-0,000 035 666 844 4 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,000 035 666 844 4(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,000 035 666 844 4(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,000 035 666 844 4| = 0,000 035 666 844 4


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 035 666 844 4.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 035 666 844 4 × 2 = 0 + 0,000 071 333 688 8;
  • 2) 0,000 071 333 688 8 × 2 = 0 + 0,000 142 667 377 6;
  • 3) 0,000 142 667 377 6 × 2 = 0 + 0,000 285 334 755 2;
  • 4) 0,000 285 334 755 2 × 2 = 0 + 0,000 570 669 510 4;
  • 5) 0,000 570 669 510 4 × 2 = 0 + 0,001 141 339 020 8;
  • 6) 0,001 141 339 020 8 × 2 = 0 + 0,002 282 678 041 6;
  • 7) 0,002 282 678 041 6 × 2 = 0 + 0,004 565 356 083 2;
  • 8) 0,004 565 356 083 2 × 2 = 0 + 0,009 130 712 166 4;
  • 9) 0,009 130 712 166 4 × 2 = 0 + 0,018 261 424 332 8;
  • 10) 0,018 261 424 332 8 × 2 = 0 + 0,036 522 848 665 6;
  • 11) 0,036 522 848 665 6 × 2 = 0 + 0,073 045 697 331 2;
  • 12) 0,073 045 697 331 2 × 2 = 0 + 0,146 091 394 662 4;
  • 13) 0,146 091 394 662 4 × 2 = 0 + 0,292 182 789 324 8;
  • 14) 0,292 182 789 324 8 × 2 = 0 + 0,584 365 578 649 6;
  • 15) 0,584 365 578 649 6 × 2 = 1 + 0,168 731 157 299 2;
  • 16) 0,168 731 157 299 2 × 2 = 0 + 0,337 462 314 598 4;
  • 17) 0,337 462 314 598 4 × 2 = 0 + 0,674 924 629 196 8;
  • 18) 0,674 924 629 196 8 × 2 = 1 + 0,349 849 258 393 6;
  • 19) 0,349 849 258 393 6 × 2 = 0 + 0,699 698 516 787 2;
  • 20) 0,699 698 516 787 2 × 2 = 1 + 0,399 397 033 574 4;
  • 21) 0,399 397 033 574 4 × 2 = 0 + 0,798 794 067 148 8;
  • 22) 0,798 794 067 148 8 × 2 = 1 + 0,597 588 134 297 6;
  • 23) 0,597 588 134 297 6 × 2 = 1 + 0,195 176 268 595 2;
  • 24) 0,195 176 268 595 2 × 2 = 0 + 0,390 352 537 190 4;
  • 25) 0,390 352 537 190 4 × 2 = 0 + 0,780 705 074 380 8;
  • 26) 0,780 705 074 380 8 × 2 = 1 + 0,561 410 148 761 6;
  • 27) 0,561 410 148 761 6 × 2 = 1 + 0,122 820 297 523 2;
  • 28) 0,122 820 297 523 2 × 2 = 0 + 0,245 640 595 046 4;
  • 29) 0,245 640 595 046 4 × 2 = 0 + 0,491 281 190 092 8;
  • 30) 0,491 281 190 092 8 × 2 = 0 + 0,982 562 380 185 6;
  • 31) 0,982 562 380 185 6 × 2 = 1 + 0,965 124 760 371 2;
  • 32) 0,965 124 760 371 2 × 2 = 1 + 0,930 249 520 742 4;
  • 33) 0,930 249 520 742 4 × 2 = 1 + 0,860 499 041 484 8;
  • 34) 0,860 499 041 484 8 × 2 = 1 + 0,720 998 082 969 6;
  • 35) 0,720 998 082 969 6 × 2 = 1 + 0,441 996 165 939 2;
  • 36) 0,441 996 165 939 2 × 2 = 0 + 0,883 992 331 878 4;
  • 37) 0,883 992 331 878 4 × 2 = 1 + 0,767 984 663 756 8;
  • 38) 0,767 984 663 756 8 × 2 = 1 + 0,535 969 327 513 6;
  • 39) 0,535 969 327 513 6 × 2 = 1 + 0,071 938 655 027 2;
  • 40) 0,071 938 655 027 2 × 2 = 0 + 0,143 877 310 054 4;
  • 41) 0,143 877 310 054 4 × 2 = 0 + 0,287 754 620 108 8;
  • 42) 0,287 754 620 108 8 × 2 = 0 + 0,575 509 240 217 6;
  • 43) 0,575 509 240 217 6 × 2 = 1 + 0,151 018 480 435 2;
  • 44) 0,151 018 480 435 2 × 2 = 0 + 0,302 036 960 870 4;
  • 45) 0,302 036 960 870 4 × 2 = 0 + 0,604 073 921 740 8;
  • 46) 0,604 073 921 740 8 × 2 = 1 + 0,208 147 843 481 6;
  • 47) 0,208 147 843 481 6 × 2 = 0 + 0,416 295 686 963 2;
  • 48) 0,416 295 686 963 2 × 2 = 0 + 0,832 591 373 926 4;
  • 49) 0,832 591 373 926 4 × 2 = 1 + 0,665 182 747 852 8;
  • 50) 0,665 182 747 852 8 × 2 = 1 + 0,330 365 495 705 6;
  • 51) 0,330 365 495 705 6 × 2 = 0 + 0,660 730 991 411 2;
  • 52) 0,660 730 991 411 2 × 2 = 1 + 0,321 461 982 822 4;
  • 53) 0,321 461 982 822 4 × 2 = 0 + 0,642 923 965 644 8;
  • 54) 0,642 923 965 644 8 × 2 = 1 + 0,285 847 931 289 6;
  • 55) 0,285 847 931 289 6 × 2 = 0 + 0,571 695 862 579 2;
  • 56) 0,571 695 862 579 2 × 2 = 1 + 0,143 391 725 158 4;
  • 57) 0,143 391 725 158 4 × 2 = 0 + 0,286 783 450 316 8;
  • 58) 0,286 783 450 316 8 × 2 = 0 + 0,573 566 900 633 6;
  • 59) 0,573 566 900 633 6 × 2 = 1 + 0,147 133 801 267 2;
  • 60) 0,147 133 801 267 2 × 2 = 0 + 0,294 267 602 534 4;
  • 61) 0,294 267 602 534 4 × 2 = 0 + 0,588 535 205 068 8;
  • 62) 0,588 535 205 068 8 × 2 = 1 + 0,177 070 410 137 6;
  • 63) 0,177 070 410 137 6 × 2 = 0 + 0,354 140 820 275 2;
  • 64) 0,354 140 820 275 2 × 2 = 0 + 0,708 281 640 550 4;
  • 65) 0,708 281 640 550 4 × 2 = 1 + 0,416 563 281 100 8;
  • 66) 0,416 563 281 100 8 × 2 = 0 + 0,833 126 562 201 6;
  • 67) 0,833 126 562 201 6 × 2 = 1 + 0,666 253 124 403 2;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 035 666 844 4(10) =

