-0,000 035 666 975 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,000 035 666 975(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,000 035 666 975(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,000 035 666 975| = 0,000 035 666 975


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 035 666 975.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 035 666 975 × 2 = 0 + 0,000 071 333 95;
  • 2) 0,000 071 333 95 × 2 = 0 + 0,000 142 667 9;
  • 3) 0,000 142 667 9 × 2 = 0 + 0,000 285 335 8;
  • 4) 0,000 285 335 8 × 2 = 0 + 0,000 570 671 6;
  • 5) 0,000 570 671 6 × 2 = 0 + 0,001 141 343 2;
  • 6) 0,001 141 343 2 × 2 = 0 + 0,002 282 686 4;
  • 7) 0,002 282 686 4 × 2 = 0 + 0,004 565 372 8;
  • 8) 0,004 565 372 8 × 2 = 0 + 0,009 130 745 6;
  • 9) 0,009 130 745 6 × 2 = 0 + 0,018 261 491 2;
  • 10) 0,018 261 491 2 × 2 = 0 + 0,036 522 982 4;
  • 11) 0,036 522 982 4 × 2 = 0 + 0,073 045 964 8;
  • 12) 0,073 045 964 8 × 2 = 0 + 0,146 091 929 6;
  • 13) 0,146 091 929 6 × 2 = 0 + 0,292 183 859 2;
  • 14) 0,292 183 859 2 × 2 = 0 + 0,584 367 718 4;
  • 15) 0,584 367 718 4 × 2 = 1 + 0,168 735 436 8;
  • 16) 0,168 735 436 8 × 2 = 0 + 0,337 470 873 6;
  • 17) 0,337 470 873 6 × 2 = 0 + 0,674 941 747 2;
  • 18) 0,674 941 747 2 × 2 = 1 + 0,349 883 494 4;
  • 19) 0,349 883 494 4 × 2 = 0 + 0,699 766 988 8;
  • 20) 0,699 766 988 8 × 2 = 1 + 0,399 533 977 6;
  • 21) 0,399 533 977 6 × 2 = 0 + 0,799 067 955 2;
  • 22) 0,799 067 955 2 × 2 = 1 + 0,598 135 910 4;
  • 23) 0,598 135 910 4 × 2 = 1 + 0,196 271 820 8;
  • 24) 0,196 271 820 8 × 2 = 0 + 0,392 543 641 6;
  • 25) 0,392 543 641 6 × 2 = 0 + 0,785 087 283 2;
  • 26) 0,785 087 283 2 × 2 = 1 + 0,570 174 566 4;
  • 27) 0,570 174 566 4 × 2 = 1 + 0,140 349 132 8;
  • 28) 0,140 349 132 8 × 2 = 0 + 0,280 698 265 6;
  • 29) 0,280 698 265 6 × 2 = 0 + 0,561 396 531 2;
  • 30) 0,561 396 531 2 × 2 = 1 + 0,122 793 062 4;
  • 31) 0,122 793 062 4 × 2 = 0 + 0,245 586 124 8;
  • 32) 0,245 586 124 8 × 2 = 0 + 0,491 172 249 6;
  • 33) 0,491 172 249 6 × 2 = 0 + 0,982 344 499 2;
  • 34) 0,982 344 499 2 × 2 = 1 + 0,964 688 998 4;
  • 35) 0,964 688 998 4 × 2 = 1 + 0,929 377 996 8;
  • 36) 0,929 377 996 8 × 2 = 1 + 0,858 755 993 6;
  • 37) 0,858 755 993 6 × 2 = 1 + 0,717 511 987 2;
  • 38) 0,717 511 987 2 × 2 = 1 + 0,435 023 974 4;
  • 39) 0,435 023 974 4 × 2 = 0 + 0,870 047 948 8;
  • 40) 0,870 047 948 8 × 2 = 1 + 0,740 095 897 6;
  • 41) 0,740 095 897 6 × 2 = 1 + 0,480 191 795 2;
  • 42) 0,480 191 795 2 × 2 = 0 + 0,960 383 590 4;
  • 43) 0,960 383 590 4 × 2 = 1 + 0,920 767 180 8;
  • 44) 0,920 767 180 8 × 2 = 1 + 0,841 534 361 6;
  • 45) 0,841 534 361 6 × 2 = 1 + 0,683 068 723 2;
  • 46) 0,683 068 723 2 × 2 = 1 + 0,366 137 446 4;
  • 47) 0,366 137 446 4 × 2 = 0 + 0,732 274 892 8;
  • 48) 0,732 274 892 8 × 2 = 1 + 0,464 549 785 6;
  • 49) 0,464 549 785 6 × 2 = 0 + 0,929 099 571 2;
  • 50) 0,929 099 571 2 × 2 = 1 + 0,858 199 142 4;
  • 51) 0,858 199 142 4 × 2 = 1 + 0,716 398 284 8;
  • 52) 0,716 398 284 8 × 2 = 1 + 0,432 796 569 6;
  • 53) 0,432 796 569 6 × 2 = 0 + 0,865 593 139 2;
  • 54) 0,865 593 139 2 × 2 = 1 + 0,731 186 278 4;
  • 55) 0,731 186 278 4 × 2 = 1 + 0,462 372 556 8;
  • 56) 0,462 372 556 8 × 2 = 0 + 0,924 745 113 6;
  • 57) 0,924 745 113 6 × 2 = 1 + 0,849 490 227 2;
  • 58) 0,849 490 227 2 × 2 = 1 + 0,698 980 454 4;
  • 59) 0,698 980 454 4 × 2 = 1 + 0,397 960 908 8;
  • 60) 0,397 960 908 8 × 2 = 0 + 0,795 921 817 6;
  • 61) 0,795 921 817 6 × 2 = 1 + 0,591 843 635 2;
  • 62) 0,591 843 635 2 × 2 = 1 + 0,183 687 270 4;
  • 63) 0,183 687 270 4 × 2 = 0 + 0,367 374 540 8;
  • 64) 0,367 374 540 8 × 2 = 0 + 0,734 749 081 6;
  • 65) 0,734 749 081 6 × 2 = 1 + 0,469 498 163 2;
  • 66) 0,469 498 163 2 × 2 = 0 + 0,938 996 326 4;
  • 67) 0,938 996 326 4 × 2 = 1 + 0,877 992 652 8;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 035 666 975(10) =

