-0,000 005 88 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,000 005 88(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,000 005 88(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,000 005 88| = 0,000 005 88


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 005 88.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 005 88 × 2 = 0 + 0,000 011 76;
  • 2) 0,000 011 76 × 2 = 0 + 0,000 023 52;
  • 3) 0,000 023 52 × 2 = 0 + 0,000 047 04;
  • 4) 0,000 047 04 × 2 = 0 + 0,000 094 08;
  • 5) 0,000 094 08 × 2 = 0 + 0,000 188 16;
  • 6) 0,000 188 16 × 2 = 0 + 0,000 376 32;
  • 7) 0,000 376 32 × 2 = 0 + 0,000 752 64;
  • 8) 0,000 752 64 × 2 = 0 + 0,001 505 28;
  • 9) 0,001 505 28 × 2 = 0 + 0,003 010 56;
  • 10) 0,003 010 56 × 2 = 0 + 0,006 021 12;
  • 11) 0,006 021 12 × 2 = 0 + 0,012 042 24;
  • 12) 0,012 042 24 × 2 = 0 + 0,024 084 48;
  • 13) 0,024 084 48 × 2 = 0 + 0,048 168 96;
  • 14) 0,048 168 96 × 2 = 0 + 0,096 337 92;
  • 15) 0,096 337 92 × 2 = 0 + 0,192 675 84;
  • 16) 0,192 675 84 × 2 = 0 + 0,385 351 68;
  • 17) 0,385 351 68 × 2 = 0 + 0,770 703 36;
  • 18) 0,770 703 36 × 2 = 1 + 0,541 406 72;
  • 19) 0,541 406 72 × 2 = 1 + 0,082 813 44;
  • 20) 0,082 813 44 × 2 = 0 + 0,165 626 88;
  • 21) 0,165 626 88 × 2 = 0 + 0,331 253 76;
  • 22) 0,331 253 76 × 2 = 0 + 0,662 507 52;
  • 23) 0,662 507 52 × 2 = 1 + 0,325 015 04;
  • 24) 0,325 015 04 × 2 = 0 + 0,650 030 08;
  • 25) 0,650 030 08 × 2 = 1 + 0,300 060 16;
  • 26) 0,300 060 16 × 2 = 0 + 0,600 120 32;
  • 27) 0,600 120 32 × 2 = 1 + 0,200 240 64;
  • 28) 0,200 240 64 × 2 = 0 + 0,400 481 28;
  • 29) 0,400 481 28 × 2 = 0 + 0,800 962 56;
  • 30) 0,800 962 56 × 2 = 1 + 0,601 925 12;
  • 31) 0,601 925 12 × 2 = 1 + 0,203 850 24;
  • 32) 0,203 850 24 × 2 = 0 + 0,407 700 48;
  • 33) 0,407 700 48 × 2 = 0 + 0,815 400 96;
  • 34) 0,815 400 96 × 2 = 1 + 0,630 801 92;
  • 35) 0,630 801 92 × 2 = 1 + 0,261 603 84;
  • 36) 0,261 603 84 × 2 = 0 + 0,523 207 68;
  • 37) 0,523 207 68 × 2 = 1 + 0,046 415 36;
  • 38) 0,046 415 36 × 2 = 0 + 0,092 830 72;
  • 39) 0,092 830 72 × 2 = 0 + 0,185 661 44;
  • 40) 0,185 661 44 × 2 = 0 + 0,371 322 88;
  • 41) 0,371 322 88 × 2 = 0 + 0,742 645 76;
  • 42) 0,742 645 76 × 2 = 1 + 0,485 291 52;
  • 43) 0,485 291 52 × 2 = 0 + 0,970 583 04;
  • 44) 0,970 583 04 × 2 = 1 + 0,941 166 08;
  • 45) 0,941 166 08 × 2 = 1 + 0,882 332 16;
  • 46) 0,882 332 16 × 2 = 1 + 0,764 664 32;
  • 47) 0,764 664 32 × 2 = 1 + 0,529 328 64;
  • 48) 0,529 328 64 × 2 = 1 + 0,058 657 28;
  • 49) 0,058 657 28 × 2 = 0 + 0,117 314 56;
  • 50) 0,117 314 56 × 2 = 0 + 0,234 629 12;
  • 51) 0,234 629 12 × 2 = 0 + 0,469 258 24;
  • 52) 0,469 258 24 × 2 = 0 + 0,938 516 48;
  • 53) 0,938 516 48 × 2 = 1 + 0,877 032 96;
  • 54) 0,877 032 96 × 2 = 1 + 0,754 065 92;
  • 55) 0,754 065 92 × 2 = 1 + 0,508 131 84;
  • 56) 0,508 131 84 × 2 = 1 + 0,016 263 68;
  • 57) 0,016 263 68 × 2 = 0 + 0,032 527 36;
  • 58) 0,032 527 36 × 2 = 0 + 0,065 054 72;
  • 59) 0,065 054 72 × 2 = 0 + 0,130 109 44;
  • 60) 0,130 109 44 × 2 = 0 + 0,260 218 88;
  • 61) 0,260 218 88 × 2 = 0 + 0,520 437 76;
  • 62) 0,520 437 76 × 2 = 1 + 0,040 875 52;
  • 63) 0,040 875 52 × 2 = 0 + 0,081 751 04;
  • 64) 0,081 751 04 × 2 = 0 + 0,163 502 08;
  • 65) 0,163 502 08 × 2 = 0 + 0,327 004 16;
  • 66) 0,327 004 16 × 2 = 0 + 0,654 008 32;
  • 67) 0,654 008 32 × 2 = 1 + 0,308 016 64;
  • 68) 0,308 016 64 × 2 = 0 + 0,616 033 28;
  • 69) 0,616 033 28 × 2 = 1 + 0,232 066 56;
  • 70) 0,232 066 56 × 2 = 0 + 0,464 133 12;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 005 88(10) =

