-0,000 254 797 590 478 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,000 254 797 590 478(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,000 254 797 590 478(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,000 254 797 590 478| = 0,000 254 797 590 478


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 254 797 590 478.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 254 797 590 478 × 2 = 0 + 0,000 509 595 180 956;
  • 2) 0,000 509 595 180 956 × 2 = 0 + 0,001 019 190 361 912;
  • 3) 0,001 019 190 361 912 × 2 = 0 + 0,002 038 380 723 824;
  • 4) 0,002 038 380 723 824 × 2 = 0 + 0,004 076 761 447 648;
  • 5) 0,004 076 761 447 648 × 2 = 0 + 0,008 153 522 895 296;
  • 6) 0,008 153 522 895 296 × 2 = 0 + 0,016 307 045 790 592;
  • 7) 0,016 307 045 790 592 × 2 = 0 + 0,032 614 091 581 184;
  • 8) 0,032 614 091 581 184 × 2 = 0 + 0,065 228 183 162 368;
  • 9) 0,065 228 183 162 368 × 2 = 0 + 0,130 456 366 324 736;
  • 10) 0,130 456 366 324 736 × 2 = 0 + 0,260 912 732 649 472;
  • 11) 0,260 912 732 649 472 × 2 = 0 + 0,521 825 465 298 944;
  • 12) 0,521 825 465 298 944 × 2 = 1 + 0,043 650 930 597 888;
  • 13) 0,043 650 930 597 888 × 2 = 0 + 0,087 301 861 195 776;
  • 14) 0,087 301 861 195 776 × 2 = 0 + 0,174 603 722 391 552;
  • 15) 0,174 603 722 391 552 × 2 = 0 + 0,349 207 444 783 104;
  • 16) 0,349 207 444 783 104 × 2 = 0 + 0,698 414 889 566 208;
  • 17) 0,698 414 889 566 208 × 2 = 1 + 0,396 829 779 132 416;
  • 18) 0,396 829 779 132 416 × 2 = 0 + 0,793 659 558 264 832;
  • 19) 0,793 659 558 264 832 × 2 = 1 + 0,587 319 116 529 664;
  • 20) 0,587 319 116 529 664 × 2 = 1 + 0,174 638 233 059 328;
  • 21) 0,174 638 233 059 328 × 2 = 0 + 0,349 276 466 118 656;
  • 22) 0,349 276 466 118 656 × 2 = 0 + 0,698 552 932 237 312;
  • 23) 0,698 552 932 237 312 × 2 = 1 + 0,397 105 864 474 624;
  • 24) 0,397 105 864 474 624 × 2 = 0 + 0,794 211 728 949 248;
  • 25) 0,794 211 728 949 248 × 2 = 1 + 0,588 423 457 898 496;
  • 26) 0,588 423 457 898 496 × 2 = 1 + 0,176 846 915 796 992;
  • 27) 0,176 846 915 796 992 × 2 = 0 + 0,353 693 831 593 984;
  • 28) 0,353 693 831 593 984 × 2 = 0 + 0,707 387 663 187 968;
  • 29) 0,707 387 663 187 968 × 2 = 1 + 0,414 775 326 375 936;
  • 30) 0,414 775 326 375 936 × 2 = 0 + 0,829 550 652 751 872;
  • 31) 0,829 550 652 751 872 × 2 = 1 + 0,659 101 305 503 744;
  • 32) 0,659 101 305 503 744 × 2 = 1 + 0,318 202 611 007 488;
  • 33) 0,318 202 611 007 488 × 2 = 0 + 0,636 405 222 014 976;
  • 34) 0,636 405 222 014 976 × 2 = 1 + 0,272 810 444 029 952;
  • 35) 0,272 810 444 029 952 × 2 = 0 + 0,545 620 888 059 904;
  • 36) 0,545 620 888 059 904 × 2 = 1 + 0,091 241 776 119 808;
  • 37) 0,091 241 776 119 808 × 2 = 0 + 0,182 483 552 239 616;
  • 38) 0,182 483 552 239 616 × 2 = 0 + 0,364 967 104 479 232;
  • 39) 0,364 967 104 479 232 × 2 = 0 + 0,729 934 208 958 464;
  • 40) 0,729 934 208 958 464 × 2 = 1 + 0,459 868 417 916 928;
  • 41) 0,459 868 417 916 928 × 2 = 0 + 0,919 736 835 833 856;
  • 42) 0,919 736 835 833 856 × 2 = 1 + 0,839 473 671 667 712;
  • 43) 0,839 473 671 667 712 × 2 = 1 + 0,678 947 343 335 424;
  • 44) 0,678 947 343 335 424 × 2 = 1 + 0,357 894 686 670 848;
  • 45) 0,357 894 686 670 848 × 2 = 0 + 0,715 789 373 341 696;
  • 46) 0,715 789 373 341 696 × 2 = 1 + 0,431 578 746 683 392;
  • 47) 0,431 578 746 683 392 × 2 = 0 + 0,863 157 493 366 784;
  • 48) 0,863 157 493 366 784 × 2 = 1 + 0,726 314 986 733 568;
  • 49) 0,726 314 986 733 568 × 2 = 1 + 0,452 629 973 467 136;
  • 50) 0,452 629 973 467 136 × 2 = 0 + 0,905 259 946 934 272;
  • 51) 0,905 259 946 934 272 × 2 = 1 + 0,810 519 893 868 544;
  • 52) 0,810 519 893 868 544 × 2 = 1 + 0,621 039 787 737 088;
  • 53) 0,621 039 787 737 088 × 2 = 1 + 0,242 079 575 474 176;
  • 54) 0,242 079 575 474 176 × 2 = 0 + 0,484 159 150 948 352;
  • 55) 0,484 159 150 948 352 × 2 = 0 + 0,968 318 301 896 704;
  • 56) 0,968 318 301 896 704 × 2 = 1 + 0,936 636 603 793 408;
  • 57) 0,936 636 603 793 408 × 2 = 1 + 0,873 273 207 586 816;
  • 58) 0,873 273 207 586 816 × 2 = 1 + 0,746 546 415 173 632;
  • 59) 0,746 546 415 173 632 × 2 = 1 + 0,493 092 830 347 264;
  • 60) 0,493 092 830 347 264 × 2 = 0 + 0,986 185 660 694 528;
  • 61) 0,986 185 660 694 528 × 2 = 1 + 0,972 371 321 389 056;
  • 62) 0,972 371 321 389 056 × 2 = 1 + 0,944 742 642 778 112;
  • 63) 0,944 742 642 778 112 × 2 = 1 + 0,889 485 285 556 224;
  • 64) 0,889 485 285 556 224 × 2 = 1 + 0,778 970 571 112 448;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 254 797 590 478(10) =

