-0,000 000 144 1 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,000 000 144 1(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,000 000 144 1(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,000 000 144 1| = 0,000 000 144 1


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 000 144 1.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 000 144 1 × 2 = 0 + 0,000 000 288 2;
  • 2) 0,000 000 288 2 × 2 = 0 + 0,000 000 576 4;
  • 3) 0,000 000 576 4 × 2 = 0 + 0,000 001 152 8;
  • 4) 0,000 001 152 8 × 2 = 0 + 0,000 002 305 6;
  • 5) 0,000 002 305 6 × 2 = 0 + 0,000 004 611 2;
  • 6) 0,000 004 611 2 × 2 = 0 + 0,000 009 222 4;
  • 7) 0,000 009 222 4 × 2 = 0 + 0,000 018 444 8;
  • 8) 0,000 018 444 8 × 2 = 0 + 0,000 036 889 6;
  • 9) 0,000 036 889 6 × 2 = 0 + 0,000 073 779 2;
  • 10) 0,000 073 779 2 × 2 = 0 + 0,000 147 558 4;
  • 11) 0,000 147 558 4 × 2 = 0 + 0,000 295 116 8;
  • 12) 0,000 295 116 8 × 2 = 0 + 0,000 590 233 6;
  • 13) 0,000 590 233 6 × 2 = 0 + 0,001 180 467 2;
  • 14) 0,001 180 467 2 × 2 = 0 + 0,002 360 934 4;
  • 15) 0,002 360 934 4 × 2 = 0 + 0,004 721 868 8;
  • 16) 0,004 721 868 8 × 2 = 0 + 0,009 443 737 6;
  • 17) 0,009 443 737 6 × 2 = 0 + 0,018 887 475 2;
  • 18) 0,018 887 475 2 × 2 = 0 + 0,037 774 950 4;
  • 19) 0,037 774 950 4 × 2 = 0 + 0,075 549 900 8;
  • 20) 0,075 549 900 8 × 2 = 0 + 0,151 099 801 6;
  • 21) 0,151 099 801 6 × 2 = 0 + 0,302 199 603 2;
  • 22) 0,302 199 603 2 × 2 = 0 + 0,604 399 206 4;
  • 23) 0,604 399 206 4 × 2 = 1 + 0,208 798 412 8;
  • 24) 0,208 798 412 8 × 2 = 0 + 0,417 596 825 6;
  • 25) 0,417 596 825 6 × 2 = 0 + 0,835 193 651 2;
  • 26) 0,835 193 651 2 × 2 = 1 + 0,670 387 302 4;
  • 27) 0,670 387 302 4 × 2 = 1 + 0,340 774 604 8;
  • 28) 0,340 774 604 8 × 2 = 0 + 0,681 549 209 6;
  • 29) 0,681 549 209 6 × 2 = 1 + 0,363 098 419 2;
  • 30) 0,363 098 419 2 × 2 = 0 + 0,726 196 838 4;
  • 31) 0,726 196 838 4 × 2 = 1 + 0,452 393 676 8;
  • 32) 0,452 393 676 8 × 2 = 0 + 0,904 787 353 6;
  • 33) 0,904 787 353 6 × 2 = 1 + 0,809 574 707 2;
  • 34) 0,809 574 707 2 × 2 = 1 + 0,619 149 414 4;
  • 35) 0,619 149 414 4 × 2 = 1 + 0,238 298 828 8;
  • 36) 0,238 298 828 8 × 2 = 0 + 0,476 597 657 6;
  • 37) 0,476 597 657 6 × 2 = 0 + 0,953 195 315 2;
  • 38) 0,953 195 315 2 × 2 = 1 + 0,906 390 630 4;
  • 39) 0,906 390 630 4 × 2 = 1 + 0,812 781 260 8;
  • 40) 0,812 781 260 8 × 2 = 1 + 0,625 562 521 6;
  • 41) 0,625 562 521 6 × 2 = 1 + 0,251 125 043 2;
  • 42) 0,251 125 043 2 × 2 = 0 + 0,502 250 086 4;
  • 43) 0,502 250 086 4 × 2 = 1 + 0,004 500 172 8;
  • 44) 0,004 500 172 8 × 2 = 0 + 0,009 000 345 6;
  • 45) 0,009 000 345 6 × 2 = 0 + 0,018 000 691 2;
  • 46) 0,018 000 691 2 × 2 = 0 + 0,036 001 382 4;
  • 47) 0,036 001 382 4 × 2 = 0 + 0,072 002 764 8;
  • 48) 0,072 002 764 8 × 2 = 0 + 0,144 005 529 6;
  • 49) 0,144 005 529 6 × 2 = 0 + 0,288 011 059 2;
  • 50) 0,288 011 059 2 × 2 = 0 + 0,576 022 118 4;
  • 51) 0,576 022 118 4 × 2 = 1 + 0,152 044 236 8;
  • 52) 0,152 044 236 8 × 2 = 0 + 0,304 088 473 6;
  • 53) 0,304 088 473 6 × 2 = 0 + 0,608 176 947 2;
  • 54) 0,608 176 947 2 × 2 = 1 + 0,216 353 894 4;
  • 55) 0,216 353 894 4 × 2 = 0 + 0,432 707 788 8;
  • 56) 0,432 707 788 8 × 2 = 0 + 0,865 415 577 6;
  • 57) 0,865 415 577 6 × 2 = 1 + 0,730 831 155 2;
  • 58) 0,730 831 155 2 × 2 = 1 + 0,461 662 310 4;
  • 59) 0,461 662 310 4 × 2 = 0 + 0,923 324 620 8;
  • 60) 0,923 324 620 8 × 2 = 1 + 0,846 649 241 6;
  • 61) 0,846 649 241 6 × 2 = 1 + 0,693 298 483 2;
  • 62) 0,693 298 483 2 × 2 = 1 + 0,386 596 966 4;
  • 63) 0,386 596 966 4 × 2 = 0 + 0,773 193 932 8;
  • 64) 0,773 193 932 8 × 2 = 1 + 0,546 387 865 6;
  • 65) 0,546 387 865 6 × 2 = 1 + 0,092 775 731 2;
  • 66) 0,092 775 731 2 × 2 = 0 + 0,185 551 462 4;
  • 67) 0,185 551 462 4 × 2 = 0 + 0,371 102 924 8;
  • 68) 0,371 102 924 8 × 2 = 0 + 0,742 205 849 6;
  • 69) 0,742 205 849 6 × 2 = 1 + 0,484 411 699 2;
  • 70) 0,484 411 699 2 × 2 = 0 + 0,968 823 398 4;
  • 71) 0,968 823 398 4 × 2 = 1 + 0,937 646 796 8;
  • 72) 0,937 646 796 8 × 2 = 1 + 0,875 293 593 6;
  • 73) 0,875 293 593 6 × 2 = 1 + 0,750 587 187 2;
  • 74) 0,750 587 187 2 × 2 = 1 + 0,501 174 374 4;
  • 75) 0,501 174 374 4 × 2 = 1 + 0,002 348 748 8;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 000 144 1(10) =

