-0,000 007 820 565 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,000 007 820 565(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,000 007 820 565(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,000 007 820 565| = 0,000 007 820 565


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 007 820 565.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 007 820 565 × 2 = 0 + 0,000 015 641 13;
  • 2) 0,000 015 641 13 × 2 = 0 + 0,000 031 282 26;
  • 3) 0,000 031 282 26 × 2 = 0 + 0,000 062 564 52;
  • 4) 0,000 062 564 52 × 2 = 0 + 0,000 125 129 04;
  • 5) 0,000 125 129 04 × 2 = 0 + 0,000 250 258 08;
  • 6) 0,000 250 258 08 × 2 = 0 + 0,000 500 516 16;
  • 7) 0,000 500 516 16 × 2 = 0 + 0,001 001 032 32;
  • 8) 0,001 001 032 32 × 2 = 0 + 0,002 002 064 64;
  • 9) 0,002 002 064 64 × 2 = 0 + 0,004 004 129 28;
  • 10) 0,004 004 129 28 × 2 = 0 + 0,008 008 258 56;
  • 11) 0,008 008 258 56 × 2 = 0 + 0,016 016 517 12;
  • 12) 0,016 016 517 12 × 2 = 0 + 0,032 033 034 24;
  • 13) 0,032 033 034 24 × 2 = 0 + 0,064 066 068 48;
  • 14) 0,064 066 068 48 × 2 = 0 + 0,128 132 136 96;
  • 15) 0,128 132 136 96 × 2 = 0 + 0,256 264 273 92;
  • 16) 0,256 264 273 92 × 2 = 0 + 0,512 528 547 84;
  • 17) 0,512 528 547 84 × 2 = 1 + 0,025 057 095 68;
  • 18) 0,025 057 095 68 × 2 = 0 + 0,050 114 191 36;
  • 19) 0,050 114 191 36 × 2 = 0 + 0,100 228 382 72;
  • 20) 0,100 228 382 72 × 2 = 0 + 0,200 456 765 44;
  • 21) 0,200 456 765 44 × 2 = 0 + 0,400 913 530 88;
  • 22) 0,400 913 530 88 × 2 = 0 + 0,801 827 061 76;
  • 23) 0,801 827 061 76 × 2 = 1 + 0,603 654 123 52;
  • 24) 0,603 654 123 52 × 2 = 1 + 0,207 308 247 04;
  • 25) 0,207 308 247 04 × 2 = 0 + 0,414 616 494 08;
  • 26) 0,414 616 494 08 × 2 = 0 + 0,829 232 988 16;
  • 27) 0,829 232 988 16 × 2 = 1 + 0,658 465 976 32;
  • 28) 0,658 465 976 32 × 2 = 1 + 0,316 931 952 64;
  • 29) 0,316 931 952 64 × 2 = 0 + 0,633 863 905 28;
  • 30) 0,633 863 905 28 × 2 = 1 + 0,267 727 810 56;
  • 31) 0,267 727 810 56 × 2 = 0 + 0,535 455 621 12;
  • 32) 0,535 455 621 12 × 2 = 1 + 0,070 911 242 24;
  • 33) 0,070 911 242 24 × 2 = 0 + 0,141 822 484 48;
  • 34) 0,141 822 484 48 × 2 = 0 + 0,283 644 968 96;
  • 35) 0,283 644 968 96 × 2 = 0 + 0,567 289 937 92;
  • 36) 0,567 289 937 92 × 2 = 1 + 0,134 579 875 84;
  • 37) 0,134 579 875 84 × 2 = 0 + 0,269 159 751 68;
  • 38) 0,269 159 751 68 × 2 = 0 + 0,538 319 503 36;
  • 39) 0,538 319 503 36 × 2 = 1 + 0,076 639 006 72;
  • 40) 0,076 639 006 72 × 2 = 0 + 0,153 278 013 44;
  • 41) 0,153 278 013 44 × 2 = 0 + 0,306 556 026 88;
  • 42) 0,306 556 026 88 × 2 = 0 + 0,613 112 053 76;
  • 43) 0,613 112 053 76 × 2 = 1 + 0,226 224 107 52;
  • 44) 0,226 224 107 52 × 2 = 0 + 0,452 448 215 04;
  • 45) 0,452 448 215 04 × 2 = 0 + 0,904 896 430 08;
  • 46) 0,904 896 430 08 × 2 = 1 + 0,809 792 860 16;
  • 47) 0,809 792 860 16 × 2 = 1 + 0,619 585 720 32;
  • 48) 0,619 585 720 32 × 2 = 1 + 0,239 171 440 64;
  • 49) 0,239 171 440 64 × 2 = 0 + 0,478 342 881 28;
  • 50) 0,478 342 881 28 × 2 = 0 + 0,956 685 762 56;
  • 51) 0,956 685 762 56 × 2 = 1 + 0,913 371 525 12;
  • 52) 0,913 371 525 12 × 2 = 1 + 0,826 743 050 24;
  • 53) 0,826 743 050 24 × 2 = 1 + 0,653 486 100 48;
  • 54) 0,653 486 100 48 × 2 = 1 + 0,306 972 200 96;
  • 55) 0,306 972 200 96 × 2 = 0 + 0,613 944 401 92;
  • 56) 0,613 944 401 92 × 2 = 1 + 0,227 888 803 84;
  • 57) 0,227 888 803 84 × 2 = 0 + 0,455 777 607 68;
  • 58) 0,455 777 607 68 × 2 = 0 + 0,911 555 215 36;
  • 59) 0,911 555 215 36 × 2 = 1 + 0,823 110 430 72;
  • 60) 0,823 110 430 72 × 2 = 1 + 0,646 220 861 44;
  • 61) 0,646 220 861 44 × 2 = 1 + 0,292 441 722 88;
  • 62) 0,292 441 722 88 × 2 = 0 + 0,584 883 445 76;
  • 63) 0,584 883 445 76 × 2 = 1 + 0,169 766 891 52;
  • 64) 0,169 766 891 52 × 2 = 0 + 0,339 533 783 04;
  • 65) 0,339 533 783 04 × 2 = 0 + 0,679 067 566 08;
  • 66) 0,679 067 566 08 × 2 = 1 + 0,358 135 132 16;
  • 67) 0,358 135 132 16 × 2 = 0 + 0,716 270 264 32;
  • 68) 0,716 270 264 32 × 2 = 1 + 0,432 540 528 64;
  • 69) 0,432 540 528 64 × 2 = 0 + 0,865 081 057 28;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 007 820 565(10) =

