-0,000 035 666 906 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,000 035 666 906(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,000 035 666 906(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,000 035 666 906| = 0,000 035 666 906


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 035 666 906.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 035 666 906 × 2 = 0 + 0,000 071 333 812;
  • 2) 0,000 071 333 812 × 2 = 0 + 0,000 142 667 624;
  • 3) 0,000 142 667 624 × 2 = 0 + 0,000 285 335 248;
  • 4) 0,000 285 335 248 × 2 = 0 + 0,000 570 670 496;
  • 5) 0,000 570 670 496 × 2 = 0 + 0,001 141 340 992;
  • 6) 0,001 141 340 992 × 2 = 0 + 0,002 282 681 984;
  • 7) 0,002 282 681 984 × 2 = 0 + 0,004 565 363 968;
  • 8) 0,004 565 363 968 × 2 = 0 + 0,009 130 727 936;
  • 9) 0,009 130 727 936 × 2 = 0 + 0,018 261 455 872;
  • 10) 0,018 261 455 872 × 2 = 0 + 0,036 522 911 744;
  • 11) 0,036 522 911 744 × 2 = 0 + 0,073 045 823 488;
  • 12) 0,073 045 823 488 × 2 = 0 + 0,146 091 646 976;
  • 13) 0,146 091 646 976 × 2 = 0 + 0,292 183 293 952;
  • 14) 0,292 183 293 952 × 2 = 0 + 0,584 366 587 904;
  • 15) 0,584 366 587 904 × 2 = 1 + 0,168 733 175 808;
  • 16) 0,168 733 175 808 × 2 = 0 + 0,337 466 351 616;
  • 17) 0,337 466 351 616 × 2 = 0 + 0,674 932 703 232;
  • 18) 0,674 932 703 232 × 2 = 1 + 0,349 865 406 464;
  • 19) 0,349 865 406 464 × 2 = 0 + 0,699 730 812 928;
  • 20) 0,699 730 812 928 × 2 = 1 + 0,399 461 625 856;
  • 21) 0,399 461 625 856 × 2 = 0 + 0,798 923 251 712;
  • 22) 0,798 923 251 712 × 2 = 1 + 0,597 846 503 424;
  • 23) 0,597 846 503 424 × 2 = 1 + 0,195 693 006 848;
  • 24) 0,195 693 006 848 × 2 = 0 + 0,391 386 013 696;
  • 25) 0,391 386 013 696 × 2 = 0 + 0,782 772 027 392;
  • 26) 0,782 772 027 392 × 2 = 1 + 0,565 544 054 784;
  • 27) 0,565 544 054 784 × 2 = 1 + 0,131 088 109 568;
  • 28) 0,131 088 109 568 × 2 = 0 + 0,262 176 219 136;
  • 29) 0,262 176 219 136 × 2 = 0 + 0,524 352 438 272;
  • 30) 0,524 352 438 272 × 2 = 1 + 0,048 704 876 544;
  • 31) 0,048 704 876 544 × 2 = 0 + 0,097 409 753 088;
  • 32) 0,097 409 753 088 × 2 = 0 + 0,194 819 506 176;
  • 33) 0,194 819 506 176 × 2 = 0 + 0,389 639 012 352;
  • 34) 0,389 639 012 352 × 2 = 0 + 0,779 278 024 704;
  • 35) 0,779 278 024 704 × 2 = 1 + 0,558 556 049 408;
  • 36) 0,558 556 049 408 × 2 = 1 + 0,117 112 098 816;
  • 37) 0,117 112 098 816 × 2 = 0 + 0,234 224 197 632;
  • 38) 0,234 224 197 632 × 2 = 0 + 0,468 448 395 264;
  • 39) 0,468 448 395 264 × 2 = 0 + 0,936 896 790 528;
  • 40) 0,936 896 790 528 × 2 = 1 + 0,873 793 581 056;
  • 41) 0,873 793 581 056 × 2 = 1 + 0,747 587 162 112;
  • 42) 0,747 587 162 112 × 2 = 1 + 0,495 174 324 224;
  • 43) 0,495 174 324 224 × 2 = 0 + 0,990 348 648 448;
  • 44) 0,990 348 648 448 × 2 = 1 + 0,980 697 296 896;
  • 45) 0,980 697 296 896 × 2 = 1 + 0,961 394 593 792;
  • 46) 0,961 394 593 792 × 2 = 1 + 0,922 789 187 584;
  • 47) 0,922 789 187 584 × 2 = 1 + 0,845 578 375 168;
  • 48) 0,845 578 375 168 × 2 = 1 + 0,691 156 750 336;
  • 49) 0,691 156 750 336 × 2 = 1 + 0,382 313 500 672;
  • 50) 0,382 313 500 672 × 2 = 0 + 0,764 627 001 344;
  • 51) 0,764 627 001 344 × 2 = 1 + 0,529 254 002 688;
  • 52) 0,529 254 002 688 × 2 = 1 + 0,058 508 005 376;
  • 53) 0,058 508 005 376 × 2 = 0 + 0,117 016 010 752;
  • 54) 0,117 016 010 752 × 2 = 0 + 0,234 032 021 504;
  • 55) 0,234 032 021 504 × 2 = 0 + 0,468 064 043 008;
  • 56) 0,468 064 043 008 × 2 = 0 + 0,936 128 086 016;
  • 57) 0,936 128 086 016 × 2 = 1 + 0,872 256 172 032;
  • 58) 0,872 256 172 032 × 2 = 1 + 0,744 512 344 064;
  • 59) 0,744 512 344 064 × 2 = 1 + 0,489 024 688 128;
  • 60) 0,489 024 688 128 × 2 = 0 + 0,978 049 376 256;
  • 61) 0,978 049 376 256 × 2 = 1 + 0,956 098 752 512;
  • 62) 0,956 098 752 512 × 2 = 1 + 0,912 197 505 024;
  • 63) 0,912 197 505 024 × 2 = 1 + 0,824 395 010 048;
  • 64) 0,824 395 010 048 × 2 = 1 + 0,648 790 020 096;
  • 65) 0,648 790 020 096 × 2 = 1 + 0,297 580 040 192;
  • 66) 0,297 580 040 192 × 2 = 0 + 0,595 160 080 384;
  • 67) 0,595 160 080 384 × 2 = 1 + 0,190 320 160 768;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 035 666 906(10) =

