-0,000 010 414 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,000 010 414(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,000 010 414(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,000 010 414| = 0,000 010 414


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 010 414.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 010 414 × 2 = 0 + 0,000 020 828;
  • 2) 0,000 020 828 × 2 = 0 + 0,000 041 656;
  • 3) 0,000 041 656 × 2 = 0 + 0,000 083 312;
  • 4) 0,000 083 312 × 2 = 0 + 0,000 166 624;
  • 5) 0,000 166 624 × 2 = 0 + 0,000 333 248;
  • 6) 0,000 333 248 × 2 = 0 + 0,000 666 496;
  • 7) 0,000 666 496 × 2 = 0 + 0,001 332 992;
  • 8) 0,001 332 992 × 2 = 0 + 0,002 665 984;
  • 9) 0,002 665 984 × 2 = 0 + 0,005 331 968;
  • 10) 0,005 331 968 × 2 = 0 + 0,010 663 936;
  • 11) 0,010 663 936 × 2 = 0 + 0,021 327 872;
  • 12) 0,021 327 872 × 2 = 0 + 0,042 655 744;
  • 13) 0,042 655 744 × 2 = 0 + 0,085 311 488;
  • 14) 0,085 311 488 × 2 = 0 + 0,170 622 976;
  • 15) 0,170 622 976 × 2 = 0 + 0,341 245 952;
  • 16) 0,341 245 952 × 2 = 0 + 0,682 491 904;
  • 17) 0,682 491 904 × 2 = 1 + 0,364 983 808;
  • 18) 0,364 983 808 × 2 = 0 + 0,729 967 616;
  • 19) 0,729 967 616 × 2 = 1 + 0,459 935 232;
  • 20) 0,459 935 232 × 2 = 0 + 0,919 870 464;
  • 21) 0,919 870 464 × 2 = 1 + 0,839 740 928;
  • 22) 0,839 740 928 × 2 = 1 + 0,679 481 856;
  • 23) 0,679 481 856 × 2 = 1 + 0,358 963 712;
  • 24) 0,358 963 712 × 2 = 0 + 0,717 927 424;
  • 25) 0,717 927 424 × 2 = 1 + 0,435 854 848;
  • 26) 0,435 854 848 × 2 = 0 + 0,871 709 696;
  • 27) 0,871 709 696 × 2 = 1 + 0,743 419 392;
  • 28) 0,743 419 392 × 2 = 1 + 0,486 838 784;
  • 29) 0,486 838 784 × 2 = 0 + 0,973 677 568;
  • 30) 0,973 677 568 × 2 = 1 + 0,947 355 136;
  • 31) 0,947 355 136 × 2 = 1 + 0,894 710 272;
  • 32) 0,894 710 272 × 2 = 1 + 0,789 420 544;
  • 33) 0,789 420 544 × 2 = 1 + 0,578 841 088;
  • 34) 0,578 841 088 × 2 = 1 + 0,157 682 176;
  • 35) 0,157 682 176 × 2 = 0 + 0,315 364 352;
  • 36) 0,315 364 352 × 2 = 0 + 0,630 728 704;
  • 37) 0,630 728 704 × 2 = 1 + 0,261 457 408;
  • 38) 0,261 457 408 × 2 = 0 + 0,522 914 816;
  • 39) 0,522 914 816 × 2 = 1 + 0,045 829 632;
  • 40) 0,045 829 632 × 2 = 0 + 0,091 659 264;
  • 41) 0,091 659 264 × 2 = 0 + 0,183 318 528;
  • 42) 0,183 318 528 × 2 = 0 + 0,366 637 056;
  • 43) 0,366 637 056 × 2 = 0 + 0,733 274 112;
  • 44) 0,733 274 112 × 2 = 1 + 0,466 548 224;
  • 45) 0,466 548 224 × 2 = 0 + 0,933 096 448;
  • 46) 0,933 096 448 × 2 = 1 + 0,866 192 896;
  • 47) 0,866 192 896 × 2 = 1 + 0,732 385 792;
  • 48) 0,732 385 792 × 2 = 1 + 0,464 771 584;
  • 49) 0,464 771 584 × 2 = 0 + 0,929 543 168;
  • 50) 0,929 543 168 × 2 = 1 + 0,859 086 336;
  • 51) 0,859 086 336 × 2 = 1 + 0,718 172 672;
  • 52) 0,718 172 672 × 2 = 1 + 0,436 345 344;
  • 53) 0,436 345 344 × 2 = 0 + 0,872 690 688;
  • 54) 0,872 690 688 × 2 = 1 + 0,745 381 376;
  • 55) 0,745 381 376 × 2 = 1 + 0,490 762 752;
  • 56) 0,490 762 752 × 2 = 0 + 0,981 525 504;
  • 57) 0,981 525 504 × 2 = 1 + 0,963 051 008;
  • 58) 0,963 051 008 × 2 = 1 + 0,926 102 016;
  • 59) 0,926 102 016 × 2 = 1 + 0,852 204 032;
  • 60) 0,852 204 032 × 2 = 1 + 0,704 408 064;
  • 61) 0,704 408 064 × 2 = 1 + 0,408 816 128;
  • 62) 0,408 816 128 × 2 = 0 + 0,817 632 256;
  • 63) 0,817 632 256 × 2 = 1 + 0,635 264 512;
  • 64) 0,635 264 512 × 2 = 1 + 0,270 529 024;
  • 65) 0,270 529 024 × 2 = 0 + 0,541 058 048;
  • 66) 0,541 058 048 × 2 = 1 + 0,082 116 096;
  • 67) 0,082 116 096 × 2 = 0 + 0,164 232 192;
  • 68) 0,164 232 192 × 2 = 0 + 0,328 464 384;
  • 69) 0,328 464 384 × 2 = 0 + 0,656 928 768;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 010 414(10) =