0,0000 0000 0000 0000 0000 0010 0110 1010 1110 0111 1010 0000 0010 0100 1101 1101 1000 1011 111(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 000 144 1(10) =

0,0000 0000 0000 0000 0000 0010 0110 1010 1110 0111 1010 0000 0010 0100 1101 1101 1000 1011 111(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 23 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 000 144 1(10) =

0,0000 0000 0000 0000 0000 0010 0110 1010 1110 0111 1010 0000 0010 0100 1101 1101 1000 1011 111(2) =

0,0000 0000 0000 0000 0000 0010 0110 1010 1110 0111 1010 0000 0010 0100 1101 1101 1000 1011 111(2) × 20 =

1,0011 0101 0111 0011 1101 0000 0001 0010 0110 1110 1100 0101 1111(2) × 2-23


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -23

Mantisă (nenormalizată):
1,0011 0101 0111 0011 1101 0000 0001 0010 0110 1110 1100 0101 1111


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-23 + 2(11-1) - 1 =

(-23 + 1 023)(10) =

1 000(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 000 : 2 = 500 + 0;
  • 500 : 2 = 250 + 0;
  • 250 : 2 = 125 + 0;
  • 125 : 2 = 62 + 1;
  • 62 : 2 = 31 + 0;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1000(10) =

011 1110 1000(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0011 0101 0111 0011 1101 0000 0001 0010 0110 1110 1100 0101 1111 =

0011 0101 0111 0011 1101 0000 0001 0010 0110 1110 1100 0101 1111


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1110 1000

Mantisă (52 biți) =
0011 0101 0111 0011 1101 0000 0001 0010 0110 1110 1100 0101 1111


Numărul zecimal -0,000 000 144 1 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1110 1000 - 0011 0101 0111 0011 1101 0000 0001 0010 0110 1110 1100 0101 1111

Distribuie

» Scriere -0,000 000 137 4 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 09, 2026 [Septembrie]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Septembrie - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100