-0,000 035 666 842 2 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,000 035 666 842 2(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,000 035 666 842 2(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,000 035 666 842 2| = 0,000 035 666 842 2


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 035 666 842 2.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 035 666 842 2 × 2 = 0 + 0,000 071 333 684 4;
  • 2) 0,000 071 333 684 4 × 2 = 0 + 0,000 142 667 368 8;
  • 3) 0,000 142 667 368 8 × 2 = 0 + 0,000 285 334 737 6;
  • 4) 0,000 285 334 737 6 × 2 = 0 + 0,000 570 669 475 2;
  • 5) 0,000 570 669 475 2 × 2 = 0 + 0,001 141 338 950 4;
  • 6) 0,001 141 338 950 4 × 2 = 0 + 0,002 282 677 900 8;
  • 7) 0,002 282 677 900 8 × 2 = 0 + 0,004 565 355 801 6;
  • 8) 0,004 565 355 801 6 × 2 = 0 + 0,009 130 711 603 2;
  • 9) 0,009 130 711 603 2 × 2 = 0 + 0,018 261 423 206 4;
  • 10) 0,018 261 423 206 4 × 2 = 0 + 0,036 522 846 412 8;
  • 11) 0,036 522 846 412 8 × 2 = 0 + 0,073 045 692 825 6;
  • 12) 0,073 045 692 825 6 × 2 = 0 + 0,146 091 385 651 2;
  • 13) 0,146 091 385 651 2 × 2 = 0 + 0,292 182 771 302 4;
  • 14) 0,292 182 771 302 4 × 2 = 0 + 0,584 365 542 604 8;
  • 15) 0,584 365 542 604 8 × 2 = 1 + 0,168 731 085 209 6;
  • 16) 0,168 731 085 209 6 × 2 = 0 + 0,337 462 170 419 2;
  • 17) 0,337 462 170 419 2 × 2 = 0 + 0,674 924 340 838 4;
  • 18) 0,674 924 340 838 4 × 2 = 1 + 0,349 848 681 676 8;
  • 19) 0,349 848 681 676 8 × 2 = 0 + 0,699 697 363 353 6;
  • 20) 0,699 697 363 353 6 × 2 = 1 + 0,399 394 726 707 2;
  • 21) 0,399 394 726 707 2 × 2 = 0 + 0,798 789 453 414 4;
  • 22) 0,798 789 453 414 4 × 2 = 1 + 0,597 578 906 828 8;
  • 23) 0,597 578 906 828 8 × 2 = 1 + 0,195 157 813 657 6;
  • 24) 0,195 157 813 657 6 × 2 = 0 + 0,390 315 627 315 2;
  • 25) 0,390 315 627 315 2 × 2 = 0 + 0,780 631 254 630 4;
  • 26) 0,780 631 254 630 4 × 2 = 1 + 0,561 262 509 260 8;
  • 27) 0,561 262 509 260 8 × 2 = 1 + 0,122 525 018 521 6;
  • 28) 0,122 525 018 521 6 × 2 = 0 + 0,245 050 037 043 2;
  • 29) 0,245 050 037 043 2 × 2 = 0 + 0,490 100 074 086 4;
  • 30) 0,490 100 074 086 4 × 2 = 0 + 0,980 200 148 172 8;
  • 31) 0,980 200 148 172 8 × 2 = 1 + 0,960 400 296 345 6;
  • 32) 0,960 400 296 345 6 × 2 = 1 + 0,920 800 592 691 2;
  • 33) 0,920 800 592 691 2 × 2 = 1 + 0,841 601 185 382 4;
  • 34) 0,841 601 185 382 4 × 2 = 1 + 0,683 202 370 764 8;
  • 35) 0,683 202 370 764 8 × 2 = 1 + 0,366 404 741 529 6;
  • 36) 0,366 404 741 529 6 × 2 = 0 + 0,732 809 483 059 2;
  • 37) 0,732 809 483 059 2 × 2 = 1 + 0,465 618 966 118 4;
  • 38) 0,465 618 966 118 4 × 2 = 0 + 0,931 237 932 236 8;
  • 39) 0,931 237 932 236 8 × 2 = 1 + 0,862 475 864 473 6;
  • 40) 0,862 475 864 473 6 × 2 = 1 + 0,724 951 728 947 2;
  • 41) 0,724 951 728 947 2 × 2 = 1 + 0,449 903 457 894 4;
  • 42) 0,449 903 457 894 4 × 2 = 0 + 0,899 806 915 788 8;
  • 43) 0,899 806 915 788 8 × 2 = 1 + 0,799 613 831 577 6;
  • 44) 0,799 613 831 577 6 × 2 = 1 + 0,599 227 663 155 2;
  • 45) 0,599 227 663 155 2 × 2 = 1 + 0,198 455 326 310 4;
  • 46) 0,198 455 326 310 4 × 2 = 0 + 0,396 910 652 620 8;
  • 47) 0,396 910 652 620 8 × 2 = 0 + 0,793 821 305 241 6;
  • 48) 0,793 821 305 241 6 × 2 = 1 + 0,587 642 610 483 2;
  • 49) 0,587 642 610 483 2 × 2 = 1 + 0,175 285 220 966 4;
  • 50) 0,175 285 220 966 4 × 2 = 0 + 0,350 570 441 932 8;
  • 51) 0,350 570 441 932 8 × 2 = 0 + 0,701 140 883 865 6;
  • 52) 0,701 140 883 865 6 × 2 = 1 + 0,402 281 767 731 2;
  • 53) 0,402 281 767 731 2 × 2 = 0 + 0,804 563 535 462 4;
  • 54) 0,804 563 535 462 4 × 2 = 1 + 0,609 127 070 924 8;
  • 55) 0,609 127 070 924 8 × 2 = 1 + 0,218 254 141 849 6;
  • 56) 0,218 254 141 849 6 × 2 = 0 + 0,436 508 283 699 2;
  • 57) 0,436 508 283 699 2 × 2 = 0 + 0,873 016 567 398 4;
  • 58) 0,873 016 567 398 4 × 2 = 1 + 0,746 033 134 796 8;
  • 59) 0,746 033 134 796 8 × 2 = 1 + 0,492 066 269 593 6;
  • 60) 0,492 066 269 593 6 × 2 = 0 + 0,984 132 539 187 2;
  • 61) 0,984 132 539 187 2 × 2 = 1 + 0,968 265 078 374 4;
  • 62) 0,968 265 078 374 4 × 2 = 1 + 0,936 530 156 748 8;
  • 63) 0,936 530 156 748 8 × 2 = 1 + 0,873 060 313 497 6;
  • 64) 0,873 060 313 497 6 × 2 = 1 + 0,746 120 626 995 2;
  • 65) 0,746 120 626 995 2 × 2 = 1 + 0,492 241 253 990 4;
  • 66) 0,492 241 253 990 4 × 2 = 0 + 0,984 482 507 980 8;
  • 67) 0,984 482 507 980 8 × 2 = 1 + 0,968 965 015 961 6;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 035 666 842 2(10) =

