-0,000 035 666 835 254 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,000 035 666 835 254(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,000 035 666 835 254(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,000 035 666 835 254| = 0,000 035 666 835 254


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 035 666 835 254.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 035 666 835 254 × 2 = 0 + 0,000 071 333 670 508;
  • 2) 0,000 071 333 670 508 × 2 = 0 + 0,000 142 667 341 016;
  • 3) 0,000 142 667 341 016 × 2 = 0 + 0,000 285 334 682 032;
  • 4) 0,000 285 334 682 032 × 2 = 0 + 0,000 570 669 364 064;
  • 5) 0,000 570 669 364 064 × 2 = 0 + 0,001 141 338 728 128;
  • 6) 0,001 141 338 728 128 × 2 = 0 + 0,002 282 677 456 256;
  • 7) 0,002 282 677 456 256 × 2 = 0 + 0,004 565 354 912 512;
  • 8) 0,004 565 354 912 512 × 2 = 0 + 0,009 130 709 825 024;
  • 9) 0,009 130 709 825 024 × 2 = 0 + 0,018 261 419 650 048;
  • 10) 0,018 261 419 650 048 × 2 = 0 + 0,036 522 839 300 096;
  • 11) 0,036 522 839 300 096 × 2 = 0 + 0,073 045 678 600 192;
  • 12) 0,073 045 678 600 192 × 2 = 0 + 0,146 091 357 200 384;
  • 13) 0,146 091 357 200 384 × 2 = 0 + 0,292 182 714 400 768;
  • 14) 0,292 182 714 400 768 × 2 = 0 + 0,584 365 428 801 536;
  • 15) 0,584 365 428 801 536 × 2 = 1 + 0,168 730 857 603 072;
  • 16) 0,168 730 857 603 072 × 2 = 0 + 0,337 461 715 206 144;
  • 17) 0,337 461 715 206 144 × 2 = 0 + 0,674 923 430 412 288;
  • 18) 0,674 923 430 412 288 × 2 = 1 + 0,349 846 860 824 576;
  • 19) 0,349 846 860 824 576 × 2 = 0 + 0,699 693 721 649 152;
  • 20) 0,699 693 721 649 152 × 2 = 1 + 0,399 387 443 298 304;
  • 21) 0,399 387 443 298 304 × 2 = 0 + 0,798 774 886 596 608;
  • 22) 0,798 774 886 596 608 × 2 = 1 + 0,597 549 773 193 216;
  • 23) 0,597 549 773 193 216 × 2 = 1 + 0,195 099 546 386 432;
  • 24) 0,195 099 546 386 432 × 2 = 0 + 0,390 199 092 772 864;
  • 25) 0,390 199 092 772 864 × 2 = 0 + 0,780 398 185 545 728;
  • 26) 0,780 398 185 545 728 × 2 = 1 + 0,560 796 371 091 456;
  • 27) 0,560 796 371 091 456 × 2 = 1 + 0,121 592 742 182 912;
  • 28) 0,121 592 742 182 912 × 2 = 0 + 0,243 185 484 365 824;
  • 29) 0,243 185 484 365 824 × 2 = 0 + 0,486 370 968 731 648;
  • 30) 0,486 370 968 731 648 × 2 = 0 + 0,972 741 937 463 296;
  • 31) 0,972 741 937 463 296 × 2 = 1 + 0,945 483 874 926 592;
  • 32) 0,945 483 874 926 592 × 2 = 1 + 0,890 967 749 853 184;
  • 33) 0,890 967 749 853 184 × 2 = 1 + 0,781 935 499 706 368;
  • 34) 0,781 935 499 706 368 × 2 = 1 + 0,563 870 999 412 736;
  • 35) 0,563 870 999 412 736 × 2 = 1 + 0,127 741 998 825 472;
  • 36) 0,127 741 998 825 472 × 2 = 0 + 0,255 483 997 650 944;
  • 37) 0,255 483 997 650 944 × 2 = 0 + 0,510 967 995 301 888;
  • 38) 0,510 967 995 301 888 × 2 = 1 + 0,021 935 990 603 776;
  • 39) 0,021 935 990 603 776 × 2 = 0 + 0,043 871 981 207 552;
  • 40) 0,043 871 981 207 552 × 2 = 0 + 0,087 743 962 415 104;
  • 41) 0,087 743 962 415 104 × 2 = 0 + 0,175 487 924 830 208;
  • 42) 0,175 487 924 830 208 × 2 = 0 + 0,350 975 849 660 416;
  • 43) 0,350 975 849 660 416 × 2 = 0 + 0,701 951 699 320 832;
  • 44) 0,701 951 699 320 832 × 2 = 1 + 0,403 903 398 641 664;
  • 45) 0,403 903 398 641 664 × 2 = 0 + 0,807 806 797 283 328;
  • 46) 0,807 806 797 283 328 × 2 = 1 + 0,615 613 594 566 656;
  • 47) 0,615 613 594 566 656 × 2 = 1 + 0,231 227 189 133 312;
  • 48) 0,231 227 189 133 312 × 2 = 0 + 0,462 454 378 266 624;
  • 49) 0,462 454 378 266 624 × 2 = 0 + 0,924 908 756 533 248;
  • 50) 0,924 908 756 533 248 × 2 = 1 + 0,849 817 513 066 496;
  • 51) 0,849 817 513 066 496 × 2 = 1 + 0,699 635 026 132 992;
  • 52) 0,699 635 026 132 992 × 2 = 1 + 0,399 270 052 265 984;
  • 53) 0,399 270 052 265 984 × 2 = 0 + 0,798 540 104 531 968;
  • 54) 0,798 540 104 531 968 × 2 = 1 + 0,597 080 209 063 936;
  • 55) 0,597 080 209 063 936 × 2 = 1 + 0,194 160 418 127 872;
  • 56) 0,194 160 418 127 872 × 2 = 0 + 0,388 320 836 255 744;
  • 57) 0,388 320 836 255 744 × 2 = 0 + 0,776 641 672 511 488;
  • 58) 0,776 641 672 511 488 × 2 = 1 + 0,553 283 345 022 976;
  • 59) 0,553 283 345 022 976 × 2 = 1 + 0,106 566 690 045 952;
  • 60) 0,106 566 690 045 952 × 2 = 0 + 0,213 133 380 091 904;
  • 61) 0,213 133 380 091 904 × 2 = 0 + 0,426 266 760 183 808;
  • 62) 0,426 266 760 183 808 × 2 = 0 + 0,852 533 520 367 616;
  • 63) 0,852 533 520 367 616 × 2 = 1 + 0,705 067 040 735 232;
  • 64) 0,705 067 040 735 232 × 2 = 1 + 0,410 134 081 470 464;
  • 65) 0,410 134 081 470 464 × 2 = 0 + 0,820 268 162 940 928;
  • 66) 0,820 268 162 940 928 × 2 = 1 + 0,640 536 325 881 856;
  • 67) 0,640 536 325 881 856 × 2 = 1 + 0,281 072 651 763 712;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 035 666 835 254(10) =

