-0,000 164 778 450 862 79 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,000 164 778 450 862 79(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,000 164 778 450 862 79(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,000 164 778 450 862 79| = 0,000 164 778 450 862 79


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 164 778 450 862 79.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 164 778 450 862 79 × 2 = 0 + 0,000 329 556 901 725 58;
  • 2) 0,000 329 556 901 725 58 × 2 = 0 + 0,000 659 113 803 451 16;
  • 3) 0,000 659 113 803 451 16 × 2 = 0 + 0,001 318 227 606 902 32;
  • 4) 0,001 318 227 606 902 32 × 2 = 0 + 0,002 636 455 213 804 64;
  • 5) 0,002 636 455 213 804 64 × 2 = 0 + 0,005 272 910 427 609 28;
  • 6) 0,005 272 910 427 609 28 × 2 = 0 + 0,010 545 820 855 218 56;
  • 7) 0,010 545 820 855 218 56 × 2 = 0 + 0,021 091 641 710 437 12;
  • 8) 0,021 091 641 710 437 12 × 2 = 0 + 0,042 183 283 420 874 24;
  • 9) 0,042 183 283 420 874 24 × 2 = 0 + 0,084 366 566 841 748 48;
  • 10) 0,084 366 566 841 748 48 × 2 = 0 + 0,168 733 133 683 496 96;
  • 11) 0,168 733 133 683 496 96 × 2 = 0 + 0,337 466 267 366 993 92;
  • 12) 0,337 466 267 366 993 92 × 2 = 0 + 0,674 932 534 733 987 84;
  • 13) 0,674 932 534 733 987 84 × 2 = 1 + 0,349 865 069 467 975 68;
  • 14) 0,349 865 069 467 975 68 × 2 = 0 + 0,699 730 138 935 951 36;
  • 15) 0,699 730 138 935 951 36 × 2 = 1 + 0,399 460 277 871 902 72;
  • 16) 0,399 460 277 871 902 72 × 2 = 0 + 0,798 920 555 743 805 44;
  • 17) 0,798 920 555 743 805 44 × 2 = 1 + 0,597 841 111 487 610 88;
  • 18) 0,597 841 111 487 610 88 × 2 = 1 + 0,195 682 222 975 221 76;
  • 19) 0,195 682 222 975 221 76 × 2 = 0 + 0,391 364 445 950 443 52;
  • 20) 0,391 364 445 950 443 52 × 2 = 0 + 0,782 728 891 900 887 04;
  • 21) 0,782 728 891 900 887 04 × 2 = 1 + 0,565 457 783 801 774 08;
  • 22) 0,565 457 783 801 774 08 × 2 = 1 + 0,130 915 567 603 548 16;
  • 23) 0,130 915 567 603 548 16 × 2 = 0 + 0,261 831 135 207 096 32;
  • 24) 0,261 831 135 207 096 32 × 2 = 0 + 0,523 662 270 414 192 64;
  • 25) 0,523 662 270 414 192 64 × 2 = 1 + 0,047 324 540 828 385 28;
  • 26) 0,047 324 540 828 385 28 × 2 = 0 + 0,094 649 081 656 770 56;
  • 27) 0,094 649 081 656 770 56 × 2 = 0 + 0,189 298 163 313 541 12;
  • 28) 0,189 298 163 313 541 12 × 2 = 0 + 0,378 596 326 627 082 24;
  • 29) 0,378 596 326 627 082 24 × 2 = 0 + 0,757 192 653 254 164 48;
  • 30) 0,757 192 653 254 164 48 × 2 = 1 + 0,514 385 306 508 328 96;
  • 31) 0,514 385 306 508 328 96 × 2 = 1 + 0,028 770 613 016 657 92;
  • 32) 0,028 770 613 016 657 92 × 2 = 0 + 0,057 541 226 033 315 84;
  • 33) 0,057 541 226 033 315 84 × 2 = 0 + 0,115 082 452 066 631 68;
  • 34) 0,115 082 452 066 631 68 × 2 = 0 + 0,230 164 904 133 263 36;
  • 35) 0,230 164 904 133 263 36 × 2 = 0 + 0,460 329 808 266 526 72;
  • 36) 0,460 329 808 266 526 72 × 2 = 0 + 0,920 659 616 533 053 44;
  • 37) 0,920 659 616 533 053 44 × 2 = 1 + 0,841 319 233 066 106 88;
  • 38) 0,841 319 233 066 106 88 × 2 = 1 + 0,682 638 466 132 213 76;
  • 39) 0,682 638 466 132 213 76 × 2 = 1 + 0,365 276 932 264 427 52;
  • 40) 0,365 276 932 264 427 52 × 2 = 0 + 0,730 553 864 528 855 04;
  • 41) 0,730 553 864 528 855 04 × 2 = 1 + 0,461 107 729 057 710 08;
  • 42) 0,461 107 729 057 710 08 × 2 = 0 + 0,922 215 458 115 420 16;
  • 43) 0,922 215 458 115 420 16 × 2 = 1 + 0,844 430 916 230 840 32;
  • 44) 0,844 430 916 230 840 32 × 2 = 1 + 0,688 861 832 461 680 64;
  • 45) 0,688 861 832 461 680 64 × 2 = 1 + 0,377 723 664 923 361 28;
  • 46) 0,377 723 664 923 361 28 × 2 = 0 + 0,755 447 329 846 722 56;
  • 47) 0,755 447 329 846 722 56 × 2 = 1 + 0,510 894 659 693 445 12;
  • 48) 0,510 894 659 693 445 12 × 2 = 1 + 0,021 789 319 386 890 24;
  • 49) 0,021 789 319 386 890 24 × 2 = 0 + 0,043 578 638 773 780 48;
  • 50) 0,043 578 638 773 780 48 × 2 = 0 + 0,087 157 277 547 560 96;
  • 51) 0,087 157 277 547 560 96 × 2 = 0 + 0,174 314 555 095 121 92;
  • 52) 0,174 314 555 095 121 92 × 2 = 0 + 0,348 629 110 190 243 84;
  • 53) 0,348 629 110 190 243 84 × 2 = 0 + 0,697 258 220 380 487 68;
  • 54) 0,697 258 220 380 487 68 × 2 = 1 + 0,394 516 440 760 975 36;
  • 55) 0,394 516 440 760 975 36 × 2 = 0 + 0,789 032 881 521 950 72;
  • 56) 0,789 032 881 521 950 72 × 2 = 1 + 0,578 065 763 043 901 44;
  • 57) 0,578 065 763 043 901 44 × 2 = 1 + 0,156 131 526 087 802 88;
  • 58) 0,156 131 526 087 802 88 × 2 = 0 + 0,312 263 052 175 605 76;
  • 59) 0,312 263 052 175 605 76 × 2 = 0 + 0,624 526 104 351 211 52;
  • 60) 0,624 526 104 351 211 52 × 2 = 1 + 0,249 052 208 702 423 04;
  • 61) 0,249 052 208 702 423 04 × 2 = 0 + 0,498 104 417 404 846 08;
  • 62) 0,498 104 417 404 846 08 × 2 = 0 + 0,996 208 834 809 692 16;
  • 63) 0,996 208 834 809 692 16 × 2 = 1 + 0,992 417 669 619 384 32;
  • 64) 0,992 417 669 619 384 32 × 2 = 1 + 0,984 835 339 238 768 64;
  • 65) 0,984 835 339 238 768 64 × 2 = 1 + 0,969 670 678 477 537 28;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 164 778 450 862 79(10) =

