-0,000 007 820 86 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,000 007 820 86(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,000 007 820 86(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,000 007 820 86| = 0,000 007 820 86


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 007 820 86.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 007 820 86 × 2 = 0 + 0,000 015 641 72;
  • 2) 0,000 015 641 72 × 2 = 0 + 0,000 031 283 44;
  • 3) 0,000 031 283 44 × 2 = 0 + 0,000 062 566 88;
  • 4) 0,000 062 566 88 × 2 = 0 + 0,000 125 133 76;
  • 5) 0,000 125 133 76 × 2 = 0 + 0,000 250 267 52;
  • 6) 0,000 250 267 52 × 2 = 0 + 0,000 500 535 04;
  • 7) 0,000 500 535 04 × 2 = 0 + 0,001 001 070 08;
  • 8) 0,001 001 070 08 × 2 = 0 + 0,002 002 140 16;
  • 9) 0,002 002 140 16 × 2 = 0 + 0,004 004 280 32;
  • 10) 0,004 004 280 32 × 2 = 0 + 0,008 008 560 64;
  • 11) 0,008 008 560 64 × 2 = 0 + 0,016 017 121 28;
  • 12) 0,016 017 121 28 × 2 = 0 + 0,032 034 242 56;
  • 13) 0,032 034 242 56 × 2 = 0 + 0,064 068 485 12;
  • 14) 0,064 068 485 12 × 2 = 0 + 0,128 136 970 24;
  • 15) 0,128 136 970 24 × 2 = 0 + 0,256 273 940 48;
  • 16) 0,256 273 940 48 × 2 = 0 + 0,512 547 880 96;
  • 17) 0,512 547 880 96 × 2 = 1 + 0,025 095 761 92;
  • 18) 0,025 095 761 92 × 2 = 0 + 0,050 191 523 84;
  • 19) 0,050 191 523 84 × 2 = 0 + 0,100 383 047 68;
  • 20) 0,100 383 047 68 × 2 = 0 + 0,200 766 095 36;
  • 21) 0,200 766 095 36 × 2 = 0 + 0,401 532 190 72;
  • 22) 0,401 532 190 72 × 2 = 0 + 0,803 064 381 44;
  • 23) 0,803 064 381 44 × 2 = 1 + 0,606 128 762 88;
  • 24) 0,606 128 762 88 × 2 = 1 + 0,212 257 525 76;
  • 25) 0,212 257 525 76 × 2 = 0 + 0,424 515 051 52;
  • 26) 0,424 515 051 52 × 2 = 0 + 0,849 030 103 04;
  • 27) 0,849 030 103 04 × 2 = 1 + 0,698 060 206 08;
  • 28) 0,698 060 206 08 × 2 = 1 + 0,396 120 412 16;
  • 29) 0,396 120 412 16 × 2 = 0 + 0,792 240 824 32;
  • 30) 0,792 240 824 32 × 2 = 1 + 0,584 481 648 64;
  • 31) 0,584 481 648 64 × 2 = 1 + 0,168 963 297 28;
  • 32) 0,168 963 297 28 × 2 = 0 + 0,337 926 594 56;
  • 33) 0,337 926 594 56 × 2 = 0 + 0,675 853 189 12;
  • 34) 0,675 853 189 12 × 2 = 1 + 0,351 706 378 24;
  • 35) 0,351 706 378 24 × 2 = 0 + 0,703 412 756 48;
  • 36) 0,703 412 756 48 × 2 = 1 + 0,406 825 512 96;
  • 37) 0,406 825 512 96 × 2 = 0 + 0,813 651 025 92;
  • 38) 0,813 651 025 92 × 2 = 1 + 0,627 302 051 84;
  • 39) 0,627 302 051 84 × 2 = 1 + 0,254 604 103 68;
  • 40) 0,254 604 103 68 × 2 = 0 + 0,509 208 207 36;
  • 41) 0,509 208 207 36 × 2 = 1 + 0,018 416 414 72;
  • 42) 0,018 416 414 72 × 2 = 0 + 0,036 832 829 44;
  • 43) 0,036 832 829 44 × 2 = 0 + 0,073 665 658 88;
  • 44) 0,073 665 658 88 × 2 = 0 + 0,147 331 317 76;
  • 45) 0,147 331 317 76 × 2 = 0 + 0,294 662 635 52;
  • 46) 0,294 662 635 52 × 2 = 0 + 0,589 325 271 04;
  • 47) 0,589 325 271 04 × 2 = 1 + 0,178 650 542 08;
  • 48) 0,178 650 542 08 × 2 = 0 + 0,357 301 084 16;
  • 49) 0,357 301 084 16 × 2 = 0 + 0,714 602 168 32;
  • 50) 0,714 602 168 32 × 2 = 1 + 0,429 204 336 64;
  • 51) 0,429 204 336 64 × 2 = 0 + 0,858 408 673 28;
  • 52) 0,858 408 673 28 × 2 = 1 + 0,716 817 346 56;
  • 53) 0,716 817 346 56 × 2 = 1 + 0,433 634 693 12;
  • 54) 0,433 634 693 12 × 2 = 0 + 0,867 269 386 24;
  • 55) 0,867 269 386 24 × 2 = 1 + 0,734 538 772 48;
  • 56) 0,734 538 772 48 × 2 = 1 + 0,469 077 544 96;
  • 57) 0,469 077 544 96 × 2 = 0 + 0,938 155 089 92;
  • 58) 0,938 155 089 92 × 2 = 1 + 0,876 310 179 84;
  • 59) 0,876 310 179 84 × 2 = 1 + 0,752 620 359 68;
  • 60) 0,752 620 359 68 × 2 = 1 + 0,505 240 719 36;
  • 61) 0,505 240 719 36 × 2 = 1 + 0,010 481 438 72;
  • 62) 0,010 481 438 72 × 2 = 0 + 0,020 962 877 44;
  • 63) 0,020 962 877 44 × 2 = 0 + 0,041 925 754 88;
  • 64) 0,041 925 754 88 × 2 = 0 + 0,083 851 509 76;
  • 65) 0,083 851 509 76 × 2 = 0 + 0,167 703 019 52;
  • 66) 0,167 703 019 52 × 2 = 0 + 0,335 406 039 04;
  • 67) 0,335 406 039 04 × 2 = 0 + 0,670 812 078 08;
  • 68) 0,670 812 078 08 × 2 = 1 + 0,341 624 156 16;
  • 69) 0,341 624 156 16 × 2 = 0 + 0,683 248 312 32;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 007 820 86(10) =

