-0,000 003 313 3 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,000 003 313 3(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,000 003 313 3(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,000 003 313 3| = 0,000 003 313 3


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 003 313 3.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 003 313 3 × 2 = 0 + 0,000 006 626 6;
  • 2) 0,000 006 626 6 × 2 = 0 + 0,000 013 253 2;
  • 3) 0,000 013 253 2 × 2 = 0 + 0,000 026 506 4;
  • 4) 0,000 026 506 4 × 2 = 0 + 0,000 053 012 8;
  • 5) 0,000 053 012 8 × 2 = 0 + 0,000 106 025 6;
  • 6) 0,000 106 025 6 × 2 = 0 + 0,000 212 051 2;
  • 7) 0,000 212 051 2 × 2 = 0 + 0,000 424 102 4;
  • 8) 0,000 424 102 4 × 2 = 0 + 0,000 848 204 8;
  • 9) 0,000 848 204 8 × 2 = 0 + 0,001 696 409 6;
  • 10) 0,001 696 409 6 × 2 = 0 + 0,003 392 819 2;
  • 11) 0,003 392 819 2 × 2 = 0 + 0,006 785 638 4;
  • 12) 0,006 785 638 4 × 2 = 0 + 0,013 571 276 8;
  • 13) 0,013 571 276 8 × 2 = 0 + 0,027 142 553 6;
  • 14) 0,027 142 553 6 × 2 = 0 + 0,054 285 107 2;
  • 15) 0,054 285 107 2 × 2 = 0 + 0,108 570 214 4;
  • 16) 0,108 570 214 4 × 2 = 0 + 0,217 140 428 8;
  • 17) 0,217 140 428 8 × 2 = 0 + 0,434 280 857 6;
  • 18) 0,434 280 857 6 × 2 = 0 + 0,868 561 715 2;
  • 19) 0,868 561 715 2 × 2 = 1 + 0,737 123 430 4;
  • 20) 0,737 123 430 4 × 2 = 1 + 0,474 246 860 8;
  • 21) 0,474 246 860 8 × 2 = 0 + 0,948 493 721 6;
  • 22) 0,948 493 721 6 × 2 = 1 + 0,896 987 443 2;
  • 23) 0,896 987 443 2 × 2 = 1 + 0,793 974 886 4;
  • 24) 0,793 974 886 4 × 2 = 1 + 0,587 949 772 8;
  • 25) 0,587 949 772 8 × 2 = 1 + 0,175 899 545 6;
  • 26) 0,175 899 545 6 × 2 = 0 + 0,351 799 091 2;
  • 27) 0,351 799 091 2 × 2 = 0 + 0,703 598 182 4;
  • 28) 0,703 598 182 4 × 2 = 1 + 0,407 196 364 8;
  • 29) 0,407 196 364 8 × 2 = 0 + 0,814 392 729 6;
  • 30) 0,814 392 729 6 × 2 = 1 + 0,628 785 459 2;
  • 31) 0,628 785 459 2 × 2 = 1 + 0,257 570 918 4;
  • 32) 0,257 570 918 4 × 2 = 0 + 0,515 141 836 8;
  • 33) 0,515 141 836 8 × 2 = 1 + 0,030 283 673 6;
  • 34) 0,030 283 673 6 × 2 = 0 + 0,060 567 347 2;
  • 35) 0,060 567 347 2 × 2 = 0 + 0,121 134 694 4;
  • 36) 0,121 134 694 4 × 2 = 0 + 0,242 269 388 8;
  • 37) 0,242 269 388 8 × 2 = 0 + 0,484 538 777 6;
  • 38) 0,484 538 777 6 × 2 = 0 + 0,969 077 555 2;
  • 39) 0,969 077 555 2 × 2 = 1 + 0,938 155 110 4;
  • 40) 0,938 155 110 4 × 2 = 1 + 0,876 310 220 8;
  • 41) 0,876 310 220 8 × 2 = 1 + 0,752 620 441 6;
  • 42) 0,752 620 441 6 × 2 = 1 + 0,505 240 883 2;
  • 43) 0,505 240 883 2 × 2 = 1 + 0,010 481 766 4;
  • 44) 0,010 481 766 4 × 2 = 0 + 0,020 963 532 8;
  • 45) 0,020 963 532 8 × 2 = 0 + 0,041 927 065 6;
  • 46) 0,041 927 065 6 × 2 = 0 + 0,083 854 131 2;
  • 47) 0,083 854 131 2 × 2 = 0 + 0,167 708 262 4;
  • 48) 0,167 708 262 4 × 2 = 0 + 0,335 416 524 8;
  • 49) 0,335 416 524 8 × 2 = 0 + 0,670 833 049 6;
  • 50) 0,670 833 049 6 × 2 = 1 + 0,341 666 099 2;
  • 51) 0,341 666 099 2 × 2 = 0 + 0,683 332 198 4;
  • 52) 0,683 332 198 4 × 2 = 1 + 0,366 664 396 8;
  • 53) 0,366 664 396 8 × 2 = 0 + 0,733 328 793 6;
  • 54) 0,733 328 793 6 × 2 = 1 + 0,466 657 587 2;
  • 55) 0,466 657 587 2 × 2 = 0 + 0,933 315 174 4;
  • 56) 0,933 315 174 4 × 2 = 1 + 0,866 630 348 8;
  • 57) 0,866 630 348 8 × 2 = 1 + 0,733 260 697 6;
  • 58) 0,733 260 697 6 × 2 = 1 + 0,466 521 395 2;
  • 59) 0,466 521 395 2 × 2 = 0 + 0,933 042 790 4;
  • 60) 0,933 042 790 4 × 2 = 1 + 0,866 085 580 8;
  • 61) 0,866 085 580 8 × 2 = 1 + 0,732 171 161 6;
  • 62) 0,732 171 161 6 × 2 = 1 + 0,464 342 323 2;
  • 63) 0,464 342 323 2 × 2 = 0 + 0,928 684 646 4;
  • 64) 0,928 684 646 4 × 2 = 1 + 0,857 369 292 8;
  • 65) 0,857 369 292 8 × 2 = 1 + 0,714 738 585 6;
  • 66) 0,714 738 585 6 × 2 = 1 + 0,429 477 171 2;
  • 67) 0,429 477 171 2 × 2 = 0 + 0,858 954 342 4;
  • 68) 0,858 954 342 4 × 2 = 1 + 0,717 908 684 8;
  • 69) 0,717 908 684 8 × 2 = 1 + 0,435 817 369 6;
  • 70) 0,435 817 369 6 × 2 = 0 + 0,871 634 739 2;
  • 71) 0,871 634 739 2 × 2 = 1 + 0,743 269 478 4;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 003 313 3(10) =

