-0,000 035 666 835 436 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,000 035 666 835 436(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,000 035 666 835 436(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,000 035 666 835 436| = 0,000 035 666 835 436


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 035 666 835 436.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 035 666 835 436 × 2 = 0 + 0,000 071 333 670 872;
  • 2) 0,000 071 333 670 872 × 2 = 0 + 0,000 142 667 341 744;
  • 3) 0,000 142 667 341 744 × 2 = 0 + 0,000 285 334 683 488;
  • 4) 0,000 285 334 683 488 × 2 = 0 + 0,000 570 669 366 976;
  • 5) 0,000 570 669 366 976 × 2 = 0 + 0,001 141 338 733 952;
  • 6) 0,001 141 338 733 952 × 2 = 0 + 0,002 282 677 467 904;
  • 7) 0,002 282 677 467 904 × 2 = 0 + 0,004 565 354 935 808;
  • 8) 0,004 565 354 935 808 × 2 = 0 + 0,009 130 709 871 616;
  • 9) 0,009 130 709 871 616 × 2 = 0 + 0,018 261 419 743 232;
  • 10) 0,018 261 419 743 232 × 2 = 0 + 0,036 522 839 486 464;
  • 11) 0,036 522 839 486 464 × 2 = 0 + 0,073 045 678 972 928;
  • 12) 0,073 045 678 972 928 × 2 = 0 + 0,146 091 357 945 856;
  • 13) 0,146 091 357 945 856 × 2 = 0 + 0,292 182 715 891 712;
  • 14) 0,292 182 715 891 712 × 2 = 0 + 0,584 365 431 783 424;
  • 15) 0,584 365 431 783 424 × 2 = 1 + 0,168 730 863 566 848;
  • 16) 0,168 730 863 566 848 × 2 = 0 + 0,337 461 727 133 696;
  • 17) 0,337 461 727 133 696 × 2 = 0 + 0,674 923 454 267 392;
  • 18) 0,674 923 454 267 392 × 2 = 1 + 0,349 846 908 534 784;
  • 19) 0,349 846 908 534 784 × 2 = 0 + 0,699 693 817 069 568;
  • 20) 0,699 693 817 069 568 × 2 = 1 + 0,399 387 634 139 136;
  • 21) 0,399 387 634 139 136 × 2 = 0 + 0,798 775 268 278 272;
  • 22) 0,798 775 268 278 272 × 2 = 1 + 0,597 550 536 556 544;
  • 23) 0,597 550 536 556 544 × 2 = 1 + 0,195 101 073 113 088;
  • 24) 0,195 101 073 113 088 × 2 = 0 + 0,390 202 146 226 176;
  • 25) 0,390 202 146 226 176 × 2 = 0 + 0,780 404 292 452 352;
  • 26) 0,780 404 292 452 352 × 2 = 1 + 0,560 808 584 904 704;
  • 27) 0,560 808 584 904 704 × 2 = 1 + 0,121 617 169 809 408;
  • 28) 0,121 617 169 809 408 × 2 = 0 + 0,243 234 339 618 816;
  • 29) 0,243 234 339 618 816 × 2 = 0 + 0,486 468 679 237 632;
  • 30) 0,486 468 679 237 632 × 2 = 0 + 0,972 937 358 475 264;
  • 31) 0,972 937 358 475 264 × 2 = 1 + 0,945 874 716 950 528;
  • 32) 0,945 874 716 950 528 × 2 = 1 + 0,891 749 433 901 056;
  • 33) 0,891 749 433 901 056 × 2 = 1 + 0,783 498 867 802 112;
  • 34) 0,783 498 867 802 112 × 2 = 1 + 0,566 997 735 604 224;
  • 35) 0,566 997 735 604 224 × 2 = 1 + 0,133 995 471 208 448;
  • 36) 0,133 995 471 208 448 × 2 = 0 + 0,267 990 942 416 896;
  • 37) 0,267 990 942 416 896 × 2 = 0 + 0,535 981 884 833 792;
  • 38) 0,535 981 884 833 792 × 2 = 1 + 0,071 963 769 667 584;
  • 39) 0,071 963 769 667 584 × 2 = 0 + 0,143 927 539 335 168;
  • 40) 0,143 927 539 335 168 × 2 = 0 + 0,287 855 078 670 336;
  • 41) 0,287 855 078 670 336 × 2 = 0 + 0,575 710 157 340 672;
  • 42) 0,575 710 157 340 672 × 2 = 1 + 0,151 420 314 681 344;
  • 43) 0,151 420 314 681 344 × 2 = 0 + 0,302 840 629 362 688;
  • 44) 0,302 840 629 362 688 × 2 = 0 + 0,605 681 258 725 376;
  • 45) 0,605 681 258 725 376 × 2 = 1 + 0,211 362 517 450 752;
  • 46) 0,211 362 517 450 752 × 2 = 0 + 0,422 725 034 901 504;
  • 47) 0,422 725 034 901 504 × 2 = 0 + 0,845 450 069 803 008;
  • 48) 0,845 450 069 803 008 × 2 = 1 + 0,690 900 139 606 016;
  • 49) 0,690 900 139 606 016 × 2 = 1 + 0,381 800 279 212 032;
  • 50) 0,381 800 279 212 032 × 2 = 0 + 0,763 600 558 424 064;
  • 51) 0,763 600 558 424 064 × 2 = 1 + 0,527 201 116 848 128;
  • 52) 0,527 201 116 848 128 × 2 = 1 + 0,054 402 233 696 256;
  • 53) 0,054 402 233 696 256 × 2 = 0 + 0,108 804 467 392 512;
  • 54) 0,108 804 467 392 512 × 2 = 0 + 0,217 608 934 785 024;
  • 55) 0,217 608 934 785 024 × 2 = 0 + 0,435 217 869 570 048;
  • 56) 0,435 217 869 570 048 × 2 = 0 + 0,870 435 739 140 096;
  • 57) 0,870 435 739 140 096 × 2 = 1 + 0,740 871 478 280 192;
  • 58) 0,740 871 478 280 192 × 2 = 1 + 0,481 742 956 560 384;
  • 59) 0,481 742 956 560 384 × 2 = 0 + 0,963 485 913 120 768;
  • 60) 0,963 485 913 120 768 × 2 = 1 + 0,926 971 826 241 536;
  • 61) 0,926 971 826 241 536 × 2 = 1 + 0,853 943 652 483 072;
  • 62) 0,853 943 652 483 072 × 2 = 1 + 0,707 887 304 966 144;
  • 63) 0,707 887 304 966 144 × 2 = 1 + 0,415 774 609 932 288;
  • 64) 0,415 774 609 932 288 × 2 = 0 + 0,831 549 219 864 576;
  • 65) 0,831 549 219 864 576 × 2 = 1 + 0,663 098 439 729 152;
  • 66) 0,663 098 439 729 152 × 2 = 1 + 0,326 196 879 458 304;
  • 67) 0,326 196 879 458 304 × 2 = 0 + 0,652 393 758 916 608;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 035 666 835 436(10) =

