-0,000 009 142 031 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,000 009 142 031(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,000 009 142 031(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,000 009 142 031| = 0,000 009 142 031


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 009 142 031.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 009 142 031 × 2 = 0 + 0,000 018 284 062;
  • 2) 0,000 018 284 062 × 2 = 0 + 0,000 036 568 124;
  • 3) 0,000 036 568 124 × 2 = 0 + 0,000 073 136 248;
  • 4) 0,000 073 136 248 × 2 = 0 + 0,000 146 272 496;
  • 5) 0,000 146 272 496 × 2 = 0 + 0,000 292 544 992;
  • 6) 0,000 292 544 992 × 2 = 0 + 0,000 585 089 984;
  • 7) 0,000 585 089 984 × 2 = 0 + 0,001 170 179 968;
  • 8) 0,001 170 179 968 × 2 = 0 + 0,002 340 359 936;
  • 9) 0,002 340 359 936 × 2 = 0 + 0,004 680 719 872;
  • 10) 0,004 680 719 872 × 2 = 0 + 0,009 361 439 744;
  • 11) 0,009 361 439 744 × 2 = 0 + 0,018 722 879 488;
  • 12) 0,018 722 879 488 × 2 = 0 + 0,037 445 758 976;
  • 13) 0,037 445 758 976 × 2 = 0 + 0,074 891 517 952;
  • 14) 0,074 891 517 952 × 2 = 0 + 0,149 783 035 904;
  • 15) 0,149 783 035 904 × 2 = 0 + 0,299 566 071 808;
  • 16) 0,299 566 071 808 × 2 = 0 + 0,599 132 143 616;
  • 17) 0,599 132 143 616 × 2 = 1 + 0,198 264 287 232;
  • 18) 0,198 264 287 232 × 2 = 0 + 0,396 528 574 464;
  • 19) 0,396 528 574 464 × 2 = 0 + 0,793 057 148 928;
  • 20) 0,793 057 148 928 × 2 = 1 + 0,586 114 297 856;
  • 21) 0,586 114 297 856 × 2 = 1 + 0,172 228 595 712;
  • 22) 0,172 228 595 712 × 2 = 0 + 0,344 457 191 424;
  • 23) 0,344 457 191 424 × 2 = 0 + 0,688 914 382 848;
  • 24) 0,688 914 382 848 × 2 = 1 + 0,377 828 765 696;
  • 25) 0,377 828 765 696 × 2 = 0 + 0,755 657 531 392;
  • 26) 0,755 657 531 392 × 2 = 1 + 0,511 315 062 784;
  • 27) 0,511 315 062 784 × 2 = 1 + 0,022 630 125 568;
  • 28) 0,022 630 125 568 × 2 = 0 + 0,045 260 251 136;
  • 29) 0,045 260 251 136 × 2 = 0 + 0,090 520 502 272;
  • 30) 0,090 520 502 272 × 2 = 0 + 0,181 041 004 544;
  • 31) 0,181 041 004 544 × 2 = 0 + 0,362 082 009 088;
  • 32) 0,362 082 009 088 × 2 = 0 + 0,724 164 018 176;
  • 33) 0,724 164 018 176 × 2 = 1 + 0,448 328 036 352;
  • 34) 0,448 328 036 352 × 2 = 0 + 0,896 656 072 704;
  • 35) 0,896 656 072 704 × 2 = 1 + 0,793 312 145 408;
  • 36) 0,793 312 145 408 × 2 = 1 + 0,586 624 290 816;
  • 37) 0,586 624 290 816 × 2 = 1 + 0,173 248 581 632;
  • 38) 0,173 248 581 632 × 2 = 0 + 0,346 497 163 264;
  • 39) 0,346 497 163 264 × 2 = 0 + 0,692 994 326 528;
  • 40) 0,692 994 326 528 × 2 = 1 + 0,385 988 653 056;
  • 41) 0,385 988 653 056 × 2 = 0 + 0,771 977 306 112;
  • 42) 0,771 977 306 112 × 2 = 1 + 0,543 954 612 224;
  • 43) 0,543 954 612 224 × 2 = 1 + 0,087 909 224 448;
  • 44) 0,087 909 224 448 × 2 = 0 + 0,175 818 448 896;
  • 45) 0,175 818 448 896 × 2 = 0 + 0,351 636 897 792;
  • 46) 0,351 636 897 792 × 2 = 0 + 0,703 273 795 584;
  • 47) 0,703 273 795 584 × 2 = 1 + 0,406 547 591 168;
  • 48) 0,406 547 591 168 × 2 = 0 + 0,813 095 182 336;
  • 49) 0,813 095 182 336 × 2 = 1 + 0,626 190 364 672;
  • 50) 0,626 190 364 672 × 2 = 1 + 0,252 380 729 344;
  • 51) 0,252 380 729 344 × 2 = 0 + 0,504 761 458 688;
  • 52) 0,504 761 458 688 × 2 = 1 + 0,009 522 917 376;
  • 53) 0,009 522 917 376 × 2 = 0 + 0,019 045 834 752;
  • 54) 0,019 045 834 752 × 2 = 0 + 0,038 091 669 504;
  • 55) 0,038 091 669 504 × 2 = 0 + 0,076 183 339 008;
  • 56) 0,076 183 339 008 × 2 = 0 + 0,152 366 678 016;
  • 57) 0,152 366 678 016 × 2 = 0 + 0,304 733 356 032;
  • 58) 0,304 733 356 032 × 2 = 0 + 0,609 466 712 064;
  • 59) 0,609 466 712 064 × 2 = 1 + 0,218 933 424 128;
  • 60) 0,218 933 424 128 × 2 = 0 + 0,437 866 848 256;
  • 61) 0,437 866 848 256 × 2 = 0 + 0,875 733 696 512;
  • 62) 0,875 733 696 512 × 2 = 1 + 0,751 467 393 024;
  • 63) 0,751 467 393 024 × 2 = 1 + 0,502 934 786 048;
  • 64) 0,502 934 786 048 × 2 = 1 + 0,005 869 572 096;
  • 65) 0,005 869 572 096 × 2 = 0 + 0,011 739 144 192;
  • 66) 0,011 739 144 192 × 2 = 0 + 0,023 478 288 384;
  • 67) 0,023 478 288 384 × 2 = 0 + 0,046 956 576 768;
  • 68) 0,046 956 576 768 × 2 = 0 + 0,093 913 153 536;
  • 69) 0,093 913 153 536 × 2 = 0 + 0,187 826 307 072;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 009 142 031(10) =