0,0000 0000 0000 0000 0011 0111 1001 0110 1000 0011 1110 0000 0101 0101 1101 1101 1101 101(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 003 313 3(10) =

0,0000 0000 0000 0000 0011 0111 1001 0110 1000 0011 1110 0000 0101 0101 1101 1101 1101 101(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 19 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 003 313 3(10) =

0,0000 0000 0000 0000 0011 0111 1001 0110 1000 0011 1110 0000 0101 0101 1101 1101 1101 101(2) =

0,0000 0000 0000 0000 0011 0111 1001 0110 1000 0011 1110 0000 0101 0101 1101 1101 1101 101(2) × 20 =

1,1011 1100 1011 0100 0001 1111 0000 0010 1010 1110 1110 1110 1101(2) × 2-19


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -19

Mantisă (nenormalizată):
1,1011 1100 1011 0100 0001 1111 0000 0010 1010 1110 1110 1110 1101


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-19 + 2(11-1) - 1 =

(-19 + 1 023)(10) =

1 004(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 004 : 2 = 502 + 0;
  • 502 : 2 = 251 + 0;
  • 251 : 2 = 125 + 1;
  • 125 : 2 = 62 + 1;
  • 62 : 2 = 31 + 0;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1004(10) =

011 1110 1100(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 1011 1100 1011 0100 0001 1111 0000 0010 1010 1110 1110 1110 1101 =

1011 1100 1011 0100 0001 1111 0000 0010 1010 1110 1110 1110 1101


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1110 1100

Mantisă (52 biți) =
1011 1100 1011 0100 0001 1111 0000 0010 1010 1110 1110 1110 1101


Numărul zecimal -0,000 003 313 3 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1110 1100 - 1011 1100 1011 0100 0001 1111 0000 0010 1010 1110 1110 1110 1101

Distribuie

» Scriere -0,000 003 306 4 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 05, 2026 [Mai]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Mai - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100