-0,000 007 820 337 6 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,000 007 820 337 6(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,000 007 820 337 6(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,000 007 820 337 6| = 0,000 007 820 337 6


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 007 820 337 6.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 007 820 337 6 × 2 = 0 + 0,000 015 640 675 2;
  • 2) 0,000 015 640 675 2 × 2 = 0 + 0,000 031 281 350 4;
  • 3) 0,000 031 281 350 4 × 2 = 0 + 0,000 062 562 700 8;
  • 4) 0,000 062 562 700 8 × 2 = 0 + 0,000 125 125 401 6;
  • 5) 0,000 125 125 401 6 × 2 = 0 + 0,000 250 250 803 2;
  • 6) 0,000 250 250 803 2 × 2 = 0 + 0,000 500 501 606 4;
  • 7) 0,000 500 501 606 4 × 2 = 0 + 0,001 001 003 212 8;
  • 8) 0,001 001 003 212 8 × 2 = 0 + 0,002 002 006 425 6;
  • 9) 0,002 002 006 425 6 × 2 = 0 + 0,004 004 012 851 2;
  • 10) 0,004 004 012 851 2 × 2 = 0 + 0,008 008 025 702 4;
  • 11) 0,008 008 025 702 4 × 2 = 0 + 0,016 016 051 404 8;
  • 12) 0,016 016 051 404 8 × 2 = 0 + 0,032 032 102 809 6;
  • 13) 0,032 032 102 809 6 × 2 = 0 + 0,064 064 205 619 2;
  • 14) 0,064 064 205 619 2 × 2 = 0 + 0,128 128 411 238 4;
  • 15) 0,128 128 411 238 4 × 2 = 0 + 0,256 256 822 476 8;
  • 16) 0,256 256 822 476 8 × 2 = 0 + 0,512 513 644 953 6;
  • 17) 0,512 513 644 953 6 × 2 = 1 + 0,025 027 289 907 2;
  • 18) 0,025 027 289 907 2 × 2 = 0 + 0,050 054 579 814 4;
  • 19) 0,050 054 579 814 4 × 2 = 0 + 0,100 109 159 628 8;
  • 20) 0,100 109 159 628 8 × 2 = 0 + 0,200 218 319 257 6;
  • 21) 0,200 218 319 257 6 × 2 = 0 + 0,400 436 638 515 2;
  • 22) 0,400 436 638 515 2 × 2 = 0 + 0,800 873 277 030 4;
  • 23) 0,800 873 277 030 4 × 2 = 1 + 0,601 746 554 060 8;
  • 24) 0,601 746 554 060 8 × 2 = 1 + 0,203 493 108 121 6;
  • 25) 0,203 493 108 121 6 × 2 = 0 + 0,406 986 216 243 2;
  • 26) 0,406 986 216 243 2 × 2 = 0 + 0,813 972 432 486 4;
  • 27) 0,813 972 432 486 4 × 2 = 1 + 0,627 944 864 972 8;
  • 28) 0,627 944 864 972 8 × 2 = 1 + 0,255 889 729 945 6;
  • 29) 0,255 889 729 945 6 × 2 = 0 + 0,511 779 459 891 2;
  • 30) 0,511 779 459 891 2 × 2 = 1 + 0,023 558 919 782 4;
  • 31) 0,023 558 919 782 4 × 2 = 0 + 0,047 117 839 564 8;
  • 32) 0,047 117 839 564 8 × 2 = 0 + 0,094 235 679 129 6;
  • 33) 0,094 235 679 129 6 × 2 = 0 + 0,188 471 358 259 2;
  • 34) 0,188 471 358 259 2 × 2 = 0 + 0,376 942 716 518 4;
  • 35) 0,376 942 716 518 4 × 2 = 0 + 0,753 885 433 036 8;
  • 36) 0,753 885 433 036 8 × 2 = 1 + 0,507 770 866 073 6;
  • 37) 0,507 770 866 073 6 × 2 = 1 + 0,015 541 732 147 2;
  • 38) 0,015 541 732 147 2 × 2 = 0 + 0,031 083 464 294 4;
  • 39) 0,031 083 464 294 4 × 2 = 0 + 0,062 166 928 588 8;
  • 40) 0,062 166 928 588 8 × 2 = 0 + 0,124 333 857 177 6;
  • 41) 0,124 333 857 177 6 × 2 = 0 + 0,248 667 714 355 2;
  • 42) 0,248 667 714 355 2 × 2 = 0 + 0,497 335 428 710 4;
  • 43) 0,497 335 428 710 4 × 2 = 0 + 0,994 670 857 420 8;
  • 44) 0,994 670 857 420 8 × 2 = 1 + 0,989 341 714 841 6;
  • 45) 0,989 341 714 841 6 × 2 = 1 + 0,978 683 429 683 2;
  • 46) 0,978 683 429 683 2 × 2 = 1 + 0,957 366 859 366 4;
  • 47) 0,957 366 859 366 4 × 2 = 1 + 0,914 733 718 732 8;
  • 48) 0,914 733 718 732 8 × 2 = 1 + 0,829 467 437 465 6;
  • 49) 0,829 467 437 465 6 × 2 = 1 + 0,658 934 874 931 2;
  • 50) 0,658 934 874 931 2 × 2 = 1 + 0,317 869 749 862 4;
  • 51) 0,317 869 749 862 4 × 2 = 0 + 0,635 739 499 724 8;
  • 52) 0,635 739 499 724 8 × 2 = 1 + 0,271 478 999 449 6;
  • 53) 0,271 478 999 449 6 × 2 = 0 + 0,542 957 998 899 2;
  • 54) 0,542 957 998 899 2 × 2 = 1 + 0,085 915 997 798 4;
  • 55) 0,085 915 997 798 4 × 2 = 0 + 0,171 831 995 596 8;
  • 56) 0,171 831 995 596 8 × 2 = 0 + 0,343 663 991 193 6;
  • 57) 0,343 663 991 193 6 × 2 = 0 + 0,687 327 982 387 2;
  • 58) 0,687 327 982 387 2 × 2 = 1 + 0,374 655 964 774 4;
  • 59) 0,374 655 964 774 4 × 2 = 0 + 0,749 311 929 548 8;
  • 60) 0,749 311 929 548 8 × 2 = 1 + 0,498 623 859 097 6;
  • 61) 0,498 623 859 097 6 × 2 = 0 + 0,997 247 718 195 2;
  • 62) 0,997 247 718 195 2 × 2 = 1 + 0,994 495 436 390 4;
  • 63) 0,994 495 436 390 4 × 2 = 1 + 0,988 990 872 780 8;
  • 64) 0,988 990 872 780 8 × 2 = 1 + 0,977 981 745 561 6;
  • 65) 0,977 981 745 561 6 × 2 = 1 + 0,955 963 491 123 2;
  • 66) 0,955 963 491 123 2 × 2 = 1 + 0,911 926 982 246 4;
  • 67) 0,911 926 982 246 4 × 2 = 1 + 0,823 853 964 492 8;
  • 68) 0,823 853 964 492 8 × 2 = 1 + 0,647 707 928 985 6;
  • 69) 0,647 707 928 985 6 × 2 = 1 + 0,295 415 857 971 2;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 007 820 337 6(10) =

