-0,000 233 922 51 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,000 233 922 51(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,000 233 922 51(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,000 233 922 51| = 0,000 233 922 51


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 233 922 51.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 233 922 51 × 2 = 0 + 0,000 467 845 02;
  • 2) 0,000 467 845 02 × 2 = 0 + 0,000 935 690 04;
  • 3) 0,000 935 690 04 × 2 = 0 + 0,001 871 380 08;
  • 4) 0,001 871 380 08 × 2 = 0 + 0,003 742 760 16;
  • 5) 0,003 742 760 16 × 2 = 0 + 0,007 485 520 32;
  • 6) 0,007 485 520 32 × 2 = 0 + 0,014 971 040 64;
  • 7) 0,014 971 040 64 × 2 = 0 + 0,029 942 081 28;
  • 8) 0,029 942 081 28 × 2 = 0 + 0,059 884 162 56;
  • 9) 0,059 884 162 56 × 2 = 0 + 0,119 768 325 12;
  • 10) 0,119 768 325 12 × 2 = 0 + 0,239 536 650 24;
  • 11) 0,239 536 650 24 × 2 = 0 + 0,479 073 300 48;
  • 12) 0,479 073 300 48 × 2 = 0 + 0,958 146 600 96;
  • 13) 0,958 146 600 96 × 2 = 1 + 0,916 293 201 92;
  • 14) 0,916 293 201 92 × 2 = 1 + 0,832 586 403 84;
  • 15) 0,832 586 403 84 × 2 = 1 + 0,665 172 807 68;
  • 16) 0,665 172 807 68 × 2 = 1 + 0,330 345 615 36;
  • 17) 0,330 345 615 36 × 2 = 0 + 0,660 691 230 72;
  • 18) 0,660 691 230 72 × 2 = 1 + 0,321 382 461 44;
  • 19) 0,321 382 461 44 × 2 = 0 + 0,642 764 922 88;
  • 20) 0,642 764 922 88 × 2 = 1 + 0,285 529 845 76;
  • 21) 0,285 529 845 76 × 2 = 0 + 0,571 059 691 52;
  • 22) 0,571 059 691 52 × 2 = 1 + 0,142 119 383 04;
  • 23) 0,142 119 383 04 × 2 = 0 + 0,284 238 766 08;
  • 24) 0,284 238 766 08 × 2 = 0 + 0,568 477 532 16;
  • 25) 0,568 477 532 16 × 2 = 1 + 0,136 955 064 32;
  • 26) 0,136 955 064 32 × 2 = 0 + 0,273 910 128 64;
  • 27) 0,273 910 128 64 × 2 = 0 + 0,547 820 257 28;
  • 28) 0,547 820 257 28 × 2 = 1 + 0,095 640 514 56;
  • 29) 0,095 640 514 56 × 2 = 0 + 0,191 281 029 12;
  • 30) 0,191 281 029 12 × 2 = 0 + 0,382 562 058 24;
  • 31) 0,382 562 058 24 × 2 = 0 + 0,765 124 116 48;
  • 32) 0,765 124 116 48 × 2 = 1 + 0,530 248 232 96;
  • 33) 0,530 248 232 96 × 2 = 1 + 0,060 496 465 92;
  • 34) 0,060 496 465 92 × 2 = 0 + 0,120 992 931 84;
  • 35) 0,120 992 931 84 × 2 = 0 + 0,241 985 863 68;
  • 36) 0,241 985 863 68 × 2 = 0 + 0,483 971 727 36;
  • 37) 0,483 971 727 36 × 2 = 0 + 0,967 943 454 72;
  • 38) 0,967 943 454 72 × 2 = 1 + 0,935 886 909 44;
  • 39) 0,935 886 909 44 × 2 = 1 + 0,871 773 818 88;
  • 40) 0,871 773 818 88 × 2 = 1 + 0,743 547 637 76;
  • 41) 0,743 547 637 76 × 2 = 1 + 0,487 095 275 52;
  • 42) 0,487 095 275 52 × 2 = 0 + 0,974 190 551 04;
  • 43) 0,974 190 551 04 × 2 = 1 + 0,948 381 102 08;
  • 44) 0,948 381 102 08 × 2 = 1 + 0,896 762 204 16;
  • 45) 0,896 762 204 16 × 2 = 1 + 0,793 524 408 32;
  • 46) 0,793 524 408 32 × 2 = 1 + 0,587 048 816 64;
  • 47) 0,587 048 816 64 × 2 = 1 + 0,174 097 633 28;
  • 48) 0,174 097 633 28 × 2 = 0 + 0,348 195 266 56;
  • 49) 0,348 195 266 56 × 2 = 0 + 0,696 390 533 12;
  • 50) 0,696 390 533 12 × 2 = 1 + 0,392 781 066 24;
  • 51) 0,392 781 066 24 × 2 = 0 + 0,785 562 132 48;
  • 52) 0,785 562 132 48 × 2 = 1 + 0,571 124 264 96;
  • 53) 0,571 124 264 96 × 2 = 1 + 0,142 248 529 92;
  • 54) 0,142 248 529 92 × 2 = 0 + 0,284 497 059 84;
  • 55) 0,284 497 059 84 × 2 = 0 + 0,568 994 119 68;
  • 56) 0,568 994 119 68 × 2 = 1 + 0,137 988 239 36;
  • 57) 0,137 988 239 36 × 2 = 0 + 0,275 976 478 72;
  • 58) 0,275 976 478 72 × 2 = 0 + 0,551 952 957 44;
  • 59) 0,551 952 957 44 × 2 = 1 + 0,103 905 914 88;
  • 60) 0,103 905 914 88 × 2 = 0 + 0,207 811 829 76;
  • 61) 0,207 811 829 76 × 2 = 0 + 0,415 623 659 52;
  • 62) 0,415 623 659 52 × 2 = 0 + 0,831 247 319 04;
  • 63) 0,831 247 319 04 × 2 = 1 + 0,662 494 638 08;
  • 64) 0,662 494 638 08 × 2 = 1 + 0,324 989 276 16;
  • 65) 0,324 989 276 16 × 2 = 0 + 0,649 978 552 32;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 233 922 51(10) =

