-0,000 035 666 835 299 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,000 035 666 835 299(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,000 035 666 835 299(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,000 035 666 835 299| = 0,000 035 666 835 299


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 035 666 835 299.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 035 666 835 299 × 2 = 0 + 0,000 071 333 670 598;
  • 2) 0,000 071 333 670 598 × 2 = 0 + 0,000 142 667 341 196;
  • 3) 0,000 142 667 341 196 × 2 = 0 + 0,000 285 334 682 392;
  • 4) 0,000 285 334 682 392 × 2 = 0 + 0,000 570 669 364 784;
  • 5) 0,000 570 669 364 784 × 2 = 0 + 0,001 141 338 729 568;
  • 6) 0,001 141 338 729 568 × 2 = 0 + 0,002 282 677 459 136;
  • 7) 0,002 282 677 459 136 × 2 = 0 + 0,004 565 354 918 272;
  • 8) 0,004 565 354 918 272 × 2 = 0 + 0,009 130 709 836 544;
  • 9) 0,009 130 709 836 544 × 2 = 0 + 0,018 261 419 673 088;
  • 10) 0,018 261 419 673 088 × 2 = 0 + 0,036 522 839 346 176;
  • 11) 0,036 522 839 346 176 × 2 = 0 + 0,073 045 678 692 352;
  • 12) 0,073 045 678 692 352 × 2 = 0 + 0,146 091 357 384 704;
  • 13) 0,146 091 357 384 704 × 2 = 0 + 0,292 182 714 769 408;
  • 14) 0,292 182 714 769 408 × 2 = 0 + 0,584 365 429 538 816;
  • 15) 0,584 365 429 538 816 × 2 = 1 + 0,168 730 859 077 632;
  • 16) 0,168 730 859 077 632 × 2 = 0 + 0,337 461 718 155 264;
  • 17) 0,337 461 718 155 264 × 2 = 0 + 0,674 923 436 310 528;
  • 18) 0,674 923 436 310 528 × 2 = 1 + 0,349 846 872 621 056;
  • 19) 0,349 846 872 621 056 × 2 = 0 + 0,699 693 745 242 112;
  • 20) 0,699 693 745 242 112 × 2 = 1 + 0,399 387 490 484 224;
  • 21) 0,399 387 490 484 224 × 2 = 0 + 0,798 774 980 968 448;
  • 22) 0,798 774 980 968 448 × 2 = 1 + 0,597 549 961 936 896;
  • 23) 0,597 549 961 936 896 × 2 = 1 + 0,195 099 923 873 792;
  • 24) 0,195 099 923 873 792 × 2 = 0 + 0,390 199 847 747 584;
  • 25) 0,390 199 847 747 584 × 2 = 0 + 0,780 399 695 495 168;
  • 26) 0,780 399 695 495 168 × 2 = 1 + 0,560 799 390 990 336;
  • 27) 0,560 799 390 990 336 × 2 = 1 + 0,121 598 781 980 672;
  • 28) 0,121 598 781 980 672 × 2 = 0 + 0,243 197 563 961 344;
  • 29) 0,243 197 563 961 344 × 2 = 0 + 0,486 395 127 922 688;
  • 30) 0,486 395 127 922 688 × 2 = 0 + 0,972 790 255 845 376;
  • 31) 0,972 790 255 845 376 × 2 = 1 + 0,945 580 511 690 752;
  • 32) 0,945 580 511 690 752 × 2 = 1 + 0,891 161 023 381 504;
  • 33) 0,891 161 023 381 504 × 2 = 1 + 0,782 322 046 763 008;
  • 34) 0,782 322 046 763 008 × 2 = 1 + 0,564 644 093 526 016;
  • 35) 0,564 644 093 526 016 × 2 = 1 + 0,129 288 187 052 032;
  • 36) 0,129 288 187 052 032 × 2 = 0 + 0,258 576 374 104 064;
  • 37) 0,258 576 374 104 064 × 2 = 0 + 0,517 152 748 208 128;
  • 38) 0,517 152 748 208 128 × 2 = 1 + 0,034 305 496 416 256;
  • 39) 0,034 305 496 416 256 × 2 = 0 + 0,068 610 992 832 512;
  • 40) 0,068 610 992 832 512 × 2 = 0 + 0,137 221 985 665 024;
  • 41) 0,137 221 985 665 024 × 2 = 0 + 0,274 443 971 330 048;
  • 42) 0,274 443 971 330 048 × 2 = 0 + 0,548 887 942 660 096;
  • 43) 0,548 887 942 660 096 × 2 = 1 + 0,097 775 885 320 192;
  • 44) 0,097 775 885 320 192 × 2 = 0 + 0,195 551 770 640 384;
  • 45) 0,195 551 770 640 384 × 2 = 0 + 0,391 103 541 280 768;
  • 46) 0,391 103 541 280 768 × 2 = 0 + 0,782 207 082 561 536;
  • 47) 0,782 207 082 561 536 × 2 = 1 + 0,564 414 165 123 072;
  • 48) 0,564 414 165 123 072 × 2 = 1 + 0,128 828 330 246 144;
  • 49) 0,128 828 330 246 144 × 2 = 0 + 0,257 656 660 492 288;
  • 50) 0,257 656 660 492 288 × 2 = 0 + 0,515 313 320 984 576;
  • 51) 0,515 313 320 984 576 × 2 = 1 + 0,030 626 641 969 152;
  • 52) 0,030 626 641 969 152 × 2 = 0 + 0,061 253 283 938 304;
  • 53) 0,061 253 283 938 304 × 2 = 0 + 0,122 506 567 876 608;
  • 54) 0,122 506 567 876 608 × 2 = 0 + 0,245 013 135 753 216;
  • 55) 0,245 013 135 753 216 × 2 = 0 + 0,490 026 271 506 432;
  • 56) 0,490 026 271 506 432 × 2 = 0 + 0,980 052 543 012 864;
  • 57) 0,980 052 543 012 864 × 2 = 1 + 0,960 105 086 025 728;
  • 58) 0,960 105 086 025 728 × 2 = 1 + 0,920 210 172 051 456;
  • 59) 0,920 210 172 051 456 × 2 = 1 + 0,840 420 344 102 912;
  • 60) 0,840 420 344 102 912 × 2 = 1 + 0,680 840 688 205 824;
  • 61) 0,680 840 688 205 824 × 2 = 1 + 0,361 681 376 411 648;
  • 62) 0,361 681 376 411 648 × 2 = 0 + 0,723 362 752 823 296;
  • 63) 0,723 362 752 823 296 × 2 = 1 + 0,446 725 505 646 592;
  • 64) 0,446 725 505 646 592 × 2 = 0 + 0,893 451 011 293 184;
  • 65) 0,893 451 011 293 184 × 2 = 1 + 0,786 902 022 586 368;
  • 66) 0,786 902 022 586 368 × 2 = 1 + 0,573 804 045 172 736;
  • 67) 0,573 804 045 172 736 × 2 = 1 + 0,147 608 090 345 472;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 035 666 835 299(10) =