0,0000 0000 0000 0000 1000 0011 0011 0110 0101 0110 1000 0010 0101 1011 0111 1000 0001 0(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 007 820 86(10) =

0,0000 0000 0000 0000 1000 0011 0011 0110 0101 0110 1000 0010 0101 1011 0111 1000 0001 0(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 17 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 007 820 86(10) =

0,0000 0000 0000 0000 1000 0011 0011 0110 0101 0110 1000 0010 0101 1011 0111 1000 0001 0(2) =

0,0000 0000 0000 0000 1000 0011 0011 0110 0101 0110 1000 0010 0101 1011 0111 1000 0001 0(2) × 20 =

1,0000 0110 0110 1100 1010 1101 0000 0100 1011 0110 1111 0000 0010(2) × 2-17


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -17

Mantisă (nenormalizată):
1,0000 0110 0110 1100 1010 1101 0000 0100 1011 0110 1111 0000 0010


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-17 + 2(11-1) - 1 =

(-17 + 1 023)(10) =

1 006(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 006 : 2 = 503 + 0;
  • 503 : 2 = 251 + 1;
  • 251 : 2 = 125 + 1;
  • 125 : 2 = 62 + 1;
  • 62 : 2 = 31 + 0;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1006(10) =

011 1110 1110(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0000 0110 0110 1100 1010 1101 0000 0100 1011 0110 1111 0000 0010 =

0000 0110 0110 1100 1010 1101 0000 0100 1011 0110 1111 0000 0010


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1110 1110

Mantisă (52 biți) =
0000 0110 0110 1100 1010 1101 0000 0100 1011 0110 1111 0000 0010


Numărul zecimal -0,000 007 820 86 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1110 1110 - 0000 0110 0110 1100 1010 1101 0000 0100 1011 0110 1111 0000 0010

Distribuie

» Scriere -0,000 007 821 37 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 08, 2026 [August]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: August - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100