 57) 0,366 802 944 × 2 = 0 + 0,733 605 888;
  • 58) 0,733 605 888 × 2 = 1 + 0,467 211 776;
  • 59) 0,467 211 776 × 2 = 0 + 0,934 423 552;
  • 60) 0,934 423 552 × 2 = 1 + 0,868 847 104;
  • 61) 0,868 847 104 × 2 = 1 + 0,737 694 208;
  • 62) 0,737 694 208 × 2 = 1 + 0,475 388 416;
  • 63) 0,475 388 416 × 2 = 0 + 0,950 776 832;
  • 64) 0,950 776 832 × 2 = 1 + 0,901 553 664;
  • 65) 0,901 553 664 × 2 = 1 + 0,803 107 328;
  • 66) 0,803 107 328 × 2 = 1 + 0,606 214 656;
  • 67) 0,606 214 656 × 2 = 1 + 0,212 429 312;
  • 68) 0,212 429 312 × 2 = 0 + 0,424 858 624;
  • 69) 0,424 858 624 × 2 = 0 + 0,849 717 248;
  • 70) 0,849 717 248 × 2 = 1 + 0,699 434 496;
  • 71) 0,699 434 496 × 2 = 1 + 0,398 868 992;
  • 72) 0,398 868 992 × 2 = 0 + 0,797 737 984;
  • 73) 0,797 737 984 × 2 = 1 + 0,595 475 968;
  • 74) 0,595 475 968 × 2 = 1 + 0,190 951 936;
  • 75) 0,190 951 936 × 2 = 0 + 0,381 903 872;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 000 141 5(10) =

0,0000 0000 0000 0000 0000 0010 0101 1111 1011 1100 1110 0101 0011 0100 0101 1101 1110 0110 110(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 000 141 5(10) =

0,0000 0000 0000 0000 0000 0010 0101 1111 1011 1100 1110 0101 0011 0100 0101 1101 1110 0110 110(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 23 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 000 141 5(10) =

0,0000 0000 0000 0000 0000 0010 0101 1111 1011 1100 1110 0101 0011 0100 0101 1101 1110 0110 110(2) =

0,0000 0000 0000 0000 0000 0010 0101 1111 1011 1100 1110 0101 0011 0100 0101 1101 1110 0110 110(2) × 20 =

1,0010 1111 1101 1110 0111 0010 1001 1010 0010 1110 1111 0011 0110(2) × 2-23


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -23

Mantisă (nenormalizată):
1,0010 1111 1101 1110 0111 0010 1001 1010 0010 1110 1111 0011 0110


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-23 + 2(11-1) - 1 =

(-23 + 1 023)(10) =

1 000(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 000 : 2 = 500 + 0;
  • 500 : 2 = 250 + 0;
  • 250 : 2 = 125 + 0;
  • 125 : 2 = 62 + 1;
  • 62 : 2 = 31 + 0;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1000(10) =

011 1110 1000(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0010 1111 1101 1110 0111 0010 1001 1010 0010 1110 1111 0011 0110 =

0010 1111 1101 1110 0111 0010 1001 1010 0010 1110 1111 0011 0110


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1110 1000

Mantisă (52 biți) =
0010 1111 1101 1110 0111 0010 1001 1010 0010 1110 1111 0011 0110


Numărul zecimal -0,000 000 141 5 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1110 1000 - 0010 1111 1101 1110 0111 0010 1001 1010 0010 1110 1111 0011 0110

Distribuie

» Scriere -0,000 000 144 1 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 09, 2026 [Septembrie]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Septembrie - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100