-0,000 035 666 763 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,000 035 666 763(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,000 035 666 763(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,000 035 666 763| = 0,000 035 666 763


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 035 666 763.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 035 666 763 × 2 = 0 + 0,000 071 333 526;
  • 2) 0,000 071 333 526 × 2 = 0 + 0,000 142 667 052;
  • 3) 0,000 142 667 052 × 2 = 0 + 0,000 285 334 104;
  • 4) 0,000 285 334 104 × 2 = 0 + 0,000 570 668 208;
  • 5) 0,000 570 668 208 × 2 = 0 + 0,001 141 336 416;
  • 6) 0,001 141 336 416 × 2 = 0 + 0,002 282 672 832;
  • 7) 0,002 282 672 832 × 2 = 0 + 0,004 565 345 664;
  • 8) 0,004 565 345 664 × 2 = 0 + 0,009 130 691 328;
  • 9) 0,009 130 691 328 × 2 = 0 + 0,018 261 382 656;
  • 10) 0,018 261 382 656 × 2 = 0 + 0,036 522 765 312;
  • 11) 0,036 522 765 312 × 2 = 0 + 0,073 045 530 624;
  • 12) 0,073 045 530 624 × 2 = 0 + 0,146 091 061 248;
  • 13) 0,146 091 061 248 × 2 = 0 + 0,292 182 122 496;
  • 14) 0,292 182 122 496 × 2 = 0 + 0,584 364 244 992;
  • 15) 0,584 364 244 992 × 2 = 1 + 0,168 728 489 984;
  • 16) 0,168 728 489 984 × 2 = 0 + 0,337 456 979 968;
  • 17) 0,337 456 979 968 × 2 = 0 + 0,674 913 959 936;
  • 18) 0,674 913 959 936 × 2 = 1 + 0,349 827 919 872;
  • 19) 0,349 827 919 872 × 2 = 0 + 0,699 655 839 744;
  • 20) 0,699 655 839 744 × 2 = 1 + 0,399 311 679 488;
  • 21) 0,399 311 679 488 × 2 = 0 + 0,798 623 358 976;
  • 22) 0,798 623 358 976 × 2 = 1 + 0,597 246 717 952;
  • 23) 0,597 246 717 952 × 2 = 1 + 0,194 493 435 904;
  • 24) 0,194 493 435 904 × 2 = 0 + 0,388 986 871 808;
  • 25) 0,388 986 871 808 × 2 = 0 + 0,777 973 743 616;
  • 26) 0,777 973 743 616 × 2 = 1 + 0,555 947 487 232;
  • 27) 0,555 947 487 232 × 2 = 1 + 0,111 894 974 464;
  • 28) 0,111 894 974 464 × 2 = 0 + 0,223 789 948 928;
  • 29) 0,223 789 948 928 × 2 = 0 + 0,447 579 897 856;
  • 30) 0,447 579 897 856 × 2 = 0 + 0,895 159 795 712;
  • 31) 0,895 159 795 712 × 2 = 1 + 0,790 319 591 424;
  • 32) 0,790 319 591 424 × 2 = 1 + 0,580 639 182 848;
  • 33) 0,580 639 182 848 × 2 = 1 + 0,161 278 365 696;
  • 34) 0,161 278 365 696 × 2 = 0 + 0,322 556 731 392;
  • 35) 0,322 556 731 392 × 2 = 0 + 0,645 113 462 784;
  • 36) 0,645 113 462 784 × 2 = 1 + 0,290 226 925 568;
  • 37) 0,290 226 925 568 × 2 = 0 + 0,580 453 851 136;
  • 38) 0,580 453 851 136 × 2 = 1 + 0,160 907 702 272;
  • 39) 0,160 907 702 272 × 2 = 0 + 0,321 815 404 544;
  • 40) 0,321 815 404 544 × 2 = 0 + 0,643 630 809 088;
  • 41) 0,643 630 809 088 × 2 = 1 + 0,287 261 618 176;
  • 42) 0,287 261 618 176 × 2 = 0 + 0,574 523 236 352;
  • 43) 0,574 523 236 352 × 2 = 1 + 0,149 046 472 704;
  • 44) 0,149 046 472 704 × 2 = 0 + 0,298 092 945 408;
  • 45) 0,298 092 945 408 × 2 = 0 + 0,596 185 890 816;
  • 46) 0,596 185 890 816 × 2 = 1 + 0,192 371 781 632;
  • 47) 0,192 371 781 632 × 2 = 0 + 0,384 743 563 264;
  • 48) 0,384 743 563 264 × 2 = 0 + 0,769 487 126 528;
  • 49) 0,769 487 126 528 × 2 = 1 + 0,538 974 253 056;
  • 50) 0,538 974 253 056 × 2 = 1 + 0,077 948 506 112;
  • 51) 0,077 948 506 112 × 2 = 0 + 0,155 897 012 224;
  • 52) 0,155 897 012 224 × 2 = 0 + 0,311 794 024 448;
  • 53) 0,311 794 024 448 × 2 = 0 + 0,623 588 048 896;
  • 54) 0,623 588 048 896 × 2 = 1 + 0,247 176 097 792;
  • 55) 0,247 176 097 792 × 2 = 0 + 0,494 352 195 584;
  • 56) 0,494 352 195 584 × 2 = 0 + 0,988 704 391 168;
  • 57) 0,988 704 391 168 × 2 = 1 + 0,977 408 782 336;
  • 58) 0,977 408 782 336 × 2 = 1 + 0,954 817 564 672;
  • 59) 0,954 817 564 672 × 2 = 1 + 0,909 635 129 344;
  • 60) 0,909 635 129 344 × 2 = 1 + 0,819 270 258 688;
  • 61) 0,819 270 258 688 × 2 = 1 + 0,638 540 517 376;
  • 62) 0,638 540 517 376 × 2 = 1 + 0,277 081 034 752;
  • 63) 0,277 081 034 752 × 2 = 0 + 0,554 162 069 504;
  • 64) 0,554 162 069 504 × 2 = 1 + 0,108 324 139 008;
  • 65) 0,108 324 139 008 × 2 = 0 + 0,216 648 278 016;
  • 66) 0,216 648 278 016 × 2 = 0 + 0,433 296 556 032;
  • 67) 0,433 296 556 032 × 2 = 0 + 0,866 593 112 064;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 035 666 763(10) =