0,0000 0000 0000 0010 0101 0110 0110 0011 1110 0100 0100 1001 1011 0000 1101 1110 110(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 035 666 835 436(10) =

0,0000 0000 0000 0010 0101 0110 0110 0011 1110 0100 0100 1001 1011 0000 1101 1110 110(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 15 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 035 666 835 436(10) =

0,0000 0000 0000 0010 0101 0110 0110 0011 1110 0100 0100 1001 1011 0000 1101 1110 110(2) =

0,0000 0000 0000 0010 0101 0110 0110 0011 1110 0100 0100 1001 1011 0000 1101 1110 110(2) × 20 =

1,0010 1011 0011 0001 1111 0010 0010 0100 1101 1000 0110 1111 0110(2) × 2-15


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -15

Mantisă (nenormalizată):
1,0010 1011 0011 0001 1111 0010 0010 0100 1101 1000 0110 1111 0110


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-15 + 2(11-1) - 1 =

(-15 + 1 023)(10) =

1 008(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 008 : 2 = 504 + 0;
  • 504 : 2 = 252 + 0;
  • 252 : 2 = 126 + 0;
  • 126 : 2 = 63 + 0;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1008(10) =

011 1111 0000(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0010 1011 0011 0001 1111 0010 0010 0100 1101 1000 0110 1111 0110 =

0010 1011 0011 0001 1111 0010 0010 0100 1101 1000 0110 1111 0110


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1111 0000

Mantisă (52 biți) =
0010 1011 0011 0001 1111 0010 0010 0100 1101 1000 0110 1111 0110


Numărul zecimal -0,000 035 666 835 436 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1111 0000 - 0010 1011 0011 0001 1111 0010 0010 0100 1101 1000 0110 1111 0110

Distribuie

» Scriere -0,000 035 666 835 431 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 09, 2026 [Septembrie]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Septembrie - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100