-0,000 035 667 068 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,000 035 667 068(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,000 035 667 068(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,000 035 667 068| = 0,000 035 667 068


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 035 667 068.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 035 667 068 × 2 = 0 + 0,000 071 334 136;
  • 2) 0,000 071 334 136 × 2 = 0 + 0,000 142 668 272;
  • 3) 0,000 142 668 272 × 2 = 0 + 0,000 285 336 544;
  • 4) 0,000 285 336 544 × 2 = 0 + 0,000 570 673 088;
  • 5) 0,000 570 673 088 × 2 = 0 + 0,001 141 346 176;
  • 6) 0,001 141 346 176 × 2 = 0 + 0,002 282 692 352;
  • 7) 0,002 282 692 352 × 2 = 0 + 0,004 565 384 704;
  • 8) 0,004 565 384 704 × 2 = 0 + 0,009 130 769 408;
  • 9) 0,009 130 769 408 × 2 = 0 + 0,018 261 538 816;
  • 10) 0,018 261 538 816 × 2 = 0 + 0,036 523 077 632;
  • 11) 0,036 523 077 632 × 2 = 0 + 0,073 046 155 264;
  • 12) 0,073 046 155 264 × 2 = 0 + 0,146 092 310 528;
  • 13) 0,146 092 310 528 × 2 = 0 + 0,292 184 621 056;
  • 14) 0,292 184 621 056 × 2 = 0 + 0,584 369 242 112;
  • 15) 0,584 369 242 112 × 2 = 1 + 0,168 738 484 224;
  • 16) 0,168 738 484 224 × 2 = 0 + 0,337 476 968 448;
  • 17) 0,337 476 968 448 × 2 = 0 + 0,674 953 936 896;
  • 18) 0,674 953 936 896 × 2 = 1 + 0,349 907 873 792;
  • 19) 0,349 907 873 792 × 2 = 0 + 0,699 815 747 584;
  • 20) 0,699 815 747 584 × 2 = 1 + 0,399 631 495 168;
  • 21) 0,399 631 495 168 × 2 = 0 + 0,799 262 990 336;
  • 22) 0,799 262 990 336 × 2 = 1 + 0,598 525 980 672;
  • 23) 0,598 525 980 672 × 2 = 1 + 0,197 051 961 344;
  • 24) 0,197 051 961 344 × 2 = 0 + 0,394 103 922 688;
  • 25) 0,394 103 922 688 × 2 = 0 + 0,788 207 845 376;
  • 26) 0,788 207 845 376 × 2 = 1 + 0,576 415 690 752;
  • 27) 0,576 415 690 752 × 2 = 1 + 0,152 831 381 504;
  • 28) 0,152 831 381 504 × 2 = 0 + 0,305 662 763 008;
  • 29) 0,305 662 763 008 × 2 = 0 + 0,611 325 526 016;
  • 30) 0,611 325 526 016 × 2 = 1 + 0,222 651 052 032;
  • 31) 0,222 651 052 032 × 2 = 0 + 0,445 302 104 064;
  • 32) 0,445 302 104 064 × 2 = 0 + 0,890 604 208 128;
  • 33) 0,890 604 208 128 × 2 = 1 + 0,781 208 416 256;
  • 34) 0,781 208 416 256 × 2 = 1 + 0,562 416 832 512;
  • 35) 0,562 416 832 512 × 2 = 1 + 0,124 833 665 024;
  • 36) 0,124 833 665 024 × 2 = 0 + 0,249 667 330 048;
  • 37) 0,249 667 330 048 × 2 = 0 + 0,499 334 660 096;
  • 38) 0,499 334 660 096 × 2 = 0 + 0,998 669 320 192;
  • 39) 0,998 669 320 192 × 2 = 1 + 0,997 338 640 384;
  • 40) 0,997 338 640 384 × 2 = 1 + 0,994 677 280 768;
  • 41) 0,994 677 280 768 × 2 = 1 + 0,989 354 561 536;
  • 42) 0,989 354 561 536 × 2 = 1 + 0,978 709 123 072;
  • 43) 0,978 709 123 072 × 2 = 1 + 0,957 418 246 144;
  • 44) 0,957 418 246 144 × 2 = 1 + 0,914 836 492 288;
  • 45) 0,914 836 492 288 × 2 = 1 + 0,829 672 984 576;
  • 46) 0,829 672 984 576 × 2 = 1 + 0,659 345 969 152;
  • 47) 0,659 345 969 152 × 2 = 1 + 0,318 691 938 304;
  • 48) 0,318 691 938 304 × 2 = 0 + 0,637 383 876 608;
  • 49) 0,637 383 876 608 × 2 = 1 + 0,274 767 753 216;
  • 50) 0,274 767 753 216 × 2 = 0 + 0,549 535 506 432;
  • 51) 0,549 535 506 432 × 2 = 1 + 0,099 071 012 864;
  • 52) 0,099 071 012 864 × 2 = 0 + 0,198 142 025 728;
  • 53) 0,198 142 025 728 × 2 = 0 + 0,396 284 051 456;
  • 54) 0,396 284 051 456 × 2 = 0 + 0,792 568 102 912;
  • 55) 0,792 568 102 912 × 2 = 1 + 0,585 136 205 824;
  • 56) 0,585 136 205 824 × 2 = 1 + 0,170 272 411 648;
  • 57) 0,170 272 411 648 × 2 = 0 + 0,340 544 823 296;
  • 58) 0,340 544 823 296 × 2 = 0 + 0,681 089 646 592;
  • 59) 0,681 089 646 592 × 2 = 1 + 0,362 179 293 184;
  • 60) 0,362 179 293 184 × 2 = 0 + 0,724 358 586 368;
  • 61) 0,724 358 586 368 × 2 = 1 + 0,448 717 172 736;
  • 62) 0,448 717 172 736 × 2 = 0 + 0,897 434 345 472;
  • 63) 0,897 434 345 472 × 2 = 1 + 0,794 868 690 944;
  • 64) 0,794 868 690 944 × 2 = 1 + 0,589 737 381 888;
  • 65) 0,589 737 381 888 × 2 = 1 + 0,179 474 763 776;
  • 66) 0,179 474 763 776 × 2 = 0 + 0,358 949 527 552;
  • 67) 0,358 949 527 552 × 2 = 0 + 0,717 899 055 104;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 035 667 068(10) =

