-0,000 035 666 829 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,000 035 666 829(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,000 035 666 829(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,000 035 666 829| = 0,000 035 666 829


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 035 666 829.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 035 666 829 × 2 = 0 + 0,000 071 333 658;
  • 2) 0,000 071 333 658 × 2 = 0 + 0,000 142 667 316;
  • 3) 0,000 142 667 316 × 2 = 0 + 0,000 285 334 632;
  • 4) 0,000 285 334 632 × 2 = 0 + 0,000 570 669 264;
  • 5) 0,000 570 669 264 × 2 = 0 + 0,001 141 338 528;
  • 6) 0,001 141 338 528 × 2 = 0 + 0,002 282 677 056;
  • 7) 0,002 282 677 056 × 2 = 0 + 0,004 565 354 112;
  • 8) 0,004 565 354 112 × 2 = 0 + 0,009 130 708 224;
  • 9) 0,009 130 708 224 × 2 = 0 + 0,018 261 416 448;
  • 10) 0,018 261 416 448 × 2 = 0 + 0,036 522 832 896;
  • 11) 0,036 522 832 896 × 2 = 0 + 0,073 045 665 792;
  • 12) 0,073 045 665 792 × 2 = 0 + 0,146 091 331 584;
  • 13) 0,146 091 331 584 × 2 = 0 + 0,292 182 663 168;
  • 14) 0,292 182 663 168 × 2 = 0 + 0,584 365 326 336;
  • 15) 0,584 365 326 336 × 2 = 1 + 0,168 730 652 672;
  • 16) 0,168 730 652 672 × 2 = 0 + 0,337 461 305 344;
  • 17) 0,337 461 305 344 × 2 = 0 + 0,674 922 610 688;
  • 18) 0,674 922 610 688 × 2 = 1 + 0,349 845 221 376;
  • 19) 0,349 845 221 376 × 2 = 0 + 0,699 690 442 752;
  • 20) 0,699 690 442 752 × 2 = 1 + 0,399 380 885 504;
  • 21) 0,399 380 885 504 × 2 = 0 + 0,798 761 771 008;
  • 22) 0,798 761 771 008 × 2 = 1 + 0,597 523 542 016;
  • 23) 0,597 523 542 016 × 2 = 1 + 0,195 047 084 032;
  • 24) 0,195 047 084 032 × 2 = 0 + 0,390 094 168 064;
  • 25) 0,390 094 168 064 × 2 = 0 + 0,780 188 336 128;
  • 26) 0,780 188 336 128 × 2 = 1 + 0,560 376 672 256;
  • 27) 0,560 376 672 256 × 2 = 1 + 0,120 753 344 512;
  • 28) 0,120 753 344 512 × 2 = 0 + 0,241 506 689 024;
  • 29) 0,241 506 689 024 × 2 = 0 + 0,483 013 378 048;
  • 30) 0,483 013 378 048 × 2 = 0 + 0,966 026 756 096;
  • 31) 0,966 026 756 096 × 2 = 1 + 0,932 053 512 192;
  • 32) 0,932 053 512 192 × 2 = 1 + 0,864 107 024 384;
  • 33) 0,864 107 024 384 × 2 = 1 + 0,728 214 048 768;
  • 34) 0,728 214 048 768 × 2 = 1 + 0,456 428 097 536;
  • 35) 0,456 428 097 536 × 2 = 0 + 0,912 856 195 072;
  • 36) 0,912 856 195 072 × 2 = 1 + 0,825 712 390 144;
  • 37) 0,825 712 390 144 × 2 = 1 + 0,651 424 780 288;
  • 38) 0,651 424 780 288 × 2 = 1 + 0,302 849 560 576;
  • 39) 0,302 849 560 576 × 2 = 0 + 0,605 699 121 152;
  • 40) 0,605 699 121 152 × 2 = 1 + 0,211 398 242 304;
  • 41) 0,211 398 242 304 × 2 = 0 + 0,422 796 484 608;
  • 42) 0,422 796 484 608 × 2 = 0 + 0,845 592 969 216;
  • 43) 0,845 592 969 216 × 2 = 1 + 0,691 185 938 432;
  • 44) 0,691 185 938 432 × 2 = 1 + 0,382 371 876 864;
  • 45) 0,382 371 876 864 × 2 = 0 + 0,764 743 753 728;
  • 46) 0,764 743 753 728 × 2 = 1 + 0,529 487 507 456;
  • 47) 0,529 487 507 456 × 2 = 1 + 0,058 975 014 912;
  • 48) 0,058 975 014 912 × 2 = 0 + 0,117 950 029 824;
  • 49) 0,117 950 029 824 × 2 = 0 + 0,235 900 059 648;
  • 50) 0,235 900 059 648 × 2 = 0 + 0,471 800 119 296;
  • 51) 0,471 800 119 296 × 2 = 0 + 0,943 600 238 592;
  • 52) 0,943 600 238 592 × 2 = 1 + 0,887 200 477 184;
  • 53) 0,887 200 477 184 × 2 = 1 + 0,774 400 954 368;
  • 54) 0,774 400 954 368 × 2 = 1 + 0,548 801 908 736;
  • 55) 0,548 801 908 736 × 2 = 1 + 0,097 603 817 472;
  • 56) 0,097 603 817 472 × 2 = 0 + 0,195 207 634 944;
  • 57) 0,195 207 634 944 × 2 = 0 + 0,390 415 269 888;
  • 58) 0,390 415 269 888 × 2 = 0 + 0,780 830 539 776;
  • 59) 0,780 830 539 776 × 2 = 1 + 0,561 661 079 552;
  • 60) 0,561 661 079 552 × 2 = 1 + 0,123 322 159 104;
  • 61) 0,123 322 159 104 × 2 = 0 + 0,246 644 318 208;
  • 62) 0,246 644 318 208 × 2 = 0 + 0,493 288 636 416;
  • 63) 0,493 288 636 416 × 2 = 0 + 0,986 577 272 832;
  • 64) 0,986 577 272 832 × 2 = 1 + 0,973 154 545 664;
  • 65) 0,973 154 545 664 × 2 = 1 + 0,946 309 091 328;
  • 66) 0,946 309 091 328 × 2 = 1 + 0,892 618 182 656;
  • 67) 0,892 618 182 656 × 2 = 1 + 0,785 236 365 312;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 035 666 829(10) =