0,0000 0000 0001 0000 1011 0010 1100 1011 0101 0001 0111 0101 1011 1001 1110 1111(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 254 797 590 478(10) =

0,0000 0000 0001 0000 1011 0010 1100 1011 0101 0001 0111 0101 1011 1001 1110 1111(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 12 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 254 797 590 478(10) =

0,0000 0000 0001 0000 1011 0010 1100 1011 0101 0001 0111 0101 1011 1001 1110 1111(2) =

0,0000 0000 0001 0000 1011 0010 1100 1011 0101 0001 0111 0101 1011 1001 1110 1111(2) × 20 =

1,0000 1011 0010 1100 1011 0101 0001 0111 0101 1011 1001 1110 1111(2) × 2-12


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -12

Mantisă (nenormalizată):
1,0000 1011 0010 1100 1011 0101 0001 0111 0101 1011 1001 1110 1111


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-12 + 2(11-1) - 1 =

(-12 + 1 023)(10) =

1 011(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 011 : 2 = 505 + 1;
  • 505 : 2 = 252 + 1;
  • 252 : 2 = 126 + 0;
  • 126 : 2 = 63 + 0;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1011(10) =

011 1111 0011(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0000 1011 0010 1100 1011 0101 0001 0111 0101 1011 1001 1110 1111 =

0000 1011 0010 1100 1011 0101 0001 0111 0101 1011 1001 1110 1111


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1111 0011

Mantisă (52 biți) =
0000 1011 0010 1100 1011 0101 0001 0111 0101 1011 1001 1110 1111


Numărul zecimal -0,000 254 797 590 478 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1111 0011 - 0000 1011 0010 1100 1011 0101 0001 0111 0101 1011 1001 1110 1111

Distribuie

» Scriere -0,000 254 797 590 553 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 09, 2026 [Septembrie]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Septembrie - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100