0,0000 0000 0000 0010 0101 0110 0110 0100 0011 0001 1101 1111 1011 0000 1110 1111 101(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 035 666 906(10) =

0,0000 0000 0000 0010 0101 0110 0110 0100 0011 0001 1101 1111 1011 0000 1110 1111 101(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 15 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 035 666 906(10) =

0,0000 0000 0000 0010 0101 0110 0110 0100 0011 0001 1101 1111 1011 0000 1110 1111 101(2) =

0,0000 0000 0000 0010 0101 0110 0110 0100 0011 0001 1101 1111 1011 0000 1110 1111 101(2) × 20 =

1,0010 1011 0011 0010 0001 1000 1110 1111 1101 1000 0111 0111 1101(2) × 2-15


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -15

Mantisă (nenormalizată):
1,0010 1011 0011 0010 0001 1000 1110 1111 1101 1000 0111 0111 1101


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-15 + 2(11-1) - 1 =

(-15 + 1 023)(10) =

1 008(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 008 : 2 = 504 + 0;
  • 504 : 2 = 252 + 0;
  • 252 : 2 = 126 + 0;
  • 126 : 2 = 63 + 0;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1008(10) =

011 1111 0000(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0010 1011 0011 0010 0001 1000 1110 1111 1101 1000 0111 0111 1101 =

0010 1011 0011 0010 0001 1000 1110 1111 1101 1000 0111 0111 1101


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1111 0000

Mantisă (52 biți) =
0010 1011 0011 0010 0001 1000 1110 1111 1101 1000 0111 0111 1101


Numărul zecimal -0,000 035 666 906 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1111 0000 - 0010 1011 0011 0010 0001 1000 1110 1111 1101 1000 0111 0111 1101

Distribuie

» Scriere -0,000 035 666 975 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 07, 2026 [Iulie]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Iulie - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100