-0,000 035 666 907 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,000 035 666 907(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,000 035 666 907(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,000 035 666 907| = 0,000 035 666 907


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 035 666 907.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 035 666 907 × 2 = 0 + 0,000 071 333 814;
  • 2) 0,000 071 333 814 × 2 = 0 + 0,000 142 667 628;
  • 3) 0,000 142 667 628 × 2 = 0 + 0,000 285 335 256;
  • 4) 0,000 285 335 256 × 2 = 0 + 0,000 570 670 512;
  • 5) 0,000 570 670 512 × 2 = 0 + 0,001 141 341 024;
  • 6) 0,001 141 341 024 × 2 = 0 + 0,002 282 682 048;
  • 7) 0,002 282 682 048 × 2 = 0 + 0,004 565 364 096;
  • 8) 0,004 565 364 096 × 2 = 0 + 0,009 130 728 192;
  • 9) 0,009 130 728 192 × 2 = 0 + 0,018 261 456 384;
  • 10) 0,018 261 456 384 × 2 = 0 + 0,036 522 912 768;
  • 11) 0,036 522 912 768 × 2 = 0 + 0,073 045 825 536;
  • 12) 0,073 045 825 536 × 2 = 0 + 0,146 091 651 072;
  • 13) 0,146 091 651 072 × 2 = 0 + 0,292 183 302 144;
  • 14) 0,292 183 302 144 × 2 = 0 + 0,584 366 604 288;
  • 15) 0,584 366 604 288 × 2 = 1 + 0,168 733 208 576;
  • 16) 0,168 733 208 576 × 2 = 0 + 0,337 466 417 152;
  • 17) 0,337 466 417 152 × 2 = 0 + 0,674 932 834 304;
  • 18) 0,674 932 834 304 × 2 = 1 + 0,349 865 668 608;
  • 19) 0,349 865 668 608 × 2 = 0 + 0,699 731 337 216;
  • 20) 0,699 731 337 216 × 2 = 1 + 0,399 462 674 432;
  • 21) 0,399 462 674 432 × 2 = 0 + 0,798 925 348 864;
  • 22) 0,798 925 348 864 × 2 = 1 + 0,597 850 697 728;
  • 23) 0,597 850 697 728 × 2 = 1 + 0,195 701 395 456;
  • 24) 0,195 701 395 456 × 2 = 0 + 0,391 402 790 912;
  • 25) 0,391 402 790 912 × 2 = 0 + 0,782 805 581 824;
  • 26) 0,782 805 581 824 × 2 = 1 + 0,565 611 163 648;
  • 27) 0,565 611 163 648 × 2 = 1 + 0,131 222 327 296;
  • 28) 0,131 222 327 296 × 2 = 0 + 0,262 444 654 592;
  • 29) 0,262 444 654 592 × 2 = 0 + 0,524 889 309 184;
  • 30) 0,524 889 309 184 × 2 = 1 + 0,049 778 618 368;
  • 31) 0,049 778 618 368 × 2 = 0 + 0,099 557 236 736;
  • 32) 0,099 557 236 736 × 2 = 0 + 0,199 114 473 472;
  • 33) 0,199 114 473 472 × 2 = 0 + 0,398 228 946 944;
  • 34) 0,398 228 946 944 × 2 = 0 + 0,796 457 893 888;
  • 35) 0,796 457 893 888 × 2 = 1 + 0,592 915 787 776;
  • 36) 0,592 915 787 776 × 2 = 1 + 0,185 831 575 552;
  • 37) 0,185 831 575 552 × 2 = 0 + 0,371 663 151 104;
  • 38) 0,371 663 151 104 × 2 = 0 + 0,743 326 302 208;
  • 39) 0,743 326 302 208 × 2 = 1 + 0,486 652 604 416;
  • 40) 0,486 652 604 416 × 2 = 0 + 0,973 305 208 832;
  • 41) 0,973 305 208 832 × 2 = 1 + 0,946 610 417 664;
  • 42) 0,946 610 417 664 × 2 = 1 + 0,893 220 835 328;
  • 43) 0,893 220 835 328 × 2 = 1 + 0,786 441 670 656;
  • 44) 0,786 441 670 656 × 2 = 1 + 0,572 883 341 312;
  • 45) 0,572 883 341 312 × 2 = 1 + 0,145 766 682 624;
  • 46) 0,145 766 682 624 × 2 = 0 + 0,291 533 365 248;
  • 47) 0,291 533 365 248 × 2 = 0 + 0,583 066 730 496;
  • 48) 0,583 066 730 496 × 2 = 1 + 0,166 133 460 992;
  • 49) 0,166 133 460 992 × 2 = 0 + 0,332 266 921 984;
  • 50) 0,332 266 921 984 × 2 = 0 + 0,664 533 843 968;
  • 51) 0,664 533 843 968 × 2 = 1 + 0,329 067 687 936;
  • 52) 0,329 067 687 936 × 2 = 0 + 0,658 135 375 872;
  • 53) 0,658 135 375 872 × 2 = 1 + 0,316 270 751 744;
  • 54) 0,316 270 751 744 × 2 = 0 + 0,632 541 503 488;
  • 55) 0,632 541 503 488 × 2 = 1 + 0,265 083 006 976;
  • 56) 0,265 083 006 976 × 2 = 0 + 0,530 166 013 952;
  • 57) 0,530 166 013 952 × 2 = 1 + 0,060 332 027 904;
  • 58) 0,060 332 027 904 × 2 = 0 + 0,120 664 055 808;
  • 59) 0,120 664 055 808 × 2 = 0 + 0,241 328 111 616;
  • 60) 0,241 328 111 616 × 2 = 0 + 0,482 656 223 232;
  • 61) 0,482 656 223 232 × 2 = 0 + 0,965 312 446 464;
  • 62) 0,965 312 446 464 × 2 = 1 + 0,930 624 892 928;
  • 63) 0,930 624 892 928 × 2 = 1 + 0,861 249 785 856;
  • 64) 0,861 249 785 856 × 2 = 1 + 0,722 499 571 712;
  • 65) 0,722 499 571 712 × 2 = 1 + 0,444 999 143 424;
  • 66) 0,444 999 143 424 × 2 = 0 + 0,889 998 286 848;
  • 67) 0,889 998 286 848 × 2 = 1 + 0,779 996 573 696;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 035 666 907(10) =

