-0,000 007 820 328 7 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,000 007 820 328 7(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,000 007 820 328 7(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,000 007 820 328 7| = 0,000 007 820 328 7


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 007 820 328 7.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 007 820 328 7 × 2 = 0 + 0,000 015 640 657 4;
  • 2) 0,000 015 640 657 4 × 2 = 0 + 0,000 031 281 314 8;
  • 3) 0,000 031 281 314 8 × 2 = 0 + 0,000 062 562 629 6;
  • 4) 0,000 062 562 629 6 × 2 = 0 + 0,000 125 125 259 2;
  • 5) 0,000 125 125 259 2 × 2 = 0 + 0,000 250 250 518 4;
  • 6) 0,000 250 250 518 4 × 2 = 0 + 0,000 500 501 036 8;
  • 7) 0,000 500 501 036 8 × 2 = 0 + 0,001 001 002 073 6;
  • 8) 0,001 001 002 073 6 × 2 = 0 + 0,002 002 004 147 2;
  • 9) 0,002 002 004 147 2 × 2 = 0 + 0,004 004 008 294 4;
  • 10) 0,004 004 008 294 4 × 2 = 0 + 0,008 008 016 588 8;
  • 11) 0,008 008 016 588 8 × 2 = 0 + 0,016 016 033 177 6;
  • 12) 0,016 016 033 177 6 × 2 = 0 + 0,032 032 066 355 2;
  • 13) 0,032 032 066 355 2 × 2 = 0 + 0,064 064 132 710 4;
  • 14) 0,064 064 132 710 4 × 2 = 0 + 0,128 128 265 420 8;
  • 15) 0,128 128 265 420 8 × 2 = 0 + 0,256 256 530 841 6;
  • 16) 0,256 256 530 841 6 × 2 = 0 + 0,512 513 061 683 2;
  • 17) 0,512 513 061 683 2 × 2 = 1 + 0,025 026 123 366 4;
  • 18) 0,025 026 123 366 4 × 2 = 0 + 0,050 052 246 732 8;
  • 19) 0,050 052 246 732 8 × 2 = 0 + 0,100 104 493 465 6;
  • 20) 0,100 104 493 465 6 × 2 = 0 + 0,200 208 986 931 2;
  • 21) 0,200 208 986 931 2 × 2 = 0 + 0,400 417 973 862 4;
  • 22) 0,400 417 973 862 4 × 2 = 0 + 0,800 835 947 724 8;
  • 23) 0,800 835 947 724 8 × 2 = 1 + 0,601 671 895 449 6;
  • 24) 0,601 671 895 449 6 × 2 = 1 + 0,203 343 790 899 2;
  • 25) 0,203 343 790 899 2 × 2 = 0 + 0,406 687 581 798 4;
  • 26) 0,406 687 581 798 4 × 2 = 0 + 0,813 375 163 596 8;
  • 27) 0,813 375 163 596 8 × 2 = 1 + 0,626 750 327 193 6;
  • 28) 0,626 750 327 193 6 × 2 = 1 + 0,253 500 654 387 2;
  • 29) 0,253 500 654 387 2 × 2 = 0 + 0,507 001 308 774 4;
  • 30) 0,507 001 308 774 4 × 2 = 1 + 0,014 002 617 548 8;
  • 31) 0,014 002 617 548 8 × 2 = 0 + 0,028 005 235 097 6;
  • 32) 0,028 005 235 097 6 × 2 = 0 + 0,056 010 470 195 2;
  • 33) 0,056 010 470 195 2 × 2 = 0 + 0,112 020 940 390 4;
  • 34) 0,112 020 940 390 4 × 2 = 0 + 0,224 041 880 780 8;
  • 35) 0,224 041 880 780 8 × 2 = 0 + 0,448 083 761 561 6;
  • 36) 0,448 083 761 561 6 × 2 = 0 + 0,896 167 523 123 2;
  • 37) 0,896 167 523 123 2 × 2 = 1 + 0,792 335 046 246 4;
  • 38) 0,792 335 046 246 4 × 2 = 1 + 0,584 670 092 492 8;
  • 39) 0,584 670 092 492 8 × 2 = 1 + 0,169 340 184 985 6;
  • 40) 0,169 340 184 985 6 × 2 = 0 + 0,338 680 369 971 2;
  • 41) 0,338 680 369 971 2 × 2 = 0 + 0,677 360 739 942 4;
  • 42) 0,677 360 739 942 4 × 2 = 1 + 0,354 721 479 884 8;
  • 43) 0,354 721 479 884 8 × 2 = 0 + 0,709 442 959 769 6;
  • 44) 0,709 442 959 769 6 × 2 = 1 + 0,418 885 919 539 2;
  • 45) 0,418 885 919 539 2 × 2 = 0 + 0,837 771 839 078 4;
  • 46) 0,837 771 839 078 4 × 2 = 1 + 0,675 543 678 156 8;
  • 47) 0,675 543 678 156 8 × 2 = 1 + 0,351 087 356 313 6;
  • 48) 0,351 087 356 313 6 × 2 = 0 + 0,702 174 712 627 2;
  • 49) 0,702 174 712 627 2 × 2 = 1 + 0,404 349 425 254 4;
  • 50) 0,404 349 425 254 4 × 2 = 0 + 0,808 698 850 508 8;
  • 51) 0,808 698 850 508 8 × 2 = 1 + 0,617 397 701 017 6;
  • 52) 0,617 397 701 017 6 × 2 = 1 + 0,234 795 402 035 2;
  • 53) 0,234 795 402 035 2 × 2 = 0 + 0,469 590 804 070 4;
  • 54) 0,469 590 804 070 4 × 2 = 0 + 0,939 181 608 140 8;
  • 55) 0,939 181 608 140 8 × 2 = 1 + 0,878 363 216 281 6;
  • 56) 0,878 363 216 281 6 × 2 = 1 + 0,756 726 432 563 2;
  • 57) 0,756 726 432 563 2 × 2 = 1 + 0,513 452 865 126 4;
  • 58) 0,513 452 865 126 4 × 2 = 1 + 0,026 905 730 252 8;
  • 59) 0,026 905 730 252 8 × 2 = 0 + 0,053 811 460 505 6;
  • 60) 0,053 811 460 505 6 × 2 = 0 + 0,107 622 921 011 2;
  • 61) 0,107 622 921 011 2 × 2 = 0 + 0,215 245 842 022 4;
  • 62) 0,215 245 842 022 4 × 2 = 0 + 0,430 491 684 044 8;
  • 63) 0,430 491 684 044 8 × 2 = 0 + 0,860 983 368 089 6;
  • 64) 0,860 983 368 089 6 × 2 = 1 + 0,721 966 736 179 2;
  • 65) 0,721 966 736 179 2 × 2 = 1 + 0,443 933 472 358 4;
  • 66) 0,443 933 472 358 4 × 2 = 0 + 0,887 866 944 716 8;
  • 67) 0,887 866 944 716 8 × 2 = 1 + 0,775 733 889 433 6;
  • 68) 0,775 733 889 433 6 × 2 = 1 + 0,551 467 778 867 2;
  • 69) 0,551 467 778 867 2 × 2 = 1 + 0,102 935 557 734 4;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 007 820 328 7(10) =

