-0,000 035 667 166 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,000 035 667 166(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,000 035 667 166(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,000 035 667 166| = 0,000 035 667 166


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 035 667 166.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 035 667 166 × 2 = 0 + 0,000 071 334 332;
  • 2) 0,000 071 334 332 × 2 = 0 + 0,000 142 668 664;
  • 3) 0,000 142 668 664 × 2 = 0 + 0,000 285 337 328;
  • 4) 0,000 285 337 328 × 2 = 0 + 0,000 570 674 656;
  • 5) 0,000 570 674 656 × 2 = 0 + 0,001 141 349 312;
  • 6) 0,001 141 349 312 × 2 = 0 + 0,002 282 698 624;
  • 7) 0,002 282 698 624 × 2 = 0 + 0,004 565 397 248;
  • 8) 0,004 565 397 248 × 2 = 0 + 0,009 130 794 496;
  • 9) 0,009 130 794 496 × 2 = 0 + 0,018 261 588 992;
  • 10) 0,018 261 588 992 × 2 = 0 + 0,036 523 177 984;
  • 11) 0,036 523 177 984 × 2 = 0 + 0,073 046 355 968;
  • 12) 0,073 046 355 968 × 2 = 0 + 0,146 092 711 936;
  • 13) 0,146 092 711 936 × 2 = 0 + 0,292 185 423 872;
  • 14) 0,292 185 423 872 × 2 = 0 + 0,584 370 847 744;
  • 15) 0,584 370 847 744 × 2 = 1 + 0,168 741 695 488;
  • 16) 0,168 741 695 488 × 2 = 0 + 0,337 483 390 976;
  • 17) 0,337 483 390 976 × 2 = 0 + 0,674 966 781 952;
  • 18) 0,674 966 781 952 × 2 = 1 + 0,349 933 563 904;
  • 19) 0,349 933 563 904 × 2 = 0 + 0,699 867 127 808;
  • 20) 0,699 867 127 808 × 2 = 1 + 0,399 734 255 616;
  • 21) 0,399 734 255 616 × 2 = 0 + 0,799 468 511 232;
  • 22) 0,799 468 511 232 × 2 = 1 + 0,598 937 022 464;
  • 23) 0,598 937 022 464 × 2 = 1 + 0,197 874 044 928;
  • 24) 0,197 874 044 928 × 2 = 0 + 0,395 748 089 856;
  • 25) 0,395 748 089 856 × 2 = 0 + 0,791 496 179 712;
  • 26) 0,791 496 179 712 × 2 = 1 + 0,582 992 359 424;
  • 27) 0,582 992 359 424 × 2 = 1 + 0,165 984 718 848;
  • 28) 0,165 984 718 848 × 2 = 0 + 0,331 969 437 696;
  • 29) 0,331 969 437 696 × 2 = 0 + 0,663 938 875 392;
  • 30) 0,663 938 875 392 × 2 = 1 + 0,327 877 750 784;
  • 31) 0,327 877 750 784 × 2 = 0 + 0,655 755 501 568;
  • 32) 0,655 755 501 568 × 2 = 1 + 0,311 511 003 136;
  • 33) 0,311 511 003 136 × 2 = 0 + 0,623 022 006 272;
  • 34) 0,623 022 006 272 × 2 = 1 + 0,246 044 012 544;
  • 35) 0,246 044 012 544 × 2 = 0 + 0,492 088 025 088;
  • 36) 0,492 088 025 088 × 2 = 0 + 0,984 176 050 176;
  • 37) 0,984 176 050 176 × 2 = 1 + 0,968 352 100 352;
  • 38) 0,968 352 100 352 × 2 = 1 + 0,936 704 200 704;
  • 39) 0,936 704 200 704 × 2 = 1 + 0,873 408 401 408;
  • 40) 0,873 408 401 408 × 2 = 1 + 0,746 816 802 816;
  • 41) 0,746 816 802 816 × 2 = 1 + 0,493 633 605 632;
  • 42) 0,493 633 605 632 × 2 = 0 + 0,987 267 211 264;
  • 43) 0,987 267 211 264 × 2 = 1 + 0,974 534 422 528;
  • 44) 0,974 534 422 528 × 2 = 1 + 0,949 068 845 056;
  • 45) 0,949 068 845 056 × 2 = 1 + 0,898 137 690 112;
  • 46) 0,898 137 690 112 × 2 = 1 + 0,796 275 380 224;
  • 47) 0,796 275 380 224 × 2 = 1 + 0,592 550 760 448;
  • 48) 0,592 550 760 448 × 2 = 1 + 0,185 101 520 896;
  • 49) 0,185 101 520 896 × 2 = 0 + 0,370 203 041 792;
  • 50) 0,370 203 041 792 × 2 = 0 + 0,740 406 083 584;
  • 51) 0,740 406 083 584 × 2 = 1 + 0,480 812 167 168;
  • 52) 0,480 812 167 168 × 2 = 0 + 0,961 624 334 336;
  • 53) 0,961 624 334 336 × 2 = 1 + 0,923 248 668 672;
  • 54) 0,923 248 668 672 × 2 = 1 + 0,846 497 337 344;
  • 55) 0,846 497 337 344 × 2 = 1 + 0,692 994 674 688;
  • 56) 0,692 994 674 688 × 2 = 1 + 0,385 989 349 376;
  • 57) 0,385 989 349 376 × 2 = 0 + 0,771 978 698 752;
  • 58) 0,771 978 698 752 × 2 = 1 + 0,543 957 397 504;
  • 59) 0,543 957 397 504 × 2 = 1 + 0,087 914 795 008;
  • 60) 0,087 914 795 008 × 2 = 0 + 0,175 829 590 016;
  • 61) 0,175 829 590 016 × 2 = 0 + 0,351 659 180 032;
  • 62) 0,351 659 180 032 × 2 = 0 + 0,703 318 360 064;
  • 63) 0,703 318 360 064 × 2 = 1 + 0,406 636 720 128;
  • 64) 0,406 636 720 128 × 2 = 0 + 0,813 273 440 256;
  • 65) 0,813 273 440 256 × 2 = 1 + 0,626 546 880 512;
  • 66) 0,626 546 880 512 × 2 = 1 + 0,253 093 761 024;
  • 67) 0,253 093 761 024 × 2 = 0 + 0,506 187 522 048;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 035 667 166(10) =