0,0000 0000 0000 0010 0101 0110 0110 0100 0111 1101 1011 1101 0111 0110 1110 1100 101(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 035 666 975(10) =

0,0000 0000 0000 0010 0101 0110 0110 0100 0111 1101 1011 1101 0111 0110 1110 1100 101(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 15 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 035 666 975(10) =

0,0000 0000 0000 0010 0101 0110 0110 0100 0111 1101 1011 1101 0111 0110 1110 1100 101(2) =

0,0000 0000 0000 0010 0101 0110 0110 0100 0111 1101 1011 1101 0111 0110 1110 1100 101(2) × 20 =

1,0010 1011 0011 0010 0011 1110 1101 1110 1011 1011 0111 0110 0101(2) × 2-15


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -15

Mantisă (nenormalizată):
1,0010 1011 0011 0010 0011 1110 1101 1110 1011 1011 0111 0110 0101


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-15 + 2(11-1) - 1 =

(-15 + 1 023)(10) =

1 008(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 008 : 2 = 504 + 0;
  • 504 : 2 = 252 + 0;
  • 252 : 2 = 126 + 0;
  • 126 : 2 = 63 + 0;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1008(10) =

011 1111 0000(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0010 1011 0011 0010 0011 1110 1101 1110 1011 1011 0111 0110 0101 =

0010 1011 0011 0010 0011 1110 1101 1110 1011 1011 0111 0110 0101


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1111 0000

Mantisă (52 biți) =
0010 1011 0011 0010 0011 1110 1101 1110 1011 1011 0111 0110 0101


Numărul zecimal -0,000 035 666 975 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1111 0000 - 0010 1011 0011 0010 0011 1110 1101 1110 1011 1011 0111 0110 0101

Distribuie

» Scriere -0,000 035 666 907 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 07, 2026 [Iulie]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Iulie - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100