0,0000 0000 0000 1111 0101 0100 1001 0001 1000 0111 1011 1110 0101 1001 0010 0011 0(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 233 922 51(10) =

0,0000 0000 0000 1111 0101 0100 1001 0001 1000 0111 1011 1110 0101 1001 0010 0011 0(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 13 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 233 922 51(10) =

0,0000 0000 0000 1111 0101 0100 1001 0001 1000 0111 1011 1110 0101 1001 0010 0011 0(2) =

0,0000 0000 0000 1111 0101 0100 1001 0001 1000 0111 1011 1110 0101 1001 0010 0011 0(2) × 20 =

1,1110 1010 1001 0010 0011 0000 1111 0111 1100 1011 0010 0100 0110(2) × 2-13


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -13

Mantisă (nenormalizată):
1,1110 1010 1001 0010 0011 0000 1111 0111 1100 1011 0010 0100 0110


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-13 + 2(11-1) - 1 =

(-13 + 1 023)(10) =

1 010(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 010 : 2 = 505 + 0;
  • 505 : 2 = 252 + 1;
  • 252 : 2 = 126 + 0;
  • 126 : 2 = 63 + 0;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1010(10) =

011 1111 0010(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 1110 1010 1001 0010 0011 0000 1111 0111 1100 1011 0010 0100 0110 =

1110 1010 1001 0010 0011 0000 1111 0111 1100 1011 0010 0100 0110


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1111 0010

Mantisă (52 biți) =
1110 1010 1001 0010 0011 0000 1111 0111 1100 1011 0010 0100 0110


Numărul zecimal -0,000 233 922 51 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1111 0010 - 1110 1010 1001 0010 0011 0000 1111 0111 1100 1011 0010 0100 0110

Distribuie

» Scriere -0,000 233 922 89 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 07, 2026 [Iulie]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Iulie - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100