0,0000 0000 0000 0010 0101 0110 0110 0011 1110 0100 0001 0110 0111 0110 0110 0011 011(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 035 666 835 254(10) =

0,0000 0000 0000 0010 0101 0110 0110 0011 1110 0100 0001 0110 0111 0110 0110 0011 011(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 15 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 035 666 835 254(10) =

0,0000 0000 0000 0010 0101 0110 0110 0011 1110 0100 0001 0110 0111 0110 0110 0011 011(2) =

0,0000 0000 0000 0010 0101 0110 0110 0011 1110 0100 0001 0110 0111 0110 0110 0011 011(2) × 20 =

1,0010 1011 0011 0001 1111 0010 0000 1011 0011 1011 0011 0001 1011(2) × 2-15


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -15

Mantisă (nenormalizată):
1,0010 1011 0011 0001 1111 0010 0000 1011 0011 1011 0011 0001 1011


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-15 + 2(11-1) - 1 =

(-15 + 1 023)(10) =

1 008(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 008 : 2 = 504 + 0;
  • 504 : 2 = 252 + 0;
  • 252 : 2 = 126 + 0;
  • 126 : 2 = 63 + 0;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1008(10) =

011 1111 0000(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0010 1011 0011 0001 1111 0010 0000 1011 0011 1011 0011 0001 1011 =

0010 1011 0011 0001 1111 0010 0000 1011 0011 1011 0011 0001 1011


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1111 0000

Mantisă (52 biți) =
0010 1011 0011 0001 1111 0010 0000 1011 0011 1011 0011 0001 1011


Numărul zecimal -0,000 035 666 835 254 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1111 0000 - 0010 1011 0011 0001 1111 0010 0000 1011 0011 1011 0011 0001 1011

Distribuie

» Scriere -0,000 035 666 835 35 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 08, 2026 [August]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: August - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100