0,0000 0000 0000 0000 1000 0011 0011 0100 0001 1000 0001 1111 1101 0100 0101 0111 1111 1(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 007 820 337 6(10) =

0,0000 0000 0000 0000 1000 0011 0011 0100 0001 1000 0001 1111 1101 0100 0101 0111 1111 1(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 17 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 007 820 337 6(10) =

0,0000 0000 0000 0000 1000 0011 0011 0100 0001 1000 0001 1111 1101 0100 0101 0111 1111 1(2) =

0,0000 0000 0000 0000 1000 0011 0011 0100 0001 1000 0001 1111 1101 0100 0101 0111 1111 1(2) × 20 =

1,0000 0110 0110 1000 0011 0000 0011 1111 1010 1000 1010 1111 1111(2) × 2-17


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -17

Mantisă (nenormalizată):
1,0000 0110 0110 1000 0011 0000 0011 1111 1010 1000 1010 1111 1111


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-17 + 2(11-1) - 1 =

(-17 + 1 023)(10) =

1 006(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 006 : 2 = 503 + 0;
  • 503 : 2 = 251 + 1;
  • 251 : 2 = 125 + 1;
  • 125 : 2 = 62 + 1;
  • 62 : 2 = 31 + 0;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1006(10) =

011 1110 1110(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0000 0110 0110 1000 0011 0000 0011 1111 1010 1000 1010 1111 1111 =

0000 0110 0110 1000 0011 0000 0011 1111 1010 1000 1010 1111 1111


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1110 1110

Mantisă (52 biți) =
0000 0110 0110 1000 0011 0000 0011 1111 1010 1000 1010 1111 1111


Numărul zecimal -0,000 007 820 337 6 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1110 1110 - 0000 0110 0110 1000 0011 0000 0011 1111 1010 1000 1010 1111 1111

Distribuie

» Scriere -0,000 007 820 338 1 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 08, 2026 [August]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: August - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100