-0,000 035 666 967 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,000 035 666 967(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,000 035 666 967(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,000 035 666 967| = 0,000 035 666 967


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 035 666 967.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 035 666 967 × 2 = 0 + 0,000 071 333 934;
  • 2) 0,000 071 333 934 × 2 = 0 + 0,000 142 667 868;
  • 3) 0,000 142 667 868 × 2 = 0 + 0,000 285 335 736;
  • 4) 0,000 285 335 736 × 2 = 0 + 0,000 570 671 472;
  • 5) 0,000 570 671 472 × 2 = 0 + 0,001 141 342 944;
  • 6) 0,001 141 342 944 × 2 = 0 + 0,002 282 685 888;
  • 7) 0,002 282 685 888 × 2 = 0 + 0,004 565 371 776;
  • 8) 0,004 565 371 776 × 2 = 0 + 0,009 130 743 552;
  • 9) 0,009 130 743 552 × 2 = 0 + 0,018 261 487 104;
  • 10) 0,018 261 487 104 × 2 = 0 + 0,036 522 974 208;
  • 11) 0,036 522 974 208 × 2 = 0 + 0,073 045 948 416;
  • 12) 0,073 045 948 416 × 2 = 0 + 0,146 091 896 832;
  • 13) 0,146 091 896 832 × 2 = 0 + 0,292 183 793 664;
  • 14) 0,292 183 793 664 × 2 = 0 + 0,584 367 587 328;
  • 15) 0,584 367 587 328 × 2 = 1 + 0,168 735 174 656;
  • 16) 0,168 735 174 656 × 2 = 0 + 0,337 470 349 312;
  • 17) 0,337 470 349 312 × 2 = 0 + 0,674 940 698 624;
  • 18) 0,674 940 698 624 × 2 = 1 + 0,349 881 397 248;
  • 19) 0,349 881 397 248 × 2 = 0 + 0,699 762 794 496;
  • 20) 0,699 762 794 496 × 2 = 1 + 0,399 525 588 992;
  • 21) 0,399 525 588 992 × 2 = 0 + 0,799 051 177 984;
  • 22) 0,799 051 177 984 × 2 = 1 + 0,598 102 355 968;
  • 23) 0,598 102 355 968 × 2 = 1 + 0,196 204 711 936;
  • 24) 0,196 204 711 936 × 2 = 0 + 0,392 409 423 872;
  • 25) 0,392 409 423 872 × 2 = 0 + 0,784 818 847 744;
  • 26) 0,784 818 847 744 × 2 = 1 + 0,569 637 695 488;
  • 27) 0,569 637 695 488 × 2 = 1 + 0,139 275 390 976;
  • 28) 0,139 275 390 976 × 2 = 0 + 0,278 550 781 952;
  • 29) 0,278 550 781 952 × 2 = 0 + 0,557 101 563 904;
  • 30) 0,557 101 563 904 × 2 = 1 + 0,114 203 127 808;
  • 31) 0,114 203 127 808 × 2 = 0 + 0,228 406 255 616;
  • 32) 0,228 406 255 616 × 2 = 0 + 0,456 812 511 232;
  • 33) 0,456 812 511 232 × 2 = 0 + 0,913 625 022 464;
  • 34) 0,913 625 022 464 × 2 = 1 + 0,827 250 044 928;
  • 35) 0,827 250 044 928 × 2 = 1 + 0,654 500 089 856;
  • 36) 0,654 500 089 856 × 2 = 1 + 0,309 000 179 712;
  • 37) 0,309 000 179 712 × 2 = 0 + 0,618 000 359 424;
  • 38) 0,618 000 359 424 × 2 = 1 + 0,236 000 718 848;
  • 39) 0,236 000 718 848 × 2 = 0 + 0,472 001 437 696;
  • 40) 0,472 001 437 696 × 2 = 0 + 0,944 002 875 392;
  • 41) 0,944 002 875 392 × 2 = 1 + 0,888 005 750 784;
  • 42) 0,888 005 750 784 × 2 = 1 + 0,776 011 501 568;
  • 43) 0,776 011 501 568 × 2 = 1 + 0,552 023 003 136;
  • 44) 0,552 023 003 136 × 2 = 1 + 0,104 046 006 272;
  • 45) 0,104 046 006 272 × 2 = 0 + 0,208 092 012 544;
  • 46) 0,208 092 012 544 × 2 = 0 + 0,416 184 025 088;
  • 47) 0,416 184 025 088 × 2 = 0 + 0,832 368 050 176;
  • 48) 0,832 368 050 176 × 2 = 1 + 0,664 736 100 352;
  • 49) 0,664 736 100 352 × 2 = 1 + 0,329 472 200 704;
  • 50) 0,329 472 200 704 × 2 = 0 + 0,658 944 401 408;
  • 51) 0,658 944 401 408 × 2 = 1 + 0,317 888 802 816;
  • 52) 0,317 888 802 816 × 2 = 0 + 0,635 777 605 632;
  • 53) 0,635 777 605 632 × 2 = 1 + 0,271 555 211 264;
  • 54) 0,271 555 211 264 × 2 = 0 + 0,543 110 422 528;
  • 55) 0,543 110 422 528 × 2 = 1 + 0,086 220 845 056;
  • 56) 0,086 220 845 056 × 2 = 0 + 0,172 441 690 112;
  • 57) 0,172 441 690 112 × 2 = 0 + 0,344 883 380 224;
  • 58) 0,344 883 380 224 × 2 = 0 + 0,689 766 760 448;
  • 59) 0,689 766 760 448 × 2 = 1 + 0,379 533 520 896;
  • 60) 0,379 533 520 896 × 2 = 0 + 0,759 067 041 792;
  • 61) 0,759 067 041 792 × 2 = 1 + 0,518 134 083 584;
  • 62) 0,518 134 083 584 × 2 = 1 + 0,036 268 167 168;
  • 63) 0,036 268 167 168 × 2 = 0 + 0,072 536 334 336;
  • 64) 0,072 536 334 336 × 2 = 0 + 0,145 072 668 672;
  • 65) 0,145 072 668 672 × 2 = 0 + 0,290 145 337 344;
  • 66) 0,290 145 337 344 × 2 = 0 + 0,580 290 674 688;
  • 67) 0,580 290 674 688 × 2 = 1 + 0,160 581 349 376;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 035 666 967(10) =

