-0,000 035 666 835 256 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,000 035 666 835 256(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,000 035 666 835 256(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,000 035 666 835 256| = 0,000 035 666 835 256


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 035 666 835 256.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 035 666 835 256 × 2 = 0 + 0,000 071 333 670 512;
  • 2) 0,000 071 333 670 512 × 2 = 0 + 0,000 142 667 341 024;
  • 3) 0,000 142 667 341 024 × 2 = 0 + 0,000 285 334 682 048;
  • 4) 0,000 285 334 682 048 × 2 = 0 + 0,000 570 669 364 096;
  • 5) 0,000 570 669 364 096 × 2 = 0 + 0,001 141 338 728 192;
  • 6) 0,001 141 338 728 192 × 2 = 0 + 0,002 282 677 456 384;
  • 7) 0,002 282 677 456 384 × 2 = 0 + 0,004 565 354 912 768;
  • 8) 0,004 565 354 912 768 × 2 = 0 + 0,009 130 709 825 536;
  • 9) 0,009 130 709 825 536 × 2 = 0 + 0,018 261 419 651 072;
  • 10) 0,018 261 419 651 072 × 2 = 0 + 0,036 522 839 302 144;
  • 11) 0,036 522 839 302 144 × 2 = 0 + 0,073 045 678 604 288;
  • 12) 0,073 045 678 604 288 × 2 = 0 + 0,146 091 357 208 576;
  • 13) 0,146 091 357 208 576 × 2 = 0 + 0,292 182 714 417 152;
  • 14) 0,292 182 714 417 152 × 2 = 0 + 0,584 365 428 834 304;
  • 15) 0,584 365 428 834 304 × 2 = 1 + 0,168 730 857 668 608;
  • 16) 0,168 730 857 668 608 × 2 = 0 + 0,337 461 715 337 216;
  • 17) 0,337 461 715 337 216 × 2 = 0 + 0,674 923 430 674 432;
  • 18) 0,674 923 430 674 432 × 2 = 1 + 0,349 846 861 348 864;
  • 19) 0,349 846 861 348 864 × 2 = 0 + 0,699 693 722 697 728;
  • 20) 0,699 693 722 697 728 × 2 = 1 + 0,399 387 445 395 456;
  • 21) 0,399 387 445 395 456 × 2 = 0 + 0,798 774 890 790 912;
  • 22) 0,798 774 890 790 912 × 2 = 1 + 0,597 549 781 581 824;
  • 23) 0,597 549 781 581 824 × 2 = 1 + 0,195 099 563 163 648;
  • 24) 0,195 099 563 163 648 × 2 = 0 + 0,390 199 126 327 296;
  • 25) 0,390 199 126 327 296 × 2 = 0 + 0,780 398 252 654 592;
  • 26) 0,780 398 252 654 592 × 2 = 1 + 0,560 796 505 309 184;
  • 27) 0,560 796 505 309 184 × 2 = 1 + 0,121 593 010 618 368;
  • 28) 0,121 593 010 618 368 × 2 = 0 + 0,243 186 021 236 736;
  • 29) 0,243 186 021 236 736 × 2 = 0 + 0,486 372 042 473 472;
  • 30) 0,486 372 042 473 472 × 2 = 0 + 0,972 744 084 946 944;
  • 31) 0,972 744 084 946 944 × 2 = 1 + 0,945 488 169 893 888;
  • 32) 0,945 488 169 893 888 × 2 = 1 + 0,890 976 339 787 776;
  • 33) 0,890 976 339 787 776 × 2 = 1 + 0,781 952 679 575 552;
  • 34) 0,781 952 679 575 552 × 2 = 1 + 0,563 905 359 151 104;
  • 35) 0,563 905 359 151 104 × 2 = 1 + 0,127 810 718 302 208;
  • 36) 0,127 810 718 302 208 × 2 = 0 + 0,255 621 436 604 416;
  • 37) 0,255 621 436 604 416 × 2 = 0 + 0,511 242 873 208 832;
  • 38) 0,511 242 873 208 832 × 2 = 1 + 0,022 485 746 417 664;
  • 39) 0,022 485 746 417 664 × 2 = 0 + 0,044 971 492 835 328;
  • 40) 0,044 971 492 835 328 × 2 = 0 + 0,089 942 985 670 656;
  • 41) 0,089 942 985 670 656 × 2 = 0 + 0,179 885 971 341 312;
  • 42) 0,179 885 971 341 312 × 2 = 0 + 0,359 771 942 682 624;
  • 43) 0,359 771 942 682 624 × 2 = 0 + 0,719 543 885 365 248;
  • 44) 0,719 543 885 365 248 × 2 = 1 + 0,439 087 770 730 496;
  • 45) 0,439 087 770 730 496 × 2 = 0 + 0,878 175 541 460 992;
  • 46) 0,878 175 541 460 992 × 2 = 1 + 0,756 351 082 921 984;
  • 47) 0,756 351 082 921 984 × 2 = 1 + 0,512 702 165 843 968;
  • 48) 0,512 702 165 843 968 × 2 = 1 + 0,025 404 331 687 936;
  • 49) 0,025 404 331 687 936 × 2 = 0 + 0,050 808 663 375 872;
  • 50) 0,050 808 663 375 872 × 2 = 0 + 0,101 617 326 751 744;
  • 51) 0,101 617 326 751 744 × 2 = 0 + 0,203 234 653 503 488;
  • 52) 0,203 234 653 503 488 × 2 = 0 + 0,406 469 307 006 976;
  • 53) 0,406 469 307 006 976 × 2 = 0 + 0,812 938 614 013 952;
  • 54) 0,812 938 614 013 952 × 2 = 1 + 0,625 877 228 027 904;
  • 55) 0,625 877 228 027 904 × 2 = 1 + 0,251 754 456 055 808;
  • 56) 0,251 754 456 055 808 × 2 = 0 + 0,503 508 912 111 616;
  • 57) 0,503 508 912 111 616 × 2 = 1 + 0,007 017 824 223 232;
  • 58) 0,007 017 824 223 232 × 2 = 0 + 0,014 035 648 446 464;
  • 59) 0,014 035 648 446 464 × 2 = 0 + 0,028 071 296 892 928;
  • 60) 0,028 071 296 892 928 × 2 = 0 + 0,056 142 593 785 856;
  • 61) 0,056 142 593 785 856 × 2 = 0 + 0,112 285 187 571 712;
  • 62) 0,112 285 187 571 712 × 2 = 0 + 0,224 570 375 143 424;
  • 63) 0,224 570 375 143 424 × 2 = 0 + 0,449 140 750 286 848;
  • 64) 0,449 140 750 286 848 × 2 = 0 + 0,898 281 500 573 696;
  • 65) 0,898 281 500 573 696 × 2 = 1 + 0,796 563 001 147 392;
  • 66) 0,796 563 001 147 392 × 2 = 1 + 0,593 126 002 294 784;
  • 67) 0,593 126 002 294 784 × 2 = 1 + 0,186 252 004 589 568;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 035 666 835 256(10) =