0,0000 0000 0000 0010 0101 0110 0110 0011 1110 0100 0010 0011 0010 0000 1111 1010 111(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 035 666 835 299(10) =

0,0000 0000 0000 0010 0101 0110 0110 0011 1110 0100 0010 0011 0010 0000 1111 1010 111(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 15 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 035 666 835 299(10) =

0,0000 0000 0000 0010 0101 0110 0110 0011 1110 0100 0010 0011 0010 0000 1111 1010 111(2) =

0,0000 0000 0000 0010 0101 0110 0110 0011 1110 0100 0010 0011 0010 0000 1111 1010 111(2) × 20 =

1,0010 1011 0011 0001 1111 0010 0001 0001 1001 0000 0111 1101 0111(2) × 2-15


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -15

Mantisă (nenormalizată):
1,0010 1011 0011 0001 1111 0010 0001 0001 1001 0000 0111 1101 0111


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-15 + 2(11-1) - 1 =

(-15 + 1 023)(10) =

1 008(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 008 : 2 = 504 + 0;
  • 504 : 2 = 252 + 0;
  • 252 : 2 = 126 + 0;
  • 126 : 2 = 63 + 0;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1008(10) =

011 1111 0000(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0010 1011 0011 0001 1111 0010 0001 0001 1001 0000 0111 1101 0111 =

0010 1011 0011 0001 1111 0010 0001 0001 1001 0000 0111 1101 0111


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1111 0000

Mantisă (52 biți) =
0010 1011 0011 0001 1111 0010 0001 0001 1001 0000 0111 1101 0111


Numărul zecimal -0,000 035 666 835 299 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1111 0000 - 0010 1011 0011 0001 1111 0010 0001 0001 1001 0000 0111 1101 0111

Distribuie

» Scriere -0,000 035 666 835 256 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 09, 2026 [Septembrie]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Septembrie - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100