-0,000 007 820 338 3 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,000 007 820 338 3(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,000 007 820 338 3(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,000 007 820 338 3| = 0,000 007 820 338 3


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 007 820 338 3.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 007 820 338 3 × 2 = 0 + 0,000 015 640 676 6;
  • 2) 0,000 015 640 676 6 × 2 = 0 + 0,000 031 281 353 2;
  • 3) 0,000 031 281 353 2 × 2 = 0 + 0,000 062 562 706 4;
  • 4) 0,000 062 562 706 4 × 2 = 0 + 0,000 125 125 412 8;
  • 5) 0,000 125 125 412 8 × 2 = 0 + 0,000 250 250 825 6;
  • 6) 0,000 250 250 825 6 × 2 = 0 + 0,000 500 501 651 2;
  • 7) 0,000 500 501 651 2 × 2 = 0 + 0,001 001 003 302 4;
  • 8) 0,001 001 003 302 4 × 2 = 0 + 0,002 002 006 604 8;
  • 9) 0,002 002 006 604 8 × 2 = 0 + 0,004 004 013 209 6;
  • 10) 0,004 004 013 209 6 × 2 = 0 + 0,008 008 026 419 2;
  • 11) 0,008 008 026 419 2 × 2 = 0 + 0,016 016 052 838 4;
  • 12) 0,016 016 052 838 4 × 2 = 0 + 0,032 032 105 676 8;
  • 13) 0,032 032 105 676 8 × 2 = 0 + 0,064 064 211 353 6;
  • 14) 0,064 064 211 353 6 × 2 = 0 + 0,128 128 422 707 2;
  • 15) 0,128 128 422 707 2 × 2 = 0 + 0,256 256 845 414 4;
  • 16) 0,256 256 845 414 4 × 2 = 0 + 0,512 513 690 828 8;
  • 17) 0,512 513 690 828 8 × 2 = 1 + 0,025 027 381 657 6;
  • 18) 0,025 027 381 657 6 × 2 = 0 + 0,050 054 763 315 2;
  • 19) 0,050 054 763 315 2 × 2 = 0 + 0,100 109 526 630 4;
  • 20) 0,100 109 526 630 4 × 2 = 0 + 0,200 219 053 260 8;
  • 21) 0,200 219 053 260 8 × 2 = 0 + 0,400 438 106 521 6;
  • 22) 0,400 438 106 521 6 × 2 = 0 + 0,800 876 213 043 2;
  • 23) 0,800 876 213 043 2 × 2 = 1 + 0,601 752 426 086 4;
  • 24) 0,601 752 426 086 4 × 2 = 1 + 0,203 504 852 172 8;
  • 25) 0,203 504 852 172 8 × 2 = 0 + 0,407 009 704 345 6;
  • 26) 0,407 009 704 345 6 × 2 = 0 + 0,814 019 408 691 2;
  • 27) 0,814 019 408 691 2 × 2 = 1 + 0,628 038 817 382 4;
  • 28) 0,628 038 817 382 4 × 2 = 1 + 0,256 077 634 764 8;
  • 29) 0,256 077 634 764 8 × 2 = 0 + 0,512 155 269 529 6;
  • 30) 0,512 155 269 529 6 × 2 = 1 + 0,024 310 539 059 2;
  • 31) 0,024 310 539 059 2 × 2 = 0 + 0,048 621 078 118 4;
  • 32) 0,048 621 078 118 4 × 2 = 0 + 0,097 242 156 236 8;
  • 33) 0,097 242 156 236 8 × 2 = 0 + 0,194 484 312 473 6;
  • 34) 0,194 484 312 473 6 × 2 = 0 + 0,388 968 624 947 2;
  • 35) 0,388 968 624 947 2 × 2 = 0 + 0,777 937 249 894 4;
  • 36) 0,777 937 249 894 4 × 2 = 1 + 0,555 874 499 788 8;
  • 37) 0,555 874 499 788 8 × 2 = 1 + 0,111 748 999 577 6;
  • 38) 0,111 748 999 577 6 × 2 = 0 + 0,223 497 999 155 2;
  • 39) 0,223 497 999 155 2 × 2 = 0 + 0,446 995 998 310 4;
  • 40) 0,446 995 998 310 4 × 2 = 0 + 0,893 991 996 620 8;
  • 41) 0,893 991 996 620 8 × 2 = 1 + 0,787 983 993 241 6;
  • 42) 0,787 983 993 241 6 × 2 = 1 + 0,575 967 986 483 2;
  • 43) 0,575 967 986 483 2 × 2 = 1 + 0,151 935 972 966 4;
  • 44) 0,151 935 972 966 4 × 2 = 0 + 0,303 871 945 932 8;
  • 45) 0,303 871 945 932 8 × 2 = 0 + 0,607 743 891 865 6;
  • 46) 0,607 743 891 865 6 × 2 = 1 + 0,215 487 783 731 2;
  • 47) 0,215 487 783 731 2 × 2 = 0 + 0,430 975 567 462 4;
  • 48) 0,430 975 567 462 4 × 2 = 0 + 0,861 951 134 924 8;
  • 49) 0,861 951 134 924 8 × 2 = 1 + 0,723 902 269 849 6;
  • 50) 0,723 902 269 849 6 × 2 = 1 + 0,447 804 539 699 2;
  • 51) 0,447 804 539 699 2 × 2 = 0 + 0,895 609 079 398 4;
  • 52) 0,895 609 079 398 4 × 2 = 1 + 0,791 218 158 796 8;
  • 53) 0,791 218 158 796 8 × 2 = 1 + 0,582 436 317 593 6;
  • 54) 0,582 436 317 593 6 × 2 = 1 + 0,164 872 635 187 2;
  • 55) 0,164 872 635 187 2 × 2 = 0 + 0,329 745 270 374 4;
  • 56) 0,329 745 270 374 4 × 2 = 0 + 0,659 490 540 748 8;
  • 57) 0,659 490 540 748 8 × 2 = 1 + 0,318 981 081 497 6;
  • 58) 0,318 981 081 497 6 × 2 = 0 + 0,637 962 162 995 2;
  • 59) 0,637 962 162 995 2 × 2 = 1 + 0,275 924 325 990 4;
  • 60) 0,275 924 325 990 4 × 2 = 0 + 0,551 848 651 980 8;
  • 61) 0,551 848 651 980 8 × 2 = 1 + 0,103 697 303 961 6;
  • 62) 0,103 697 303 961 6 × 2 = 0 + 0,207 394 607 923 2;
  • 63) 0,207 394 607 923 2 × 2 = 0 + 0,414 789 215 846 4;
  • 64) 0,414 789 215 846 4 × 2 = 0 + 0,829 578 431 692 8;
  • 65) 0,829 578 431 692 8 × 2 = 1 + 0,659 156 863 385 6;
  • 66) 0,659 156 863 385 6 × 2 = 1 + 0,318 313 726 771 2;
  • 67) 0,318 313 726 771 2 × 2 = 0 + 0,636 627 453 542 4;
  • 68) 0,636 627 453 542 4 × 2 = 1 + 0,273 254 907 084 8;
  • 69) 0,273 254 907 084 8 × 2 = 0 + 0,546 509 814 169 6;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 007 820 338 3(10) =