0,0000 0000 0000 0010 0101 0110 0110 0011 1110 0100 0001 0111 0000 0110 1000 0000 111(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 035 666 835 256(10) =

0,0000 0000 0000 0010 0101 0110 0110 0011 1110 0100 0001 0111 0000 0110 1000 0000 111(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 15 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 035 666 835 256(10) =

0,0000 0000 0000 0010 0101 0110 0110 0011 1110 0100 0001 0111 0000 0110 1000 0000 111(2) =

0,0000 0000 0000 0010 0101 0110 0110 0011 1110 0100 0001 0111 0000 0110 1000 0000 111(2) × 20 =

1,0010 1011 0011 0001 1111 0010 0000 1011 1000 0011 0100 0000 0111(2) × 2-15


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -15

Mantisă (nenormalizată):
1,0010 1011 0011 0001 1111 0010 0000 1011 1000 0011 0100 0000 0111


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-15 + 2(11-1) - 1 =

(-15 + 1 023)(10) =

1 008(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 008 : 2 = 504 + 0;
  • 504 : 2 = 252 + 0;
  • 252 : 2 = 126 + 0;
  • 126 : 2 = 63 + 0;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1008(10) =

011 1111 0000(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0010 1011 0011 0001 1111 0010 0000 1011 1000 0011 0100 0000 0111 =

0010 1011 0011 0001 1111 0010 0000 1011 1000 0011 0100 0000 0111


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1111 0000

Mantisă (52 biți) =
0010 1011 0011 0001 1111 0010 0000 1011 1000 0011 0100 0000 0111


Numărul zecimal -0,000 035 666 835 256 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1111 0000 - 0010 1011 0011 0001 1111 0010 0000 1011 1000 0011 0100 0000 0111

Distribuie

» Scriere -0,000 035 666 835 277 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 09, 2026 [Septembrie]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Septembrie - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100