0,0000 0000 0000 0000 1010 1110 1011 0111 1100 1010 0001 0111 0111 0110 1111 1011 0100 0(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 010 414(10) =

0,0000 0000 0000 0000 1010 1110 1011 0111 1100 1010 0001 0111 0111 0110 1111 1011 0100 0(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 17 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 010 414(10) =

0,0000 0000 0000 0000 1010 1110 1011 0111 1100 1010 0001 0111 0111 0110 1111 1011 0100 0(2) =

0,0000 0000 0000 0000 1010 1110 1011 0111 1100 1010 0001 0111 0111 0110 1111 1011 0100 0(2) × 20 =

1,0101 1101 0110 1111 1001 0100 0010 1110 1110 1101 1111 0110 1000(2) × 2-17


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -17

Mantisă (nenormalizată):
1,0101 1101 0110 1111 1001 0100 0010 1110 1110 1101 1111 0110 1000


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-17 + 2(11-1) - 1 =

(-17 + 1 023)(10) =

1 006(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 006 : 2 = 503 + 0;
  • 503 : 2 = 251 + 1;
  • 251 : 2 = 125 + 1;
  • 125 : 2 = 62 + 1;
  • 62 : 2 = 31 + 0;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1006(10) =

011 1110 1110(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0101 1101 0110 1111 1001 0100 0010 1110 1110 1101 1111 0110 1000 =

0101 1101 0110 1111 1001 0100 0010 1110 1110 1101 1111 0110 1000


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1110 1110

Mantisă (52 biți) =
0101 1101 0110 1111 1001 0100 0010 1110 1110 1101 1111 0110 1000


Numărul zecimal -0,000 010 414 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1110 1110 - 0101 1101 0110 1111 1001 0100 0010 1110 1110 1101 1111 0110 1000

» Scriere -0,000 010 469 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 10, 2026 [Octombrie]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Octombrie - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100