0,0000 0000 0000 0000 1000 0011 0011 0101 0001 0010 0010 0111 0011 1101 0011 1010 0101 0(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 007 820 565(10) =

0,0000 0000 0000 0000 1000 0011 0011 0101 0001 0010 0010 0111 0011 1101 0011 1010 0101 0(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 17 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 007 820 565(10) =

0,0000 0000 0000 0000 1000 0011 0011 0101 0001 0010 0010 0111 0011 1101 0011 1010 0101 0(2) =

0,0000 0000 0000 0000 1000 0011 0011 0101 0001 0010 0010 0111 0011 1101 0011 1010 0101 0(2) × 20 =

1,0000 0110 0110 1010 0010 0100 0100 1110 0111 1010 0111 0100 1010(2) × 2-17


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -17

Mantisă (nenormalizată):
1,0000 0110 0110 1010 0010 0100 0100 1110 0111 1010 0111 0100 1010


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-17 + 2(11-1) - 1 =

(-17 + 1 023)(10) =

1 006(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 006 : 2 = 503 + 0;
  • 503 : 2 = 251 + 1;
  • 251 : 2 = 125 + 1;
  • 125 : 2 = 62 + 1;
  • 62 : 2 = 31 + 0;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1006(10) =

011 1110 1110(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0000 0110 0110 1010 0010 0100 0100 1110 0111 1010 0111 0100 1010 =

0000 0110 0110 1010 0010 0100 0100 1110 0111 1010 0111 0100 1010


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1110 1110

Mantisă (52 biți) =
0000 0110 0110 1010 0010 0100 0100 1110 0111 1010 0111 0100 1010


Numărul zecimal -0,000 007 820 565 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1110 1110 - 0000 0110 0110 1010 0010 0100 0100 1110 0111 1010 0111 0100 1010

Distribuie

» Scriere -0,000 007 820 529 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 08, 2026 [August]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: August - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100