0,0000 0000 0000 0000 1000 0011 0011 0100 0000 1110 0101 0110 1011 0011 1100 0001 1011 1(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 007 820 328 7(10) =

0,0000 0000 0000 0000 1000 0011 0011 0100 0000 1110 0101 0110 1011 0011 1100 0001 1011 1(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 17 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 007 820 328 7(10) =

0,0000 0000 0000 0000 1000 0011 0011 0100 0000 1110 0101 0110 1011 0011 1100 0001 1011 1(2) =

0,0000 0000 0000 0000 1000 0011 0011 0100 0000 1110 0101 0110 1011 0011 1100 0001 1011 1(2) × 20 =

1,0000 0110 0110 1000 0001 1100 1010 1101 0110 0111 1000 0011 0111(2) × 2-17


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -17

Mantisă (nenormalizată):
1,0000 0110 0110 1000 0001 1100 1010 1101 0110 0111 1000 0011 0111


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-17 + 2(11-1) - 1 =

(-17 + 1 023)(10) =

1 006(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 006 : 2 = 503 + 0;
  • 503 : 2 = 251 + 1;
  • 251 : 2 = 125 + 1;
  • 125 : 2 = 62 + 1;
  • 62 : 2 = 31 + 0;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1006(10) =

011 1110 1110(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0000 0110 0110 1000 0001 1100 1010 1101 0110 0111 1000 0011 0111 =

0000 0110 0110 1000 0001 1100 1010 1101 0110 0111 1000 0011 0111


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1110 1110

Mantisă (52 biți) =
0000 0110 0110 1000 0001 1100 1010 1101 0110 0111 1000 0011 0111


Numărul zecimal -0,000 007 820 328 7 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1110 1110 - 0000 0110 0110 1000 0001 1100 1010 1101 0110 0111 1000 0011 0111

Distribuie

» Scriere -0,000 007 820 338 3 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 08, 2026 [August]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: August - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100