0,0000 0000 0000 0010 0101 0110 0110 0101 0100 1111 1011 1111 0010 1111 0110 0010 110(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 035 667 166(10) =

0,0000 0000 0000 0010 0101 0110 0110 0101 0100 1111 1011 1111 0010 1111 0110 0010 110(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 15 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 035 667 166(10) =

0,0000 0000 0000 0010 0101 0110 0110 0101 0100 1111 1011 1111 0010 1111 0110 0010 110(2) =

0,0000 0000 0000 0010 0101 0110 0110 0101 0100 1111 1011 1111 0010 1111 0110 0010 110(2) × 20 =

1,0010 1011 0011 0010 1010 0111 1101 1111 1001 0111 1011 0001 0110(2) × 2-15


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -15

Mantisă (nenormalizată):
1,0010 1011 0011 0010 1010 0111 1101 1111 1001 0111 1011 0001 0110


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-15 + 2(11-1) - 1 =

(-15 + 1 023)(10) =

1 008(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 008 : 2 = 504 + 0;
  • 504 : 2 = 252 + 0;
  • 252 : 2 = 126 + 0;
  • 126 : 2 = 63 + 0;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1008(10) =

011 1111 0000(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0010 1011 0011 0010 1010 0111 1101 1111 1001 0111 1011 0001 0110 =

0010 1011 0011 0010 1010 0111 1101 1111 1001 0111 1011 0001 0110


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1111 0000

Mantisă (52 biți) =
0010 1011 0011 0010 1010 0111 1101 1111 1001 0111 1011 0001 0110


Numărul zecimal -0,000 035 667 166 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1111 0000 - 0010 1011 0011 0010 1010 0111 1101 1111 1001 0111 1011 0001 0110

Distribuie

» Scriere -0,000 035 667 068 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 07, 2026 [Iulie]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Iulie - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100