0,0000 0000 0000 1010 1100 1100 1000 0110 0000 1110 1011 1011 0000 0101 1001 0011 1(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 164 778 450 862 79(10) =

0,0000 0000 0000 1010 1100 1100 1000 0110 0000 1110 1011 1011 0000 0101 1001 0011 1(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 13 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 164 778 450 862 79(10) =

0,0000 0000 0000 1010 1100 1100 1000 0110 0000 1110 1011 1011 0000 0101 1001 0011 1(2) =

0,0000 0000 0000 1010 1100 1100 1000 0110 0000 1110 1011 1011 0000 0101 1001 0011 1(2) × 20 =

1,0101 1001 1001 0000 1100 0001 1101 0111 0110 0000 1011 0010 0111(2) × 2-13


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -13

Mantisă (nenormalizată):
1,0101 1001 1001 0000 1100 0001 1101 0111 0110 0000 1011 0010 0111


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-13 + 2(11-1) - 1 =

(-13 + 1 023)(10) =

1 010(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 010 : 2 = 505 + 0;
  • 505 : 2 = 252 + 1;
  • 252 : 2 = 126 + 0;
  • 126 : 2 = 63 + 0;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1010(10) =

011 1111 0010(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0101 1001 1001 0000 1100 0001 1101 0111 0110 0000 1011 0010 0111 =

0101 1001 1001 0000 1100 0001 1101 0111 0110 0000 1011 0010 0111


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1111 0010

Mantisă (52 biți) =
0101 1001 1001 0000 1100 0001 1101 0111 0110 0000 1011 0010 0111


Numărul zecimal -0,000 164 778 450 862 79 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1111 0010 - 0101 1001 1001 0000 1100 0001 1101 0111 0110 0000 1011 0010 0111

Distribuie

» Scriere -0,000 164 778 450 862 12 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 04, 2026 [Aprilie]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Aprilie - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100