0,0000 0000 0000 0010 0101 0110 0110 0011 1101 1101 0011 0110 0001 1110 0011 0001 111(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 035 666 829(10) =

0,0000 0000 0000 0010 0101 0110 0110 0011 1101 1101 0011 0110 0001 1110 0011 0001 111(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 15 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 035 666 829(10) =

0,0000 0000 0000 0010 0101 0110 0110 0011 1101 1101 0011 0110 0001 1110 0011 0001 111(2) =

0,0000 0000 0000 0010 0101 0110 0110 0011 1101 1101 0011 0110 0001 1110 0011 0001 111(2) × 20 =

1,0010 1011 0011 0001 1110 1110 1001 1011 0000 1111 0001 1000 1111(2) × 2-15


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -15

Mantisă (nenormalizată):
1,0010 1011 0011 0001 1110 1110 1001 1011 0000 1111 0001 1000 1111


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-15 + 2(11-1) - 1 =

(-15 + 1 023)(10) =

1 008(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 008 : 2 = 504 + 0;
  • 504 : 2 = 252 + 0;
  • 252 : 2 = 126 + 0;
  • 126 : 2 = 63 + 0;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1008(10) =

011 1111 0000(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0010 1011 0011 0001 1110 1110 1001 1011 0000 1111 0001 1000 1111 =

0010 1011 0011 0001 1110 1110 1001 1011 0000 1111 0001 1000 1111


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1111 0000

Mantisă (52 biți) =
0010 1011 0011 0001 1110 1110 1001 1011 0000 1111 0001 1000 1111


Numărul zecimal -0,000 035 666 829 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1111 0000 - 0010 1011 0011 0001 1110 1110 1001 1011 0000 1111 0001 1000 1111

Distribuie

» Scriere -0,000 035 666 906 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 07, 2026 [Iulie]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Iulie - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100