0,0000 0000 0000 0000 0110 0010 1010 0110 0110 1000 0101 1111 0000 1111 0000 0100 0010 10(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 005 88(10) =

0,0000 0000 0000 0000 0110 0010 1010 0110 0110 1000 0101 1111 0000 1111 0000 0100 0010 10(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 18 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 005 88(10) =

0,0000 0000 0000 0000 0110 0010 1010 0110 0110 1000 0101 1111 0000 1111 0000 0100 0010 10(2) =

0,0000 0000 0000 0000 0110 0010 1010 0110 0110 1000 0101 1111 0000 1111 0000 0100 0010 10(2) × 20 =

1,1000 1010 1001 1001 1010 0001 0111 1100 0011 1100 0001 0000 1010(2) × 2-18


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -18

Mantisă (nenormalizată):
1,1000 1010 1001 1001 1010 0001 0111 1100 0011 1100 0001 0000 1010


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-18 + 2(11-1) - 1 =

(-18 + 1 023)(10) =

1 005(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 005 : 2 = 502 + 1;
  • 502 : 2 = 251 + 0;
  • 251 : 2 = 125 + 1;
  • 125 : 2 = 62 + 1;
  • 62 : 2 = 31 + 0;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1005(10) =

011 1110 1101(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 1000 1010 1001 1001 1010 0001 0111 1100 0011 1100 0001 0000 1010 =

1000 1010 1001 1001 1010 0001 0111 1100 0011 1100 0001 0000 1010


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1110 1101

Mantisă (52 biți) =
1000 1010 1001 1001 1010 0001 0111 1100 0011 1100 0001 0000 1010


Numărul zecimal -0,000 005 88 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1110 1101 - 1000 1010 1001 1001 1010 0001 0111 1100 0011 1100 0001 0000 1010

» Scriere -0,000 005 77 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 10, 2026 [Octombrie]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Octombrie - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100