0,0000 0000 0000 0010 0101 0110 0110 0100 0111 0100 1111 0001 1010 1010 0010 1100 001(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 035 666 967(10) =

0,0000 0000 0000 0010 0101 0110 0110 0100 0111 0100 1111 0001 1010 1010 0010 1100 001(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 15 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 035 666 967(10) =

0,0000 0000 0000 0010 0101 0110 0110 0100 0111 0100 1111 0001 1010 1010 0010 1100 001(2) =

0,0000 0000 0000 0010 0101 0110 0110 0100 0111 0100 1111 0001 1010 1010 0010 1100 001(2) × 20 =

1,0010 1011 0011 0010 0011 1010 0111 1000 1101 0101 0001 0110 0001(2) × 2-15


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -15

Mantisă (nenormalizată):
1,0010 1011 0011 0010 0011 1010 0111 1000 1101 0101 0001 0110 0001


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-15 + 2(11-1) - 1 =

(-15 + 1 023)(10) =

1 008(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 008 : 2 = 504 + 0;
  • 504 : 2 = 252 + 0;
  • 252 : 2 = 126 + 0;
  • 126 : 2 = 63 + 0;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1008(10) =

011 1111 0000(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0010 1011 0011 0010 0011 1010 0111 1000 1101 0101 0001 0110 0001 =

0010 1011 0011 0010 0011 1010 0111 1000 1101 0101 0001 0110 0001


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1111 0000

Mantisă (52 biți) =
0010 1011 0011 0010 0011 1010 0111 1000 1101 0101 0001 0110 0001


Numărul zecimal -0,000 035 666 967 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1111 0000 - 0010 1011 0011 0010 0011 1010 0111 1000 1101 0101 0001 0110 0001

Distribuie

» Scriere -0,000 035 666 97 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 07, 2026 [Iulie]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Iulie - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100