0,0000 0000 0000 0000 1000 0011 0011 0100 0001 1000 1110 0100 1101 1100 1010 1000 1101 0(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 007 820 338 3(10) =

0,0000 0000 0000 0000 1000 0011 0011 0100 0001 1000 1110 0100 1101 1100 1010 1000 1101 0(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 17 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 007 820 338 3(10) =

0,0000 0000 0000 0000 1000 0011 0011 0100 0001 1000 1110 0100 1101 1100 1010 1000 1101 0(2) =

0,0000 0000 0000 0000 1000 0011 0011 0100 0001 1000 1110 0100 1101 1100 1010 1000 1101 0(2) × 20 =

1,0000 0110 0110 1000 0011 0001 1100 1001 1011 1001 0101 0001 1010(2) × 2-17


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -17

Mantisă (nenormalizată):
1,0000 0110 0110 1000 0011 0001 1100 1001 1011 1001 0101 0001 1010


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-17 + 2(11-1) - 1 =

(-17 + 1 023)(10) =

1 006(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 006 : 2 = 503 + 0;
  • 503 : 2 = 251 + 1;
  • 251 : 2 = 125 + 1;
  • 125 : 2 = 62 + 1;
  • 62 : 2 = 31 + 0;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1006(10) =

011 1110 1110(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0000 0110 0110 1000 0011 0001 1100 1001 1011 1001 0101 0001 1010 =

0000 0110 0110 1000 0011 0001 1100 1001 1011 1001 0101 0001 1010


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1110 1110

Mantisă (52 biți) =
0000 0110 0110 1000 0011 0001 1100 1001 1011 1001 0101 0001 1010


Numărul zecimal -0,000 007 820 338 3 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1110 1110 - 0000 0110 0110 1000 0011 0001 1100 1001 1011 1001 0101 0001 1010

Distribuie

» Scriere -0,000 007 820 337 6 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 08, 2026 [August]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: August - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100