0,0000 0000 0000 0010 0101 0110 0110 0011 1110 1110 0010 0100 1101 0101 0010 0100 101(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 035 666 844 4(10) =

0,0000 0000 0000 0010 0101 0110 0110 0011 1110 1110 0010 0100 1101 0101 0010 0100 101(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 15 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 035 666 844 4(10) =

0,0000 0000 0000 0010 0101 0110 0110 0011 1110 1110 0010 0100 1101 0101 0010 0100 101(2) =

0,0000 0000 0000 0010 0101 0110 0110 0011 1110 1110 0010 0100 1101 0101 0010 0100 101(2) × 20 =

1,0010 1011 0011 0001 1111 0111 0001 0010 0110 1010 1001 0010 0101(2) × 2-15


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -15

Mantisă (nenormalizată):
1,0010 1011 0011 0001 1111 0111 0001 0010 0110 1010 1001 0010 0101


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-15 + 2(11-1) - 1 =

(-15 + 1 023)(10) =

1 008(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 008 : 2 = 504 + 0;
  • 504 : 2 = 252 + 0;
  • 252 : 2 = 126 + 0;
  • 126 : 2 = 63 + 0;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1008(10) =

011 1111 0000(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0010 1011 0011 0001 1111 0111 0001 0010 0110 1010 1001 0010 0101 =

0010 1011 0011 0001 1111 0111 0001 0010 0110 1010 1001 0010 0101


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1111 0000

Mantisă (52 biți) =
0010 1011 0011 0001 1111 0111 0001 0010 0110 1010 1001 0010 0101


Numărul zecimal -0,000 035 666 844 4 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1111 0000 - 0010 1011 0011 0001 1111 0111 0001 0010 0110 1010 1001 0010 0101

Distribuie

» Scriere -0,000 035 666 842 2 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 07, 2026 [Iulie]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Iulie - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100