0,0000 0000 0000 0010 0101 0110 0110 0011 1110 1011 1011 1001 1001 0110 0110 1111 101(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 035 666 842 2(10) =

0,0000 0000 0000 0010 0101 0110 0110 0011 1110 1011 1011 1001 1001 0110 0110 1111 101(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 15 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 035 666 842 2(10) =

0,0000 0000 0000 0010 0101 0110 0110 0011 1110 1011 1011 1001 1001 0110 0110 1111 101(2) =

0,0000 0000 0000 0010 0101 0110 0110 0011 1110 1011 1011 1001 1001 0110 0110 1111 101(2) × 20 =

1,0010 1011 0011 0001 1111 0101 1101 1100 1100 1011 0011 0111 1101(2) × 2-15


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -15

Mantisă (nenormalizată):
1,0010 1011 0011 0001 1111 0101 1101 1100 1100 1011 0011 0111 1101


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-15 + 2(11-1) - 1 =

(-15 + 1 023)(10) =

1 008(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 008 : 2 = 504 + 0;
  • 504 : 2 = 252 + 0;
  • 252 : 2 = 126 + 0;
  • 126 : 2 = 63 + 0;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1008(10) =

011 1111 0000(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0010 1011 0011 0001 1111 0101 1101 1100 1100 1011 0011 0111 1101 =

0010 1011 0011 0001 1111 0101 1101 1100 1100 1011 0011 0111 1101


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1111 0000

Mantisă (52 biți) =
0010 1011 0011 0001 1111 0101 1101 1100 1100 1011 0011 0111 1101


Numărul zecimal -0,000 035 666 842 2 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1111 0000 - 0010 1011 0011 0001 1111 0101 1101 1100 1100 1011 0011 0111 1101

Distribuie

» Scriere -0,000 035 666 849 3 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 07, 2026 [Iulie]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Iulie - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100