-0,000 003 304 1 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,000 003 304 1(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,000 003 304 1(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,000 003 304 1| = 0,000 003 304 1


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 003 304 1.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 003 304 1 × 2 = 0 + 0,000 006 608 2;
  • 2) 0,000 006 608 2 × 2 = 0 + 0,000 013 216 4;
  • 3) 0,000 013 216 4 × 2 = 0 + 0,000 026 432 8;
  • 4) 0,000 026 432 8 × 2 = 0 + 0,000 052 865 6;
  • 5) 0,000 052 865 6 × 2 = 0 + 0,000 105 731 2;
  • 6) 0,000 105 731 2 × 2 = 0 + 0,000 211 462 4;
  • 7) 0,000 211 462 4 × 2 = 0 + 0,000 422 924 8;
  • 8) 0,000 422 924 8 × 2 = 0 + 0,000 845 849 6;
  • 9) 0,000 845 849 6 × 2 = 0 + 0,001 691 699 2;
  • 10) 0,001 691 699 2 × 2 = 0 + 0,003 383 398 4;
  • 11) 0,003 383 398 4 × 2 = 0 + 0,006 766 796 8;
  • 12) 0,006 766 796 8 × 2 = 0 + 0,013 533 593 6;
  • 13) 0,013 533 593 6 × 2 = 0 + 0,027 067 187 2;
  • 14) 0,027 067 187 2 × 2 = 0 + 0,054 134 374 4;
  • 15) 0,054 134 374 4 × 2 = 0 + 0,108 268 748 8;
  • 16) 0,108 268 748 8 × 2 = 0 + 0,216 537 497 6;
  • 17) 0,216 537 497 6 × 2 = 0 + 0,433 074 995 2;
  • 18) 0,433 074 995 2 × 2 = 0 + 0,866 149 990 4;
  • 19) 0,866 149 990 4 × 2 = 1 + 0,732 299 980 8;
  • 20) 0,732 299 980 8 × 2 = 1 + 0,464 599 961 6;
  • 21) 0,464 599 961 6 × 2 = 0 + 0,929 199 923 2;
  • 22) 0,929 199 923 2 × 2 = 1 + 0,858 399 846 4;
  • 23) 0,858 399 846 4 × 2 = 1 + 0,716 799 692 8;
  • 24) 0,716 799 692 8 × 2 = 1 + 0,433 599 385 6;
  • 25) 0,433 599 385 6 × 2 = 0 + 0,867 198 771 2;
  • 26) 0,867 198 771 2 × 2 = 1 + 0,734 397 542 4;
  • 27) 0,734 397 542 4 × 2 = 1 + 0,468 795 084 8;
  • 28) 0,468 795 084 8 × 2 = 0 + 0,937 590 169 6;
  • 29) 0,937 590 169 6 × 2 = 1 + 0,875 180 339 2;
  • 30) 0,875 180 339 2 × 2 = 1 + 0,750 360 678 4;
  • 31) 0,750 360 678 4 × 2 = 1 + 0,500 721 356 8;
  • 32) 0,500 721 356 8 × 2 = 1 + 0,001 442 713 6;
  • 33) 0,001 442 713 6 × 2 = 0 + 0,002 885 427 2;
  • 34) 0,002 885 427 2 × 2 = 0 + 0,005 770 854 4;
  • 35) 0,005 770 854 4 × 2 = 0 + 0,011 541 708 8;
  • 36) 0,011 541 708 8 × 2 = 0 + 0,023 083 417 6;
  • 37) 0,023 083 417 6 × 2 = 0 + 0,046 166 835 2;
  • 38) 0,046 166 835 2 × 2 = 0 + 0,092 333 670 4;
  • 39) 0,092 333 670 4 × 2 = 0 + 0,184 667 340 8;
  • 40) 0,184 667 340 8 × 2 = 0 + 0,369 334 681 6;
  • 41) 0,369 334 681 6 × 2 = 0 + 0,738 669 363 2;
  • 42) 0,738 669 363 2 × 2 = 1 + 0,477 338 726 4;
  • 43) 0,477 338 726 4 × 2 = 0 + 0,954 677 452 8;
  • 44) 0,954 677 452 8 × 2 = 1 + 0,909 354 905 6;
  • 45) 0,909 354 905 6 × 2 = 1 + 0,818 709 811 2;
  • 46) 0,818 709 811 2 × 2 = 1 + 0,637 419 622 4;
  • 47) 0,637 419 622 4 × 2 = 1 + 0,274 839 244 8;
  • 48) 0,274 839 244 8 × 2 = 0 + 0,549 678 489 6;
  • 49) 0,549 678 489 6 × 2 = 1 + 0,099 356 979 2;
  • 50) 0,099 356 979 2 × 2 = 0 + 0,198 713 958 4;
  • 51) 0,198 713 958 4 × 2 = 0 + 0,397 427 916 8;
  • 52) 0,397 427 916 8 × 2 = 0 + 0,794 855 833 6;
  • 53) 0,794 855 833 6 × 2 = 1 + 0,589 711 667 2;
  • 54) 0,589 711 667 2 × 2 = 1 + 0,179 423 334 4;
  • 55) 0,179 423 334 4 × 2 = 0 + 0,358 846 668 8;
  • 56) 0,358 846 668 8 × 2 = 0 + 0,717 693 337 6;
  • 57) 0,717 693 337 6 × 2 = 1 + 0,435 386 675 2;
  • 58) 0,435 386 675 2 × 2 = 0 + 0,870 773 350 4;
  • 59) 0,870 773 350 4 × 2 = 1 + 0,741 546 700 8;
  • 60) 0,741 546 700 8 × 2 = 1 + 0,483 093 401 6;
  • 61) 0,483 093 401 6 × 2 = 0 + 0,966 186 803 2;
  • 62) 0,966 186 803 2 × 2 = 1 + 0,932 373 606 4;
  • 63) 0,932 373 606 4 × 2 = 1 + 0,864 747 212 8;
  • 64) 0,864 747 212 8 × 2 = 1 + 0,729 494 425 6;
  • 65) 0,729 494 425 6 × 2 = 1 + 0,458 988 851 2;
  • 66) 0,458 988 851 2 × 2 = 0 + 0,917 977 702 4;
  • 67) 0,917 977 702 4 × 2 = 1 + 0,835 955 404 8;
  • 68) 0,835 955 404 8 × 2 = 1 + 0,671 910 809 6;
  • 69) 0,671 910 809 6 × 2 = 1 + 0,343 821 619 2;
  • 70) 0,343 821 619 2 × 2 = 0 + 0,687 643 238 4;
  • 71) 0,687 643 238 4 × 2 = 1 + 0,375 286 476 8;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 003 304 1(10) =