0,0000 0000 0000 0010 0101 0110 0110 0100 0011 0010 1111 1001 0010 1010 1000 0111 101(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 035 666 907(10) =

0,0000 0000 0000 0010 0101 0110 0110 0100 0011 0010 1111 1001 0010 1010 1000 0111 101(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 15 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 035 666 907(10) =

0,0000 0000 0000 0010 0101 0110 0110 0100 0011 0010 1111 1001 0010 1010 1000 0111 101(2) =

0,0000 0000 0000 0010 0101 0110 0110 0100 0011 0010 1111 1001 0010 1010 1000 0111 101(2) × 20 =

1,0010 1011 0011 0010 0001 1001 0111 1100 1001 0101 0100 0011 1101(2) × 2-15


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -15

Mantisă (nenormalizată):
1,0010 1011 0011 0010 0001 1001 0111 1100 1001 0101 0100 0011 1101


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-15 + 2(11-1) - 1 =

(-15 + 1 023)(10) =

1 008(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 008 : 2 = 504 + 0;
  • 504 : 2 = 252 + 0;
  • 252 : 2 = 126 + 0;
  • 126 : 2 = 63 + 0;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1008(10) =

011 1111 0000(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0010 1011 0011 0010 0001 1001 0111 1100 1001 0101 0100 0011 1101 =

0010 1011 0011 0010 0001 1001 0111 1100 1001 0101 0100 0011 1101


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1111 0000

Mantisă (52 biți) =
0010 1011 0011 0010 0001 1001 0111 1100 1001 0101 0100 0011 1101


Numărul zecimal -0,000 035 666 907 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1111 0000 - 0010 1011 0011 0010 0001 1001 0111 1100 1001 0101 0100 0011 1101

Distribuie

» Scriere -0,000 035 666 967 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 07, 2026 [Iulie]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Iulie - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100