0,0000 0000 0000 0010 0101 0110 0110 0011 1001 0100 1010 0100 1100 0100 1111 1101 000(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 035 666 763(10) =

0,0000 0000 0000 0010 0101 0110 0110 0011 1001 0100 1010 0100 1100 0100 1111 1101 000(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 15 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 035 666 763(10) =

0,0000 0000 0000 0010 0101 0110 0110 0011 1001 0100 1010 0100 1100 0100 1111 1101 000(2) =

0,0000 0000 0000 0010 0101 0110 0110 0011 1001 0100 1010 0100 1100 0100 1111 1101 000(2) × 20 =

1,0010 1011 0011 0001 1100 1010 0101 0010 0110 0010 0111 1110 1000(2) × 2-15


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -15

Mantisă (nenormalizată):
1,0010 1011 0011 0001 1100 1010 0101 0010 0110 0010 0111 1110 1000


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-15 + 2(11-1) - 1 =

(-15 + 1 023)(10) =

1 008(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 008 : 2 = 504 + 0;
  • 504 : 2 = 252 + 0;
  • 252 : 2 = 126 + 0;
  • 126 : 2 = 63 + 0;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1008(10) =

011 1111 0000(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0010 1011 0011 0001 1100 1010 0101 0010 0110 0010 0111 1110 1000 =

0010 1011 0011 0001 1100 1010 0101 0010 0110 0010 0111 1110 1000


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1111 0000

Mantisă (52 biți) =
0010 1011 0011 0001 1100 1010 0101 0010 0110 0010 0111 1110 1000


Numărul zecimal -0,000 035 666 763 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1111 0000 - 0010 1011 0011 0001 1100 1010 0101 0010 0110 0010 0111 1110 1000

Distribuie

» Scriere -0,000 035 666 792 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 07, 2026 [Iulie]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Iulie - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100