0,0000 0000 0000 0000 0011 0111 0110 1111 0000 0000 0101 1110 1000 1100 1011 0111 1011 101(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 003 304 1(10) =

0,0000 0000 0000 0000 0011 0111 0110 1111 0000 0000 0101 1110 1000 1100 1011 0111 1011 101(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 19 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 003 304 1(10) =

0,0000 0000 0000 0000 0011 0111 0110 1111 0000 0000 0101 1110 1000 1100 1011 0111 1011 101(2) =

0,0000 0000 0000 0000 0011 0111 0110 1111 0000 0000 0101 1110 1000 1100 1011 0111 1011 101(2) × 20 =

1,1011 1011 0111 1000 0000 0010 1111 0100 0110 0101 1011 1101 1101(2) × 2-19


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -19

Mantisă (nenormalizată):
1,1011 1011 0111 1000 0000 0010 1111 0100 0110 0101 1011 1101 1101


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-19 + 2(11-1) - 1 =

(-19 + 1 023)(10) =

1 004(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 004 : 2 = 502 + 0;
  • 502 : 2 = 251 + 0;
  • 251 : 2 = 125 + 1;
  • 125 : 2 = 62 + 1;
  • 62 : 2 = 31 + 0;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1004(10) =

011 1110 1100(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 1011 1011 0111 1000 0000 0010 1111 0100 0110 0101 1011 1101 1101 =

1011 1011 0111 1000 0000 0010 1111 0100 0110 0101 1011 1101 1101


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1110 1100

Mantisă (52 biți) =
1011 1011 0111 1000 0000 0010 1111 0100 0110 0101 1011 1101 1101


Numărul zecimal -0,000 003 304 1 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1110 1100 - 1011 1011 0111 1000 0000 0010 1111 0100 0110 0101 1011 1101 1101

Distribuie

» Scriere -0,000 003 300 5 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 04, 2026 [Aprilie]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Aprilie - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100