0,0000 0000 0000 0000 1001 1001 0110 0000 1011 1001 0110 0010 1101 0000 0010 0111 0000 0(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 009 142 031(10) =

0,0000 0000 0000 0000 1001 1001 0110 0000 1011 1001 0110 0010 1101 0000 0010 0111 0000 0(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 17 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 009 142 031(10) =

0,0000 0000 0000 0000 1001 1001 0110 0000 1011 1001 0110 0010 1101 0000 0010 0111 0000 0(2) =

0,0000 0000 0000 0000 1001 1001 0110 0000 1011 1001 0110 0010 1101 0000 0010 0111 0000 0(2) × 20 =

1,0011 0010 1100 0001 0111 0010 1100 0101 1010 0000 0100 1110 0000(2) × 2-17


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -17

Mantisă (nenormalizată):
1,0011 0010 1100 0001 0111 0010 1100 0101 1010 0000 0100 1110 0000


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-17 + 2(11-1) - 1 =

(-17 + 1 023)(10) =

1 006(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 006 : 2 = 503 + 0;
  • 503 : 2 = 251 + 1;
  • 251 : 2 = 125 + 1;
  • 125 : 2 = 62 + 1;
  • 62 : 2 = 31 + 0;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1006(10) =

011 1110 1110(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0011 0010 1100 0001 0111 0010 1100 0101 1010 0000 0100 1110 0000 =

0011 0010 1100 0001 0111 0010 1100 0101 1010 0000 0100 1110 0000


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1110 1110

Mantisă (52 biți) =
0011 0010 1100 0001 0111 0010 1100 0101 1010 0000 0100 1110 0000


Numărul zecimal -0,000 009 142 031 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1110 1110 - 0011 0010 1100 0001 0111 0010 1100 0101 1010 0000 0100 1110 0000

Distribuie

» Scriere -0,000 009 142 084 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 08, 2026 [August]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: August - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100