0,0000 0000 0000 0010 0101 0110 0110 0100 1110 0011 1111 1110 1010 0011 0010 1011 100(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 035 667 068(10) =

0,0000 0000 0000 0010 0101 0110 0110 0100 1110 0011 1111 1110 1010 0011 0010 1011 100(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 15 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 035 667 068(10) =

0,0000 0000 0000 0010 0101 0110 0110 0100 1110 0011 1111 1110 1010 0011 0010 1011 100(2) =

0,0000 0000 0000 0010 0101 0110 0110 0100 1110 0011 1111 1110 1010 0011 0010 1011 100(2) × 20 =

1,0010 1011 0011 0010 0111 0001 1111 1111 0101 0001 1001 0101 1100(2) × 2-15


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -15

Mantisă (nenormalizată):
1,0010 1011 0011 0010 0111 0001 1111 1111 0101 0001 1001 0101 1100


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-15 + 2(11-1) - 1 =

(-15 + 1 023)(10) =

1 008(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 008 : 2 = 504 + 0;
  • 504 : 2 = 252 + 0;
  • 252 : 2 = 126 + 0;
  • 126 : 2 = 63 + 0;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1008(10) =

011 1111 0000(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0010 1011 0011 0010 0111 0001 1111 1111 0101 0001 1001 0101 1100 =

0010 1011 0011 0010 0111 0001 1111 1111 0101 0001 1001 0101 1100


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1111 0000

Mantisă (52 biți) =
0010 1011 0011 0010 0111 0001 1111 1111 0101 0001 1001 0101 1100


Numărul zecimal -0,000 035 667 068 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1111 0000 - 0010 1011 0011 0010 0111 0001 1111 1111 0101 0001 1001 0101 1100

Distribuie

» Scriere -0,000 035 667 036 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 07, 2026 [Iulie]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Iulie - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100